材料力学总结

1、1材料力学材料力学 总结总结1.1.应力状态和强度理论应力状态和强度理论2.2.组合变形及连接部分的计算组合变形及连接部分的计算3.3.压杆稳定压杆稳定4.4.弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究5.5.能量法能量法6.6.动荷载动荷载 交变应力交变应力2应力状态和强度理论应力状态和强度理论 总结总结 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力1、斜截面上的应力、斜截面上的应力应力和斜截面夹角的正负规定应力和斜截面夹角的正负规定e f b t y t x a t a s a s x s y atasssssa2sin2cos22xyxyxatassta2cos2sin2xyx

2、32、主平面和主应力、主平面和主应力主平面主平面：剪应力：剪应力t t =0的平面。的平面。 主应力主应力：主平面主平面上的上的正应力正应力。 321sss321sss22122xyxyxtsssss22222xyxyxtsssssyxxssta2arctan210s s1主平面方位角：主平面方位角： 43、应力圆、应力圆应力圆与单元体对应关系：应力圆与单元体对应关系： 点面对应；点面对应；中心角与夹角对应：转向一致；中心角与夹角对应：转向一致；2倍关系。倍关系。t s O C 222xyxsst2yxss) ,(aats5d a b c e f a t x t y t x x n a s x

3、 s x s y s y t y y s O t C s 2 F A 1 B 1 B 2 A 2 D 1 D 2 E t x t y s y s x s 1 2 a 0 2 a 6应力圆的画法：应力圆的画法： 已知已知s sx、s sy、t tx、t ty 在在s s、t t 坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点：xxDts,1yyDts,2t s xxDts,1yyDts,27 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为半径作圆，即为应力圆。为半径作圆，即为应力圆。 连接连接D1、D2两点，线段两点，线段D1D2与与s s 轴交于轴交于C点。点。t s xxDts,1yy

4、Dts,2Ct s xxDts,1yyDts,2C8 空间应力状态空间应力状态 应力的正负规定应力的正负规定x y z O d x d y d z t xy t xz s x t yx s y t yz t zy s z t zx t xy s x t xz t zy s z t zx t yx s y t yz 独立的分量（独立的分量（6个）：个）：zxyzxyzyxtttsss,9 主单元体主单元体s3 s2 s1 321,sss空间应力状态：空间应力状态：三个主应力都不等于零；三个主应力都不等于零； 平面应力状态：平面应力状态：两个主应力不等于零；两个主应力不等于零； 单向应力状态：单向

5、应力状态：只有一个主应力不等于零。只有一个主应力不等于零。10 应力圆应力圆s t O s 3 s 2 s 1 s max B DAt max (c) 1maxss3minss231maxsst t tmax作用面为与作用面为与s s2平行，平行，与与s s1或或s s3成成45角的斜截面。角的斜截面。11 应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系 主应力和主应变来表示广义胡克定律主应力和主应变来表示广义胡克定律213331223211111sssssssssEEE21312221111ssssssEEE 平面应力状态平面应力状态)0(3s12 一般空间应力状态下，在线弹性、小变形条件下一般空

6、间应力状态下，在线弹性、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律yxzzEsss1zyxxEsss1zxyyEsss1GxyxytGyzyztGzxzxt13 平面应力状态（平面应力状态（ s sz=0，t txz=0，t tyz=0 ）yxzEssyxxEss1xyyEss1xyxyGt114 强度理论强度理论1 1）最大拉应力理论）最大拉应力理论( (第一强度理论第一强度理论) )1sssnu2 2）最大伸长线应变理论）最大伸长线应变理论( (第二强度理论第二强度理论) )321sssssnu153 3）最大切应力理论）最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论)

7、 )31ssssns4 4）形状改变能密度理论）形状改变能密度理论( (第四强度理论第四强度理论) )21231232221ssssssssns16 各种强度理论的应用各种强度理论的应用应用范围：应用范围：a) 仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；向同性的材料；b) 不论塑性或脆性材料，在不论塑性或脆性材料，在三向拉应力三向拉应力状态都状态都发生发生脆性断裂脆性断裂，宜采用，宜采用第一强度理论第一强度理论；c) 对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；第一强度理论；d) 对塑性材料，除三

8、向拉应力状态外都会发生对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生屈服，宜采用第三或第四强度理论；屈服，宜采用第三或第四强度理论；e) 不论塑性或脆性材料，在不论塑性或脆性材料，在三向压应力三向压应力状态都状态都发生发生屈服失效屈服失效，宜采用，宜采用第四强度理论第四强度理论。17组合变形及连接部分的计算组合变形及连接部分的计算 总结总结1.1.两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲斜弯曲时的应力与位移计算斜弯曲时的应力与位移计算x y z C ( y , z ) O y z m m F 1 F a 2 M m m z O y z M y )(,21axFMxFMzyC点的点的x 方向正应力为

9、方向正应力为yIMzIMzzyysss18z y B D 中性轴 E F z M F 2 F 1 和 共同作用时 F 2 单独作用时 F 单独作用时 1 M y 危险点危险点：m-m 截面上截面上 角点角点 B 有最大拉应力，有最大拉应力，D 有最大压应力；有最大压应力； E、F点的正应力为零，点的正应力为零，EF线即是中性轴。线即是中性轴。 强度条件强度条件：B、D角点处的切应力为零，按角点处的切应力为零，按单向应力状态单向应力状态来来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为的强度条件为maxss19中性轴中性轴：正

10、应力为零处，即求得中性轴方程正应力为零处，即求得中性轴方程0yIMzIMzzyys 中性轴是中性轴是一条通过横截面形心的直线一条通过横截面形心的直线, , E、F点点的正应力为零，的正应力为零，EF线即是中性轴。其与线即是中性轴。其与y轴的夹角轴的夹角 为为 tantan00zyzyyzzyyzIIIIMMIIMMyz 是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩 M 矢量与矢量与 y 轴间的夹角。轴间的夹角。 一般，截面一般，截面Iy Iz，即，即 ，因而中性轴与合成弯矩，因而中性轴与合成弯矩M所在的平所在的平面并不相互垂直。所以面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内挠曲线将不在合成弯

11、矩所在的平面内，即，即是是斜弯曲斜弯曲。 对对圆形圆形、正方形正方形等等Iy=Iz的截面，得的截面，得 = ，即是平面弯曲。即是平面弯曲。 O z y 202.2.拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲与弯曲F t F t F 2 l l 2 x y z WFlF4Atmax, ts当 b t 当 t = b b 当 t 21 Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。件的拉、压强度条件。 危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力危险点处为单轴应力

12、状态，故可将最大拉应力与材料的许用应与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。力相比较，以进行强度计算。 maxsscmaxc,tmaxt,ssss22FezFeyFyMFzM, 杆将杆将发生轴向拉伸和在两发生轴向拉伸和在两个纵对称面个纵对称面O1xy、O1xz内的内的纯弯曲。纯弯曲。 在任一横截面在任一横截面n-n上任一点上任一点 C (y,z) 处的正应力分别为处的正应力分别为 z 1 y O e F A ( y , z ) F F O 1 y z F F M e y z F = e M z = F y F O n n z y , y C ( z ) 3. 3. 偏心拉伸偏心拉伸( (压缩压

13、缩) ) zFyFIyFyIzFzAFs23利用惯性矩与惯性半径间的关系利用惯性矩与惯性半径间的关系 22,zzyyiAIiAIC点的点的正应力表达式变为正应力表达式变为221zFyFiyyizzAFs中性轴方程：中性轴方程：010202yiyzizzFyFy O z 中性轴 中性轴是一条不通过截面形心的直线。中性轴是一条不通过截面形心的直线。中性轴在中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 ：FyzFzyziayia22,24 对于对于周边无棱角的截面周边无棱角的截面，可作两条与，可作两条与中性轴平行的直线中性轴平行的直线与横截面的周边相切，与横截面的周边相切，两两切点切点D1、D2，即为横截

14、面上最大拉应即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的力和最大压应力所在的危险点危险点。相应的。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。值。 中性轴 D ( y , z 2 2 ) 2 a z a y O z y D ( y , z ) 1 1 1 对于周边对于周边具有棱角的截面具有棱角的截面，其危险点必定在截面的，其危险点必定在截面的棱角处棱角处。zFyFWFyWFzAFmax, cmax, tss危险点处为单轴应力状态，其强度条件为危险点处为单轴应力状态，其强度条件为 cmaxc,tmaxt,ssss25作作一系列与一系列与截面周边相切的直线截面周边相切的直

15、线作为中性轴，作为中性轴，由由每一条中性轴每一条中性轴在在 y、z 轴上的轴上的截距截距ay1、az1，即可求得与其，即可求得与其对应的偏心力作用对应的偏心力作用点的坐标点的坐标( ( y1， z1)。有了一系列点，描出截面核心边界。有了一系列点，描出截面核心边界。中性轴中性轴截距截距: :FyzFzyziayia2121,121121zyzyzyaiaiO z y a a y 1 z 1 2 2 1 1 4 4 3 3 5 5 4. 截面核心 当偏心拉（压）作用点位于当偏心拉（压）作用点位于某一个区域某一个区域时，横截面上只出时，横截面上只出现现一种性质的应力一种性质的应力( (偏心拉伸时为

16、拉应力，偏心压缩时为压应偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力力) )，这样一个，这样一个截面形心附近的区域截面形心附近的区域就称为就称为截面核心截面核心。 265.5.扭转与弯曲扭转与弯曲曲拐曲拐, , AB段为等直实心段为等直实心圆截面杆圆截面杆, ,作受力简化作受力简化, ,作作M、T图图B A F l a F A B M e = F a _ 图 T F a _ Fl M 图 等直圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题等直圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题 27由弯矩、扭矩图知，由弯矩、扭矩图知，危险截面危险截面为固定端截面为固定端截面A。 危险截面上与弯矩和扭矩对应的危险截面上与弯矩和扭矩

17、对应的正应力、切应力正应力、切应力为为A截面的上、下两个点截面的上、下两个点C1和和C2是是危险点危险点 C1点的应力状态点的应力状态-二向应力状态二向应力状态C 1 2 C C C 3 4 A 1 C 2 C 3 C C 4 C 1 22314212tssss02s28强度校核（第三强度理论、第四强度理论）强度校核（第三强度理论、第四强度理论）强度条件为强度条件为22422334tsstssrr342222stssts圆截面杆：圆截面杆：WW2pWTMWTWMr222p234sWTMWTWMr222p2475. 03s29压杆稳定压杆稳定 总结总结1.1.压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念临界

18、状态临界状态 压杆从稳定平衡到不稳定平衡之压杆从稳定平衡到不稳定平衡之 间的过渡状态。间的过渡状态。临界力临界力Fcr 临界状态的轴向压力。临界状态的轴向压力。失失 稳稳 压杆失去稳定平衡状态的现象。压杆失去稳定平衡状态的现象。302.2.细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式22cr)( lEIF称为长度因数。称为长度因数。l 称为相当长度。称为相当长度。31在确定的约束条件下，在确定的约束条件下，欧拉临界力欧拉临界力Fcr：2 2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承 载能力的强弱，临界力载能力的强弱，临界力Fcr 越高，

19、稳定性越好，越高，稳定性越好， 承载能力越强；承载能力越强；3）与外部轴向压力的大小无关。与外部轴向压力的大小无关。1 1）仅与材料（）仅与材料（E）、长度）、长度( (l ) )和截面尺寸和截面尺寸( (A ) )有关，有关，材料的材料的E越大，截面越粗，杆件越短，临界力越大，截面越粗，杆件越短，临界力Fcr 越高；越高；约束越强，约束越强，因数越小，因数越小，临界力临界力Fcr越高，越高，稳定性越好；稳定性越好；约束越弱，约束越弱，因数越大，因数越大， 临界力临界力Fcr越低，越低，稳定性越差。稳定性越差。320.5l表表91 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式各种支承约束条

20、件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定另端铰支另端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定另端自由另端自由两端固定但可沿两端固定但可沿横向相对移动横向相对移动失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状FcrABl临界力临界力Pcr欧拉公式欧拉公式长度系数长度系数22lEIFcr22)7 . 0(lEIFcr22)5 . 0(lEIFcr22)2( lEIFcr22lEIFcr= 1 0.7= 0.5= 2= 1FcrABlFcrABl0.7lCCDC 挠曲挠曲线拐点线拐点C、D 挠挠曲线拐点曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC 挠曲线拐点挠曲线拐点C333.3.

21、欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉临界应力欧拉临界应力称为柔度称为柔度il22crsE1) 1) 柔度柔度中包含了除材料之外压杆的所有信息，是中包含了除材料之外压杆的所有信息，是压杆本身的一个力学性能指标；压杆本身的一个力学性能指标；2) 2) 柔度越大，柔度越大， 压杆越细柔，压杆越细柔，临界应力临界应力cr 越低，越低，性越差。性越差。稳定稳定34P22crssEPPP2ssEEP仅与材料有关。仅与材料有关。可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是： 大柔度压杆大柔度压杆P354.4.实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数稳定许用应力稳定许用应

22、力与柔度与柔度有关。有关。 称为稳定因数，称为稳定因数，stcrstcrstssssssnn对于对于Q235，可查表获得，可查表获得 ；对于木材，对于木材， 可查本章公式可查本章公式9-11、9-12获得。获得。36计算压杆稳定性时应注意的问题：计算压杆稳定性时应注意的问题：1 1）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使）压杆在不同平面内失稳时约束的不同使值不同；值不同；3 3）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度）注意压杆在不同平面内失稳时计算长度l的不同。的不同。2 2）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过）压杆在不同平面内失稳时中性轴的不同，计算过程中应选用不同的惯性矩使程中应选用不同的

23、惯性矩使 I 和和 i 不同；不同；il375.5.压杆的稳定计算压杆的稳定计算 压杆的合理截面压杆的合理截面 sAF sAF压杆的稳定条件：压杆的稳定条件： F为压杆所受轴向压力；为压杆所受轴向压力； 为压杆稳定因数；为压杆稳定因数； A为压杆的横截面面积。为压杆的横截面面积。 为压杆材料的许用压应力。为压杆材料的许用压应力。38 稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端的稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端的约束条件，而需选择截面尺寸时，由于稳定因数约束条件，而需选择截面尺寸时，由于稳定因数 （或柔度（或柔度）受截面形状和大小的影响，通常采用）受截面形状和大小的影响，通常采用试试算法算

24、法。NOTE: 当压杆横截面有局部削弱时，因压杆的临界力是当压杆横截面有局部削弱时，因压杆的临界力是根据整杆失稳来确定的，故在根据整杆失稳来确定的，故在稳定计算中不必考虑局稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响部截面削弱的影响，以，以毛面积毛面积进行计算。但进行计算。但强度计算强度计算要以净面积进行计算要以净面积进行计算。39提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施提高稳定性，就要降低柔度。提高稳定性，就要降低柔度。il1.1.选择合理的截面形状选择合理的截面形状 2. 2. 合理调整约束合理调整约束 （1 1） 各向柔度差不多少；各向柔度差不多少；（2 2） 降低相当长度。降低相当长度。40

25、(1)(1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式拉拉( (压压) )杆：杆：EAlFWV22N圆轴扭转：圆轴扭转：P22GIlTWV梁弯曲：梁弯曲：llsslEIxxMGAxxFEIxxMWV2d)(2d)(2d)(222a能量法能量法 总结总结1.1.应变能应变能41组合变形：组合变形：lllEIxxMGIxxTEAxxFV2d)(2d)(2d)(2p22N线弹性杆件应变能特征：线弹性杆件应变能特征： 上述公式只适用于均质直杆在线弹性范围、小变形条上述公式只适用于均质直杆在线弹性范围、小变形条件下；件下； 应变能恒为正的标量，与坐标选取无关。在不同

26、杆段应变能恒为正的标量，与坐标选取无关。在不同杆段或杆系结构中，可独立选取坐标系；或杆系结构中，可独立选取坐标系； 线弹性范围内线弹性范围内, ,应变能为内力（或相对位移）的二次函应变能为内力（或相对位移）的二次函数，力作用的叠加原理不成立；数，力作用的叠加原理不成立； 组合变形时，小变形条件下，各基本变形下的内力分组合变形时，小变形条件下，各基本变形下的内力分量在其他基本变形时不作功，总应变能等于各基本变量在其他基本变形时不作功，总应变能等于各基本变形下应变能的代数和。形下应变能的代数和。42(2)(2)非线性弹性体的应变能表达式非线性弹性体的应变能表达式（F- 曲线与横坐曲线与横坐标轴间的

27、面积）标轴间的面积） F F1 F d O 1 (b) 10dFWV43(3) 利用应变能密度计算应变能利用应变能密度计算应变能10dsv(s s- - 曲线与横坐标轴曲线与横坐标轴间的面积间的面积） s O d 1 1 (c) VvVvd44(4) 线弹性体应变能线弹性体应变能V 和应变能密度和应变能密度v 。1121FWVEEv22121212111ss纯剪时：纯剪时： GGv22121212111tt452.2.余能余能(1) 非线性弹性材料余能表达式非线性弹性材料余能表达式F O dF 1 F1 (b)FFWV10ccd（代表代表F- 曲线与纵坐标曲线与纵坐标轴间的面积轴间的面积）46

28、(2) 利用余能密度计算余能利用余能密度计算余能 VvVVdcc10cdssv（代表图代表图c中中s s - 与与纵坐标轴间的面积纵坐标轴间的面积） O ds s1 (c)s 47 对对线弹性材料线弹性材料，余能和应变能仅在，余能和应变能仅在数值上相数值上相等等，其概念和计算方法却截然不同。，其概念和计算方法却截然不同。注意：注意： 对非线性弹性材料，则余能对非线性弹性材料，则余能Vc与应变能与应变能V 在数值上不一定相等。在数值上不一定相等。 余功、余能、余能密度都没有具体的物理概余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。念，仅是具有功和能的量纲而已。 483.3.

29、卡氏定理卡氏定理(1) 卡氏第一定理卡氏第一定理 导出导出“力力”的定理的定理iiVF 卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。性弹性体。 式中式中Fi 及及 i 分别为分别为广义力广义力、广义位移广义位移。 必须将必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。写成给定位移的函数，才可求其变化率。49广义力、广义位移广义力、广义位移广义力：广义力：广义力广义力F 可以代表可以代表一个力一个力、一个力偶一个力偶、一一对力对力或或一对力偶一对力偶。广义位移：广义位移： 广义位移广义位移 可以代表可以代表一点的线位移一点的线位移、一一截面的角位移

30、截面的角位移、两点间相对线位移两点间相对线位移或或两两截面之间相对角位移截面之间相对角位移。 50(2) 卡氏第二定理卡氏第二定理 导出导出“位移位移”的定的定理理FViic（ “余能定理余能定理”）线弹性体线弹性体:FVii（ “卡氏第二卡氏第二定理定理”）式中的式中的Fi 和和 i 分别为广义力和广义位移。分别为广义力和广义位移。必须将必须将Vc 或或V 写成给定荷载的函数，才可求其变写成给定荷载的函数，才可求其变化率。化率。51注意：注意： 卡氏第一定理和卡氏第一定理和余能定理余能定理既适合于线弹性体，既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理卡氏第二

31、定理作为作为余能定理的特例，余能定理的特例，仅仅适合于线弹性体适合于线弹性体。lilililililiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2pNN2p22N 当所求位移处无相应广义力时，可在该处当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚虚加加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚虚加加”外力为外力为0。 实际计算时，常采用以下更实用的形式：实际计算时，常采用以下更实用的形式：52动荷载动荷载 交变应力交变应力 总结总结动荷载动荷载：随时间

32、作急剧变化的荷载以及作加速运：随时间作急剧变化的荷载以及作加速运动或转动的系统中构件的惯性力。动或转动的系统中构件的惯性力。 动荷响应的特点：动荷响应的特点： （1 1）构件各部分有明显的加速度；）构件各部分有明显的加速度； （2 2）材料的力学性质与静荷载作用不同。）材料的力学性质与静荷载作用不同。假设：假设： （1 1）当动应力）当动应力dp时，胡克定律仍然成立，时，胡克定律仍然成立，且且 E 、G 与静荷载作用时相同；与静荷载作用时相同； （2 2）材料的力学性质如强度指标）材料的力学性质如强度指标s、b 等仍可采等仍可采用静荷载作用时的数值。用静荷载作用时的数值。53疲疲 劳劳：构件在交变应力作用下，其内部裂纹：构件在交变应力作用下，其内部裂纹 形成并扩展，直至构件断裂的过程。形成并扩展，直至构件断裂的过程。交变应力交变应力：随时间作重复交替变化的应力。：随时间作重复交替变化的应力。疲劳寿命疲劳寿命：构件破坏所经历的应力循环次数。：构件破坏所经历的应力循环次数。54三类动荷问题：三类动荷问题： （1 1）一般加速度运动构件问题，包括等加速直线运动和等）一般加速度运动构件问题，包括等加速直线运动和等角速转动；角速转动；（加速度可求，用动静法解。）（加速度可求，用动静法解。） （