《中考课件初中数学总复习资料》专题16 二次函数的存在性问题（解析版）

1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点 （1）直接写出抛物线的解析式和的度数；（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，为顶

2、点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【答案】（1），；（2）t=，d点坐标为； （3）； ； ； ； ； 【分析】（1）根据抛物线的对称轴以及点b坐标可求出抛物线表达式；（2）过点n作于e，过点d作于f，证明，得到，从而得到点d坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；（3）设点p（m，），当点p在y轴右侧，点q在y轴正半轴，过点p作pry轴于点r，过点d作dsx轴于点s，根据cpqmdb，得到，从而求出m值，再证明cpqmdb，求出cq长度，从而得到点q坐标，同理可求出其余点p和点q坐标.【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，则b=-3a

3、，抛物线经过点b（4，0），16a+4b+1=0，将b=-3a代入，解得：a=，b=，抛物线的解析式为：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，a（-1，0），c（0，1），tancao=,；（2）由（1）易知，过点n作于e，过点d作于f，dmn=90°，nme+dmf=90°，又nme+enm=90°，dmf=enm， ，（aas），由题意得：， ，又，故可解得：t=或0（舍），经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，此时d点坐标为；（3）由（2）可知：d，t=时，m（，0），b（4，0），c（0，1），设点p（m，），如图，当点p在y轴右侧，点

4、q在y轴正半轴，过点p作pry轴于点r，过点d作dsx轴于点s，则pr=m，ds=，若cpqmdb，则，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故点p的坐标为：， cpqmdb，当点p时，解得：cq=，点q坐标为（0，），；同理可得：点p和点q的坐标为：；.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点c，且过点点p、q是抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；

5、(2)当点p在直线od下方时，求面积的最大值(3)直线oq与线段bc相交于点e，当与相似时，求点q的坐标【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点d坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分acb=boq、bac=boq，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线oq倾斜角，进而求解【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点d坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；(2)设直线pd与y轴交于点g，设点，将点p、d的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线p

6、d的表达式为：，则，故有最大值，当时，其最大值为；(3)，故与相似时，分为两种情况：当时，过点a作ahbc与点h，解得：，ch则，则直线oq的表达式为：，联立并解得：，故点或；时，则直线oq的表达式为：，联立并解得：，故点或；综上，点或或或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点a（1，0）和点c（0，4），交x轴正半轴于点b，连接ac，点e是线段ob上一动点（不与点o，b重合），以oe为边在x轴

7、上方作正方形oefg，连接fb，将线段fb绕点f逆时针旋转90°，得到线段fp，过点p作phy轴，ph交抛物线于点h，设点e（a，0）（1）求抛物线的解析式（2）若aoc与feb相似，求a的值（3）当ph2时，求点p的坐标【答案】（1）yx2+3x+4；（2）a或；（3）点p的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）【详解】（1）点c（0，4），则c4，二次函数表达式为：yx2+bx+4，将点a的坐标代入上式得：01b+4，解得：b3，故抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）tanaco，aoc与feb相似，则fbeaco或cao，即：tanfeb或4，四边形oefg为正方形，则f

8、eoea，eb4a，则或，解得：a或；（3）令yx2+3x+40，解得：x4或1，故点b（4，0）；分别延长cf、hp交于点n，pfn+bfn90°，fpn+pfn90°，fpnnfb，gnx轴，fpnnfbfbe，pnfbef90°，fpfb，pnfbef（aas），fnfea，pneb4a，点p（2a，4），点h（2a，4a2+6a+4），ph2，即：4a2+6a+44|2|，解得：a1或或或（舍去），故：点p的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏【考点2】二次函数与直角三角形

9、问题【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点a，与y轴交于点b，抛物线过点b且与直线相交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）点p是抛物线上的一动点，当时，求点p的坐标；（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足求m与n之间的函数关系式；当m在什么范围时，符合条件的n点的个数有2个？【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）；0m【分析】（1）利用一次函数求出a和b的坐标，结合点c坐标，求出二次函数表达式；（2）当点p在x轴上方时，点p与点c重合，当点p在x轴下方时，ap与y轴交于点q，求出aq表达式，

10、联立二次函数，可得交点坐标，即为点p；（3）过点c作cdx轴于点d，证明mnoncd，可得，整理可得结果；作以mc为直径的圆e，根据圆e与线段od的交点个数来判断m的位置，即可得到m的取值范围.【详解】解：（1）直线与x轴交于点a，与y轴交于点b，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，a（4，0），b（0，2），抛物线经过b（0，2），解得：，抛物线的表达式为：；（2）当点p在x轴上方时，点p与点c重合，满足，当点p在x轴下方时，如图，ap与y轴交于点q，b，q关于x轴对称，q（0，-2），又a（4，0），设直线aq的表达式为y=px+q，代入，解得：，直线aq的表达式为：，联立得：，解得：

11、x=3或-2，点p的坐标为（3，）或（-2，-3），综上，当时，点p的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；（3）如图，mnc=90°，过点c作cdx轴于点d，mno+cnd=90°，omn+mno=90°，cnd=omn,又mon=cdn=90°，mnoncd，即，整理得：；如图，mnc=90°，以mc为直径画圆e，点n在线段od上（不含o和d），即圆e与线段od有两个交点（不含o和d），点m在y轴正半轴，当圆e与线段od相切时，有ne=mc，即ne2=mc2，m（0，m），e（，），=，解得：m=，当点m与点o重合时，如图，此时圆e与线段od

12、（不含o和d）有一个交点，当0m时，圆e与线段od有两个交点，故m的取值范围是：0m.【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.【变式2-1】如图，抛物线经过a（3，6），b（5，4）两点，与y轴交于点c，连接ab，ac，bc（1）求抛物线的表达式；（2）求证：ab平分；（3）抛物线的对称轴上是否存在点m，使得是以ab为直角边的直角三角形若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点m的坐标为（，9）或（，11）【分析】（1）将a（-3，0）

13、，b（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；（2）先求得ac的长，然后取d（2，0），则ad=ac，连接bd，接下来，证明bc=bd，然后依据sss可证明abcabd，接下来，依据全等三角形的性质可得到cab=bad；（3）作抛物线的对称轴交x轴与点e，交bc与点f，作点a作amab，作bmab，分别交抛物线的对称轴与m、m，依据点a和点b的坐标可得到tanbae=，从而可得到tanmae=2或tanmbf=2，从而可得到fm和me的长，故此可得到点m和点m的坐标【详解】解:（1）将a（-3，0），b（5，-4）两点的坐标分别代入，得解得故抛物线的表达式为y

14、 （2）证明：ao=3，oc=4，ac=5取d（2，0），则ad=ac=5由两点间的距离公式可知bd=5c（0，-4），b（5，-4），bc=5bd=bc在abc和abd中，ad=ac，ab=ab，bd=bc，abcabd，cab=bad，ab平分cao；（3）存在如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点e，交bc与点f抛物线的对称轴为x=，则ae=a（-3，0），b（5，-4），taneab=mab=90°tanmae=2me=2ae=11，m（，11）同理：tanmbf=2又bf=，fm=5，m（，-9）点m的坐标为（，11）或（，-9）【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了

15、待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得fm和me的长是解题的关键【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.(1)求二次函数的表达式:(2)连接，当时，求的面积:(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标【答案】（1）（2）2（3）（4）或【解析】【分析】（1）直接将a、b两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）根据题

16、意得出am,om,设的解析式为：，将点代入求出解析式，然后将分别代入和中，得：，再根据三角形面积公式，即可解答（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，根据题意得出，根据，即可解答（4）当时，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点，得出，再根据（同弧所对圆周角），即可解答【详解】（1）将点代入，得：解得：所以，二次函数的表达方式为：（2）又设的解析式为：，将点代入，得：所以，直线的解析式为：.将分别代入和中，得：.（3）假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，由题意得：所以，点的坐标为：（4）当时，此时点在二次

17、函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点点在该圆上（同弧所对圆周角）或【点睛】此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点a（1，0），点b（3，0）与y轴交于点c在x轴上有一动点e（m，0）（0m3），过点e作直线lx轴，交抛物线于点m（1）求抛物线的解析式及c点坐标；（2）当m1时，d是直线l上的点且在第一象限内，若acd是以dca为底角的等腰三角形，求点d的坐标；（3）如图2，连接bm并延长交y轴于点n，连接am，om，设aem的面积为s1，

18、mon的面积为s2，若s12s2，求m的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若acd是以dca为底角的等腰三角形，则可以分cdad或acad两种情况，分别求解即可；（3）s1ae×ym，2s2onxm，即可求解【详解】解：（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx22x3，当x0时，y3，故点c（0，3）；（2）当m1时，点e（1，0），设点d的坐标为（1，a），由点a、c、d的坐标得，ac，同理可得：ad，cd，当cdad时，即，解得a1；当acad时，同理可得a（舍去负值）；故点d的坐标为（1，1）或（1，）；（

19、3）e（m，0），则设点m（m，m22m3），设直线bm的表达式为ysxt，则，解得：，故直线bm的表达式为yx，当x0时，y，故点n（0，），则on；s1ae×ym×（m1）×（m22m3），2s2onxm×ms1×（m1）×（m22m3），解得m2±（舍去负值），经检验m2是方程的根，故m2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线yax2+bx+c（a0）与

20、x轴交于a、b两点（点a在点b的左边），与y轴交于点c（0，3），顶点d的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上找一点e，使得eac为等腰三角形，请直接写出点e的坐标（3）点p是x轴上的动点，点q是抛物线上的动点，是否存在点p、q，使得以点p、q、b、d为顶点，bd为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点p、q坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x22x3；（2）满足条件的点e的坐标为（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）存在，p（1+2，0）、q（1+2，4）或p（12，0）、q（12，4）【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点

21、c坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点a，c坐标，设出点e坐标，表示出ae，ce，ac，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点q的横坐标，即可得出结论【详解】解：（1）抛物线的顶点为（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）24，将点c（0，3）代入抛物线ya（x1）24中，得a43，a1，抛物线的解析式为ya（x1）24x22x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，b（3，0），a（1，0），令x0，则y3，c（0，3），ac，设点e（0，m），则ae，ce|m+3|，ace是等腰三角形

22、，当acae时，m3或m3（点c的纵坐标，舍去），e（3，0），当acce时，|m+3|，m3±，e（0，3+）或（0，3），当aece时，|m+3|，m，e（0，），即满足条件的点e的坐标为（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）如图，存在，d（1，4），将线段bd向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点b的对应点落在抛物线上，这样便存在点q，此时点d的对应点就是点p，点q的纵坐标为4，设q（t，4），将点q的坐标代入抛物线yx22x3中得，t22t34，t1+2或t12，q（1+2，4）或（12，4），分别过点d，q作x轴的垂线，垂足分别为f，g，抛物

23、线yx22x3与x轴的右边的交点b的坐标为（3，0），且d（1，4），fbpg312，点p的横坐标为（1+2）21+2或（12）212，即p（1+2，0）、q（1+2，4）或p（12，0）、q（12，4）【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；(3)如图2，连接、，点在线段上

24、(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)点的横坐标为；(3)an=1或.【分析】(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，可得矩形的周长，即可求解；(3)由d为顶点，a、b为抛物线与x轴的交点可得ad=bd，即可证明dab=dba，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、，三种情况分别求解即可【详解】(1)抛物线经过点和点抛物线的表达式为：，对称轴为：x=-2，把x=-2代入得：y=4，顶点.(2)设点，则，矩形的周长，当时，矩形周长最大，此

25、时，点的横坐标为.(3)点d为抛物线顶点，a、b为抛物线与x轴的交点，ad=bd，dab=dba，d（-2，4），a（-5，0），b（1，0），当时，nam=mbd，nma=mbd，=ab-am=1；当时，则，dmn=dba，ndm=dba，dab是公共角，即：，即，；当时，而，；综上所述：或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点a（0，1）和c，顶点为d，直线ac与抛物线的对称轴bd的交点为

26、b（，0），平行于y轴的直线ef与抛物线交于点e，与直线ac交于点f，点f的横坐标为，四边形bdef为平行四边形（1）求点f的坐标及抛物线的解析式；（2）若点p为抛物线上的动点，且在直线ac上方，当pab面积最大时，求点p的坐标及pab面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点q，同时在抛物线上取一点r，使以ac为一边且以a，c，q，r为顶点的四边形为平行四边形，求点q和点r的坐标【答案】（1）（，）；yx2+2x+1 （2）（，）； （3）q，r或q（，10），r（）【分析】（1）由待定系数法求出直线ab的解析式为yx+1，求出f点的坐标，由平行四边形的性质得出3a+1a8a+1（），求出

27、a的值，则可得出答案；（2）设p（n，n2+2n+1），作pp'x轴交ac于点p'，则p'（n，n+1），得出pp'n2+n，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线ac和抛物线解析式求出c（，），设q（，m），分两种情况：当aq为对角线时，当ar为对角线时，分别求出点q和r的坐标即可【详解】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），a（0，1），b（，0），设直线ab的解析式为ykx+m，解得，直线ab的解析式为yx+1，点f的横坐标为，f点纵坐标为+1，f点的坐标为（，），又点a在抛物线上，c1，对称轴为：x，b2a，解析式化为：yax22a

28、x+1，四边形dbfe为平行四边形bdef，3a+1a8a+1（），解得a1，抛物线的解析式为yx2+2x+1；（2）设p（n，n2+2n+1），作pp'x轴交ac于点p'，则p'（n，n+1），pp'n2+n，sabpobpp'n，当n时，abp的面积最大为，此时p（，）（3），x0或x，c（，），设q（，m），当aq为对角线时，r（），r在抛物线y+4上，m+4，解得m，q，r；当ar为对角线时，r（），r在抛物线y+4上，m+4，解得m10，q（，10），r（）综上所述，q，r；或q（，10），r（）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，

29、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点c点是x轴上的一动点，轴，交直线于点m，交抛物线于点n （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点p仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点p在x轴上运动，则在y轴上是否存在点q，使以m，n，c，q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），存在，【分析】（1）把代入中求出b，c

30、的值即可；（2）由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；分mn=mc和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可【详解】解：（1）把代入中，得 解得（2）设直线的表达式为，把代入得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ，此函数有最大值又点p在线段上运动，且当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以m，n，c，q为顶点的四边形为菱形，则有mn=mc，如图，c（0，-3）mc= 整理得， ，解得，当时，cq=mn=，oq=-3-()=q(0，)；当m=时，cq=mn=-，oq=-3-(-)=q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ，解得，当m=-1时，mn=cq

31、=2，q（0，-1），当m=-5时，mn=-100（不符合实际，舍去）综上所述，点q的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线ab相交于a，b两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点p为直线ab下方抛物线上的任意一点，连接pa，pb，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点c，

32、点d为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点e，使以点b，c，d，e为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点e的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】（1）将点a、b的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点p作x轴得垂线与直线ab交于点f，设点，则，即可求解；（3）分bc为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过，（2）设，将点代入过点p作x轴得垂线与直线ab交于点f设点，则由铅垂定理可得面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：y

33、x25，联立上述两式并解得：，故点c（1，4）；设点d（2，m）、点e（s，t），而点b、c的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当bc为菱形的边时，点c向右平移1个单位向上平移3个单位得到b，同样d（e）向右平移1个单位向上平移3个单位得到e（d），即21s且m3t或21s且m3t，当点d在e的下方时，则bebc，即s2（t1）21232，当点d在e的上方时，则bdbc，即22（m1）21232，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点e（1，2）；联立并解得：s-3，t-4±，故点e（-3，-4）或（-3，-4）；当bc为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41mt，此时，

34、bdbe，即22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点e（1，3），综上，点e的坐标为：（1，2）或或或（1，3）存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏一、单选题1如图，已知动点a，b分别在x轴，y轴正半轴上，动点p在反比例函数（x0）图象上，pax轴，pab是以pa为底边的等腰三角形当点a的横坐标逐渐增大时，pab的面积将会（）a越来越小b越来越大c不变d先变大后变小【答案】c【解析】【分析】设点p（x，），作bcpa可得bc=oa=x，根据spab=pabc=x=3可得答案

35、【详解】如图，过点b作bcpa于点c，则bc=oa，设点p（x，），则spab=pabc=3，当点a的横坐标逐渐增大时，pab的面积将会不变，始终等于3，故选c2已知直线yn与二次函数y（x2）21的图象交于点b，点c，二次函数图象的顶点为a，当abc是等腰直角三角形时，则n的值为（）a1bc2d2+【答案】a【解析】【分析】设b（x1，n）、c（x2，n）因为abc是等腰直角三角形，作adbc，所以adbc，即bc2ad，adn（1）n+1，即：bc|x1-x2|，所以2（n+1），容易求出n1【详解】设b（x1，n）、c（x2，n），作adbc，垂足为d连接ab，ac，y（x2）21，顶点

36、a（2，1），adn（1）n+1直线yn与二次函数y（x2）21的图象交于点b、c，（x2）21n，化简，得x24x+22n0，x1+x24，x1x222n，bc|x1x2|，点b、c关于对称轴直线ad对称，d为线段bc的中点，abc是等腰直角三角形，adbc，即bc2ad2（n+1），（2+2n）（n+1）2，化简，得n21，n1或1，n1时直线yn经过点a，不符合题意舍去，所以n1故选a【点睛】本题考查了二次函数图象的性质以及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质和根与系数的关系是解题的关键3二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，都

37、是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为()a20bc22d【答案】c【分析】由于 , , ，都是等腰直角三角形，因此可得出直线 : ，求出，的坐标，得出的长；利用 的坐标，得直线： ，求出 ,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长【详解】解： 等腰直角三角形，为原点； 直线： ， ， 的坐标为（1，1），则 为（0，2） =2 为（0，2），直线 : （2，4），=4，则（0，6）（0，6），直线 : （3，9）， =6，由上面a0a1=2，a1a2=4，a2a3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加

38、2a10b11a11的斜边长为2+10×2=22，综上，由此可以推出=22故选c【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 的长4已知抛物线y=x2+1的顶点为p，点a是第一象限内该二次函数图象上一点，过点a作x轴的平行线交二次函数图象于点b，分别过点b、a作x轴的垂线，垂足分别为c、d，连结pa、pd，pd交ab于点e，pad与pea相似吗？（）a始终不相似b始终相似c只有ab=ad时相似d无法确定【答案】b【解析】试题分析：设a（x，-x2+1）根据题意可求出pa、pd、pe的值，从

39、而得出pepa=papd，又ape=dpa，因此，padpea.故选b.考点: 二次函数综合题.5二次函数y=x2+1的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，下列说法错误的是（）.a点c的坐标是（0，1） b线段ab的长为2cabc是等腰直角三角形 d当x0时，y随x增大而增大【答案】d【解析】1、回想二次函数图象与坐标轴交点的特征，自己试着求出a、b、c三点的坐标；2、结合a、b、c三点的坐标可得oa=ob=oc，根据两轴互相垂直的性质，利用勾股定理求出ab、ac、bc，至此判断选项a、b、c的正误；3、找出二次函数图象的对称轴，根据开口方向判断选项d的正误.本题解析:根据题意可知：当x

40、=0时，y=1点c的坐标为（0，1）故选a正确；当y=0时，x= -1或x=1ab=2故选项b正确oa=1，ob=1，oc=1ac= bc= = ac2+bc2=ab2abc是等腰直角三角形故选项c正确；由y= -x2+1可知：a= -10，对称轴为x=0当x0时，y随x增大而减小故选项d错误故选d二、填空题6如图，直线与二次函数的图象交于点b、点c，二次函数图象的顶点为a，当是等腰直角三角形时，则_【答案】1【解析】【分析】作抛物线的对称轴，交bc于d，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出b（n+3，n），代入解析式求得即可【详解】作抛物线的对称轴，交bc于d，直线y=n与二次函数y=

41、（x-2）2-1的图象交于点b、点c，bcx轴，abc是等腰直角三角形，cab=90°，ac=bc，直线cd是抛物线的对称轴，adbc，cad=bad=45°，adb是等腰直角三角形，ad=bd，抛物线的顶点为（2，-1），ad=n+1，b（n+3，n），把b的坐标代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，解得n=1，故答案为1【点睛】本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得b点的坐标是解题的关键7已知二次函数的图象与x轴交于a、b两点，交y轴于c点，且abc是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：_【答案】y=

42、-x2+1(答案不唯一)【解析】【分析】可以在y轴取一点，x轴上取两点让它们能组成直角三角形的三个顶点，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可【详解】根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个是直角三角形，所以可以取c（0，1），a（-1，0），b（1，0）三点，设抛物线的表达式是y=ax2+1，抛物线过（1，0），所以a+1=0，a=-1抛物线是：y=-x2+1故答案为：y=-x2+1(答案不唯一)【点睛】本题是开放性题目，答案不唯一，考查了利用待定系数法求抛物线的表达式8已知点p为二次函数yx22x3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于a，b两点（a在b的右侧），与y轴交于c

43、点，若apc为直角三角形且ac为直角边，则点p的横坐标的值为_【答案】1或2【分析】分acp为直角、pac为直角两种情况，利用直线与抛物线的交点求解即可【详解】解：对于yx22x3，令y0，则x3或1，令x0，则y3，故点a、b、c的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）当acp为直角时，如下图，由点a、c的坐标知，oaoc3，即直线ac的与x轴负半轴的夹角为45°，而acp为直角，故直线pc的倾斜角为45°，故设直线pc的表达式为：yx+b，将点c的坐标代入上式并解得：b3，故直线pc的表达式为：yx3，联立并解得：x0或1（舍去0），故点p的坐标为：（1，0）；

44、当pac为直角时，同理可得：点p（2，5）；故答案为：1或2【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键利用分类讨论的思想求解，避免遗漏9二次函数y2x2+4x+m与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，若abc为直角三角形，则m_【答案】【解析】【分析】根据题意和勾股定理，可以求得m的值，本题得以解决【详解】设点a的坐标为（x1，0），点b的坐标为（x2，0），点a在点b的左边，点c（0，m），二次函数y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，点c在y轴的负半轴，x1x2=，m0，abc为直角三角形，(x2x1)2(x22+m2)+(x12+m2)，解得，m=-，故答案为：-【点睛】

45、本题考查勾股定理、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理解答10如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为d， 其图象与x轴的交点a、b的横坐标分别为1，3与y轴负半轴交于点c，当a=时，abd是_三角形；要使acb为等腰三角形，则a值为_【答案】等腰直角 或 【解析】解：如图1，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象与x轴的交点a、b的横坐标分别为1，3，a=，二次函数为y=（x+1）（x3），整理得y=x2x，y=（x1）22，顶点d（1，2），作deab于e，de=2，de垂直平分ab，ab=3+1=4，ae=de=be，dab=ade，

46、abd=bde，ad=bd，dab=dba，dab=ade=abd=bde，adb=dab+cba=90°，abd是等腰直角三角形；（2）要使acb为等腰三角形，则必须保证ab=bc=4或ab=ac=4或ac=bc，当ab=bc=4时，ao=1，boc为直角三角形，又oc的长即为|c|，c2=169=7，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，c=，与2a+b=0、ab+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当ab=ac=4时，ao=1，aoc为直角三角形，又oc的长即为|c|，c2=161=15，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，c=与2a+b=0、ab+c=0联立组成解方程组，

47、解得a=；同理当ac=bc时在aoc中，ac2=1+c2，在boc中bc2=c2+9，ac=bc，1+c2=c2+9，此方程无解综上，要使acb为等腰三角形，则a值为或；故答案为：等腰直角，或点睛：本题考查了抛物线和x轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键11二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）则的形状为 ；（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为 .【答案】【解析】试题分析：（1）二次函数y-x2+ax+b的图象经过、b（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛

48、物线的解析式（2）在（1）题已将证得acb90°，若a、c、b、p四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：以bc、ap为底，ac为高；可先求出直线bc的解析式，进而可确定直线ap的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点p的坐标以ac、bp为底，bc为高；方法同解：（1）二次函数y-x2+ax+b的图象经过、b（2，0）两点，由题意，得，解得：，抛物线的解析式为：c（0，1），cb2bo2+co25，ac2+cb2ab2，acb是直角三角形；（2）存在，点或；若以a、c、b、p四点为顶点的直角梯形以bc、ap为底；b（2，0），c（0，1），直线bc的解析式为：；设过点b且平

49、行于ac的直线的解析式为，将点代入得：，；联立抛物线的解析式有：，解得，或；点；若以a、c、b、p四点为顶点的直角梯形以ac、bp为底，同理可求得；故当或时，以a、c、b、p四点为顶点的四边形是直角梯形（根据抛物线的对称性求出另一个p点坐标亦可）考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形12如图，二次函数y=-x2-x+2图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，点d（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形ocda的面积的最大值是_【答案】8【解析】【分析】根据解析式求得点a、c坐标，过点d作dhx轴于点h，运用割补法即可得到：四边形ocd

50、a的面积=adh的面积+四边形ocdh的面积，据此列式计算化简就可求得s关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况【详解】解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2，c（0，2），当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，点a（-4，0）、b（1，0），点d（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，d（m，-m2-m+2），过点d作dhx轴于点h，则dh=-m2-m+2，ah=m+4，ho=-m，四边形ocda的面积=adh的面积+四边形ocdh的面积，s=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），=-m2-4m+4=-（m+2）2+8，（-4m0）；则m=-2时，s取得最大值，最大值为8，【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键13二次函数y=3x2的图象如图，点o为坐标原点，点a在y轴的正半轴上，点b、c在二次函数y=3x2的图象上，四边形obac为菱形，且oba=120°，则菱形obac的面积为 【答案】23【解析】试题分析：连接bc