一元二次方程根与系数的关系解析

1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）学习目标：1 .通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据;2 .使学生运用根与系数关系解决有关问题。学习重点：重点：一元二次方程根与系数的关系；难点：从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系。预习感知：（课前完成）从表中找出两根之和 xi+ X2与两根之积xix2和a、b、c的关系：2.再看后面三个方程（二次项系数不是1）,观察X1+ X2, Xi X2的值与系数的关系;方程两个根的X、x2 值两根之和X1+ X2两根之积X1 X2X1X2X2+5X+6=0-2一3x2-8x-9=09一1x -4x-4=02+ 7

2、72 773x2-4x+6=02232x2+7x-4=012一46x2+7x-3=0_31235x2-23x+12=04351.先从前三个方程（二次项系数是1）观察的值与一次项系数及常数项的关系;3 .猜想 aX2+bX+c=0 （aw。）的 X1+ X2, X1X2与 a、b、c 的关系；我的猜想是：X1+ X2 =, X1 X2 =；4 .怎样证明上面的结论？（求根公式是具有一般性的,我们用求根公式来证明就可以了）14归纳：对于一兀二次方程 ax2+bx+c=0 （aw0）,如果方程有两个实数根 xi, X2,那么Xi+ X2= bc一二，X1 X2=二。 aa说明：（1）定理成立的条件是

3、0；（2）注意公式中Xi+ X2= -b,的负号与b的符号的区别。a通过自学，我的困惑和问题是 .（二）共研释疑（课内完成）1 .组内交流“预习感知”中的疑难和困惑；2 .各组汇报需要帮助解决的问题，让能解决的学习小组代表解决。（三）典型例题例子1:说出下列方程的两根之和、两根之积是多少？（1） x2-3x+1=0（2） 3x2-2x=2（3） 2x2+3x=0(4) 3x2=1(5) x2+px+q=0例2:利用根与系数的关系, 倒数和；（3）（X1-X2）2求一元二次方程 2x2+3x-1=0的两根X1, X2的（1）平方和；（2）(4)(X1 + 1) (X2+1)(5) | XL x2

4、|例3:已知方程5x2+ k x6=0的一个根是2,求它的另一个根及 k的值.(四)迁移运用1,已知关于x的一元二次方程 x2mx+2m1=0的两个实数根的平方各为 23,求m的值.2.已知“、3是方程x2+2x-7=0的两个实数根，求02+3+4 3的值.21 24.已知关于x的一兀二次方程 x2-2kx+ 2k2-2=0(1) 求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设x1，x2为方程的两个根，且满足x/-2kx1+2x1x2=5,求k的值.（五）心得交流。（教师引导，学生总结）（六）评测拓展1、若XI、X2是一兀二次方程 X2-5x+6=0的两个根，则X1+ X2的值是（

5、）A、1B、5C、-52、已知方程3x2-5x-7=0的两个根是xi, X2,则下列各式中正确的是（D、6)A、X1+ X2=5, X1 X2 = 7B、X1+ X2= 5, 5X1 X2 =一-7757C、X1+ X2= 3?x 1 X2 =3D、x 1+ X2=3)X1 X2 =-33、若 X1, X2是方程2x2-6x+3=0的两个根，则工+的值为（ X1 X2)A、2B、-2C、24、若xi, X2一元二次方程x2-4x-c=0的两个根是，求另一个根及c.9D、25、设xi, X2是方程2x2-6x+3=0的两个根，求下列各式的值:22(1 ) Xi X2+X 1X26、若X1, X2

6、是方程x2+6x+3=0的两个实数根，求强+”的值.X1 X27、已知方程x2+5x+k=0的两根之差为3,求k的值.8、已知关于x的方程（a2-1） x2-（a+1） x+1=0的两实数根互为倒数，求a的值.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)学习目标:1、学会用韦达定理求代数式的值；2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数；3、理解并掌握运用韦达定理构造方程，解方程组;4、能应用韦达定理分解二次三项式。学习重难点：重点：根与系数的关系；难点：根与系数关系的应用典型例题： 根与系数关系的三大用处:(1) 计算对称式的值 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:(1)(2)(3)X

7、i2+X22=(X1+X2)2-2xiX2；1 1 X1+X2X1 X2= X1X2(X1-X2)2=(X1+X2)2-4X1X2；(4) |x1一X2|=J(X1 +x2)2 - 4X1 X2(5) X1X22+X 12X2=X 1X2(X1+ X2)等等，韦达定理体现了整体思想。例：若X1, X2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值:(1) X12+X22(2)1 1X1 X2(3) (x5)(X2-5)(4) |X1X2|(2)构造新方程理论：以X1、*2两个数为根的一元二次方程是X2- (x1+ x2) x+x 1 x2=0.例：解方程组lx+y=5xy=6(3)例

8、1定性判断字母系数的取值范围 一个三角形的两边长是方程2x2-kx+2=0的两根，第三边长为 2,求k的取值范围.1 2x+4k +1=0,根据下列条件，分别求出k的值:例2已知关于x的方程x2- (k+1 )(1)方程两实数根的积为5;(2)方程的两实根x1, x2满足|刈=x2.评测拓展A组1 . 一元二次方程(1-k) x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是()A、k>2B、k<2 且 kw1C、kv 2D、k>2 且 kw12 .已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于点 。，且OA、OB的长分别是关于 x的 方程x2 + (2m-1) x+m

9、2+3=0的根，则 m等于()A、-3B、5C、 5 或-3D、-5 或 33 .若t是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的根，则判别式=b2-4ac和完全平方式 M= (2at+b) 2的关系是()A、/=MB、MC、MD、大小关系不能确定4,若实数awb,且a、b满足a2-8a+5=0, b2-8b+5=0,则代数式号+配的值为()a-1 b-1A、-20B、2C、2 或-20D、2 或 205 .如果方程(b-c) x2+ (c-a) x+ (a-c) =0的两根相等，则 a、b、c之间的关系是 .6 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根，

10、则这个直角三角形的的斜边长是.7 .若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差为1,则k的值是.8、设xi, X2是方程x2+px+q=0的两实根，xi+1, X2+I是关于x的方程x2+qx+p=0的两实 根，贝 U p=, q=。9 .已知实数 a、b、c 满足 a=6-b, c2=ab-9, a=, b=, c=。10 .若n>0,关于x的方程x2- (m-2n) x+：mn=0有两个相等的正实数根，求 m勺值。11 .已知关于 x的一元二次方程 x2+ (4m+1) x+2m-1=0.(1)求证：不论 m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为xn x2,

11、且满足1+1= -1,求m的值.x1 x2212 .已知关于x的方程x2 - (k+1) x+4k2+1 =0的两根是一个矩形两边的长。(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线是 J5时，求k的值.B组1.已知关于x的方程(k-1) x2+ (2k-3) x+k+1=0有两个不相等的实数根 xi, X2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求k的值；如果不存在,请说明理由.2,已知关于x的方程x2+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11,求证：关于x的方程(k-3) x2+kmx-m 2+6m-4=0有实数根.3.若x1,

12、x2是关于x的方程x2- (2k+1 ) x+k2+1=0的两个实数根，且 x1, x2都大于1. (1)求实数k的取值的范围；(2)若4=；,求k的值.x2 2a a x2+bx+(2a)2= -a+ / b、2 b -4ac (x+2a) =hXi=-b+ :b2-4ac2aX2=-bqb2-4ac根的判别式：b2-4ac,用符号2a2”表示根与系数的关系:Xi+ X2=-b+Mb2-4aC+-b - Jb2-4ac -2b. b2a2a2a aXi X2=-b+ qb2-4ac -b b2-4ac (-b) 2-( b2-4ac) 2 1 3 . 1=2a2a4a4ac c4a2 =a一

13、元二次方程根与系数的关系（复习）预习感知：（课前完成）重现根的判别式以及根与系数的关系的由来（课本内容）7L二次方程 ax2+bx+c=0 （aw0, b2-4ac>0）,的求根公式的推导: ax2+bx+c=0 (aw0), x2+bx+a=0X2+bX= -c. aw0, 4a2> 0,又 b2-4ac R 0常见的形式:(1)(2)(3)(4)11 _X1+X2X1 X2- X1X2X12+X 22=(X 1+X 2)2-2x 1X2 ；(X1-X2)2=(X1+X2)2-4X1X22 L|X1X2|=J(x +x2) -4x1x21.判定一元二次方程的根的情况时，当力当=0

14、时0时，当0时,2 .如果方程ax2+bx+c=0 （aw0）的两根是X1,3 .如果方程x2+px+q=0的两根为X1X2,那么X2,那么X1+X2=Xi+X2= ； X1 X2=X1 X2=.4 .以两个数X1,X2为根的次方程（二次项系数为1）是5.写出以2、3为根，二次项系数为 1的共研释疑（课内完成）例题讲解：二次方程为例1:(1)不解方程，请说出下列 x2-4x-3=0 ,.次方程的两根的和与两根的积:（2） 4x2-4x+1=0例2:设Xi, X2是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:(1)1 1X1 X2x 2(2)(X1-X2)例3:关于

15、x的方程kx2+(k+20x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。例 4：已知关于 x 的方程 x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0 的两根为 xi, X2,且满足 Xix2-3xi-3x2-2 =0, 求(1 +言)等的值.例5:已知 ABC的两边AB、AC的长恰好是关于 x的方程x2+(2k+3)bx+k 2+3k+2=0的两 个实数根，第三边 BC的长为5.(1)求证：ABWAC(2)如果 ABC是以BC为斜边的直角三角形，求 k的值；(3)当k为何值时， ABC是等腰三角形，并求出 ABC的周长.评测

16、拓展1、已知方程4x2-12x +m=0的两根之比是 3: 2,求m的值.2、已知关于x的一元二次方程 x2+kx-1=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根.(2)设方程的两个根为xi, x2,且满足xi+x2=xi x2,求k的值.3、关于x的一元二次方程 kx2-2(k+2)x+k-1=0有两个不相等的实数根xi, x2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使1+=1成立？若存在，求 k的值，若不存在，说明理由 x1 x24、关于x的方程kx2+(k+2)x+4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在k,使两根之各等于 0?若存在，求k的值，若不存在，说明

17、理由5、已知关于 x 的一元二次方程 mx2-(2m-1)x+m-2=0( m> 0).(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)这个方程的两个实数根是x1，x2,且(x1-3)(x2-3)=5m ,求m的值.6、关于 x 的一元二次方程3x2-(a2-3a-18)x+4a=0 的两个根互为相反数，求a 的值，方程的两个解 .7、关于x的一元二次方程 2x2+2kx+2k+3=0的两个实数根为xi, X2,问是否存在实数k,使其成立？若成在，求k 的值，若不存在，说明理由 .8 、关于x 的方程x2+2(m+2)x+m 2+4=0 有两个实数根，且这两个根的平方和比两个实数根的积大40，求m 的值 .9 、关于 x 的一元二次方程ax2-5x+2=0 有两个同号实数根，试判断这两个同号实数根是两4x2+4(m-1)x+m 2=0 的两个非零实数根，问这两个根 m 的取值范围，并指出两根的正负；若