《中考课件初中数学总复习资料》课时20 二次函数的应用

1、第20课时二次函数的应用考点一抛物线型问题考点一抛物线型问题【主干必备【主干必备】解决方法解决方法或步骤或步骤根据实际问题的特点根据实际问题的特点, ,建立恰建立恰当的坐标系当的坐标系; ;设二次函数的解析式设二次函数的解析式, ,把实际把实际问题中的数据转化为点的坐标问题中的数据转化为点的坐标, ,用待定系数法求解析式用待定系数法求解析式; ;通过解析式解决问题通过解析式解决问题. . 【微点警示【微点警示】 解决抛物线问题应注意两点解决抛物线问题应注意两点: :(1)(1)点的坐标与线段长度的转化点的坐标与线段长度的转化. .(2)(2)自变量取值范围的确定自变量取值范围的确定. .【核心

2、突破【核心突破】【例【例1 1】(2018(2018衢州中考衢州中考) )某游乐园某游乐园有一个直径为有一个直径为1616米的圆形喷水池米的圆形喷水池, ,喷喷水池的周边有一圈喷水头水池的周边有一圈喷水头, ,喷出的水柱为抛物线喷出的水柱为抛物线, ,在距水在距水池中心池中心3 3米处达到最高米处达到最高, ,高度为高度为5 5米米, ,且各方向喷出的水柱且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. .如图所示如图所示, ,以水平方以水平方向为向为x x轴轴, ,喷水池中心为原点建立直角坐标系喷水池中心为原点建立直角坐标系. .世纪金世纪金榜导学号榜导学号(

3、1)(1)求水柱所在抛物线求水柱所在抛物线( (第一象限部分第一象限部分) )的函数表达式的函数表达式. .(2)(2)王师傅在喷水池内维修设备期间王师傅在喷水池内维修设备期间, ,喷水管意外喷水喷水管意外喷水, ,为了不被淋湿为了不被淋湿, ,身高身高1.81.8米的王师傅站立时必须在离水米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内池中心多少米以内? ?(3)(3)经检修评估经检修评估, ,游乐园决定对喷水设施做如下设计改游乐园决定对喷水设施做如下设计改进进: :在喷出水柱的形状不变的前提下在喷出水柱的形状不变的前提下, ,把水池的直径扩把水池的直径扩大到大到3232米米, ,各方向喷出的水柱

4、仍在喷水池中心保留的原各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物装饰物( (高度不变高度不变) )处汇合处汇合, ,请探究扩建改造后喷水池水请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度柱的最大高度. .【自主解答【自主解答】(1)(1)设水柱所在抛物线设水柱所在抛物线( (第一象限部分第一象限部分) )的的函数表达式为函数表达式为y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+5(a0),+5(a0),将将(8,0)(8,0)代入代入y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+5,+5,得得:25a+5=0,:25a+5=0,解得解得:a=- ,:a=- ,水柱所在抛物线水柱所在抛物线( (第一象限部分第一象限

5、部分) )的函数表达式为的函数表达式为y=- (x-3)y=- (x-3)2 2+5(0 x8).+5(0 x8).1515(2)(2)当当y=1.8y=1.8时时, ,有有- (x-3)- (x-3)2 2+5=1.8,+5=1.8,解得解得:x:x1 1=-1,x=-1,x2 2=7,=7,为了不被淋湿为了不被淋湿, ,身高身高1.81.8米的王师傅站立时必须在离米的王师傅站立时必须在离水池中心水池中心7 7米以内米以内. .15(3)(3)当当x=0 x=0时时,y=- (x-3),y=- (x-3)2 2+5= .+5= .设改造后水柱所在抛物线设改造后水柱所在抛物线( (第一象限部分

6、第一象限部分) )的函数表达式的函数表达式为为y=- xy=- x2 2+bx+ ,+bx+ ,该函数图象过点该函数图象过点(16,0),(16,0),0=- 0=- 16162 2+16b+ ,+16b+ ,解得解得:b=3,:b=3,151651516515165改造后水柱所在抛物线改造后水柱所在抛物线( (第一象限部分第一象限部分) )的函数表达的函数表达式为式为y=- xy=- x2 2+3x+ = +3x+ = 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米米. .151652115289(x),522028920 【明【明技法技法】抛物线型问题解题步骤抛物线型

7、问题解题步骤1.1.建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系: :如果题目没有给出平面直角坐如果题目没有给出平面直角坐标系标系, ,则根据题意则根据题意, ,建立恰当的坐标系建立恰当的坐标系, ,建系的原则一般建系的原则一般是把顶点作为坐标原点是把顶点作为坐标原点. .2.2.设函数解析式设函数解析式: :根据所建立的坐标系根据所建立的坐标系, ,设出解析式设出解析式. .3.3.求解析式求解析式: :依据实际问题中的线段的长依据实际问题中的线段的长, ,确定某些关确定某些关键点的坐标键点的坐标, ,代入函数解析式代入函数解析式, ,求出待定系数求出待定系数, ,确定函数确定函数解析式解析式. .

8、4.4.解决实际问题解决实际问题: :把问题转化为已知抛物线上点的横坐把问题转化为已知抛物线上点的横坐标标( (或纵坐标或纵坐标),),求其纵坐标求其纵坐标( (或横坐标或横坐标),),再转化为线段再转化为线段的长的长, ,解决实际问题解决实际问题. .【题组过关【题组过关】1.(20181.(2018绵阳中考绵阳中考) )如图是抛物线型拱桥如图是抛物线型拱桥, ,当拱顶离当拱顶离水面水面2 m2 m时时, ,水面宽水面宽4 m,4 m,水面下降水面下降2 m,2 m,水面宽度增加水面宽度增加 m.m.(4 24)2.(20182.(2018滨州中考滨州中考) )如图如图, ,一小球沿与地面成

9、一定角度一小球沿与地面成一定角度的方向飞出的方向飞出, ,小球的飞行路线是一条抛物线小球的飞行路线是一条抛物线, ,如果不考如果不考虑空气阻力虑空气阻力, ,小球的飞行高度小球的飞行高度y(y(单位单位:m):m)与飞行时间与飞行时间x(x(单位单位:s):s)之间具有函数关系之间具有函数关系y=-5xy=-5x2 2+20 x,+20 x,请根据要求请根据要求解答下列问题解答下列问题: :世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)在飞行过程中在飞行过程中, ,当小球的飞行高度为当小球的飞行高度为15 m15 m时时, ,飞行时飞行时间是多少间是多少? ?(2)(2)在飞行过程中在飞行过程中,

10、,小球从飞出到落地所用时间是多少小球从飞出到落地所用时间是多少? ?(3)(3)在飞行过程中在飞行过程中, ,小球飞行高度何时最大小球飞行高度何时最大? ?最大高度是最大高度是多少多少? ?略略考点二最值问题考点二最值问题【主干必备【主干必备】解决解决方法方法或步骤或步骤分析问题建立模型分析问题建立模型; ;设自变量建立二次函数解析式设自变量建立二次函数解析式; ;确定自变量的取值范围确定自变量的取值范围; ;应用配方法得到顶点式应用配方法得到顶点式, ,在自变量在自变量的取值范围内求出最大值或最小值的取值范围内求出最大值或最小值. . 【微点警示【微点警示】 探究实际问题中的最值时探究实际问

11、题中的最值时, ,切记二次函切记二次函数图象顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内数图象顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内, ,若在若在, ,就取此时的函数值为最值就取此时的函数值为最值, ,否则要按对称轴的一侧的增否则要按对称轴的一侧的增减性确定其最值减性确定其最值. .【核心突破【核心突破】【例【例2 2】某个体商户购进某种电子产品的进价是某个体商户购进某种电子产品的进价是5050元元/ /个个, ,根据市场调研发现售价是根据市场调研发现售价是8080元元/ /个时个时, ,每周可卖出每周可卖出160160个个. .若销售单价每个降低若销售单价每个降低2 2元元, ,则每周可多卖出则每周可

12、多卖出2020个个. .设销售价格每个降低设销售价格每个降低x x元元(x(x为偶数为偶数),),每周销售量为每周销售量为y y个个. .(1)(1)直接写出销售量直接写出销售量y(y(个个) )与降价与降价x(x(元元) )之间的函数关系之间的函数关系式式. .(2)(2)设商户每周获得的利润为设商户每周获得的利润为w w元元, ,当销售单价定为多少当销售单价定为多少元时元时, ,每周销售利润最大每周销售利润最大, ,最大利润是多少元最大利润是多少元? ?(3)(3)若商户计划下周利润不低于若商户计划下周利润不低于5 2005 200元的情况下元的情况下, ,他至他至少要准备多少元进货成本少

13、要准备多少元进货成本? ?【自主解答【自主解答】(1)y=160+ (1)y=160+ 20,20,即即y=10 x+160.y=10 x+160.(2)w=(30-x)(10 x+160)=-10(x-7)(2)w=(30-x)(10 x+160)=-10(x-7)2 2+5 290.+5 290.x x为偶数为偶数, ,当当x=6x=6或或8 8时时,w,w取最大值取最大值5 280.5 280.当当x=6x=6时时, ,销售单价为销售单价为80-6=74(80-6=74(元元););x2当当x=8x=8时时, ,销售单价为销售单价为80-8=72(80-8=72(元元).).当销售单价定

14、为当销售单价定为7474元或元或7272元时元时, ,每周销售利润最大每周销售利润最大, ,最大利润是最大利润是5 2805 280元元. .(3)(3)w=-10(x-7)w=-10(x-7)2 2+5 290,+5 290,当当w=5 200w=5 200元时元时,-10(x-7),-10(x-7)2 2+5 290=5 200.+5 290=5 200.解得解得x x1 1=10,x=10,x2 2=4.=4.销售量销售量y=10 x+160y=10 x+160随随x x的增大而增大的增大而增大, ,当当x=4x=4时时, ,进货成本最小进货成本最小. .当当x=4x=4时时, ,销售量

15、销售量y=10 x+160=200,y=10 x+160=200,此时进货成本为此时进货成本为20020050=10 000(50=10 000(元元).).答答: :他至少要准备他至少要准备10 00010 000元进货成本元进货成本. .【题组过关【题组过关】1.(20181.(2018沈阳中考沈阳中考) )如图如图, ,一块矩形一块矩形土地土地abcdabcd由篱笆围着由篱笆围着, ,并且由一条与并且由一条与cdcd边平行的篱笆边平行的篱笆efef分开分开. .已知篱笆的已知篱笆的总长为总长为900 m(900 m(篱笆的厚度忽略不计篱笆的厚度忽略不计),),当当ab=_mab=_m时时

16、, ,矩形矩形abcdabcd的面积最大的面积最大. . 世纪金榜导学号世纪金榜导学号1501502.(20182.(2018江西中考江西中考) )某乡镇实施产业某乡镇实施产业扶贫扶贫, ,帮助贫困户承包了荒山种植某帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚品种蜜柚. .到了收获季节到了收获季节, ,已知该蜜柚已知该蜜柚的成本价为的成本价为8 8元元/ /千克千克, ,投入市场销售时投入市场销售时, ,调查市场行情调查市场行情, ,发现该蜜柚销售不会亏本发现该蜜柚销售不会亏本, ,且每天销售且每天销售量量y(y(千克千克) )与销售单价与销售单价x(x(元元/ /千克千克) )之间的函数关系如之间的函

17、数关系如图所示图所示. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求求y y与与x x的函数关系式的函数关系式, ,并写出并写出x x的取值范围的取值范围. .(2)(2)当该品种蜜柚定价为多少时当该品种蜜柚定价为多少时, ,每天销售获得的利润每天销售获得的利润最大最大? ?最大利润是多少最大利润是多少? ?(3)(3)某农户今年共采摘蜜柚某农户今年共采摘蜜柚4 8004 800千克千克, ,该品种蜜柚的保该品种蜜柚的保质期为质期为4040天天, ,根据根据(2)(2)中获得最大利润的方式进行销售中获得最大利润的方式进行销售, ,能否销售完这批蜜柚能否销售完这批蜜柚? ?请说明理由请说明理由.

18、 .略略考点三二次函数的综合应用考点三二次函数的综合应用【主干必备【主干必备】解决解决方法方法或或步骤步骤运用已知条件运用已知条件, ,根据图形的特点综合运根据图形的特点综合运用所学知识用所学知识( (如勾股定理、特殊平行四如勾股定理、特殊平行四边形、全等三角形、相似三角形、解直边形、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等角三角形、图形的面积公式等),),寻找等寻找等量关系量关系, ,构造出二次函数构造出二次函数, ,利用二次函数利用二次函数的性质求解的性质求解. .往往涉及最小距离或图形的往往涉及最小距离或图形的周长、面积的最值等问题周长、面积的最值等问题. .【核心突破【核

19、心突破】【例【例3 3】抛物线抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于点轴交于点a,b,a,b,与与y y轴交于轴交于点点c,c,其中点其中点b b坐标为坐标为(3,0),(3,0),点点c c坐标为坐标为(0,3).(0,3).(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(2)(2)如图如图, ,若若d d是抛物线的顶点是抛物线的顶点, ,经过点经过点c,dc,d两点的直线与两点的直线与x x轴交于点轴交于点e,e,若点若点f f是是抛物线上一点抛物线上一点, ,以以a,c,e,fa,c,e,f为顶点的四为顶点的四边形是平行四边形时边形是平行四边形时, ,求点求

20、点f f的坐标的坐标; ; q q是直线是直线afaf上方的抛物线上一动点上方的抛物线上一动点, ,求求afqafq的最大面的最大面积和此时积和此时q q点的坐标点的坐标; ;点点h h是抛物线上的动点是抛物线上的动点, ,在在x x轴上是否存在点轴上是否存在点g,g,使以使以a,f,g,ha,f,g,h四个点为顶点的四边形是平行四边形四个点为顶点的四边形是平行四边形? ?若存在若存在, ,请直接写出所有满足条件的点请直接写出所有满足条件的点g(h)g(h)坐标坐标; ;若不存在若不存在, ,请请说明理由说明理由. .【自主解答【自主解答】略略 【明【明技法技法】1.1.因动点产生的三角形问题

21、因动点产生的三角形问题(1)(1)坐标优先坐标优先, ,不知道的坐标以线段表示不知道的坐标以线段表示, ,最后再求坐标最后再求坐标. .(2)(2)找到相似三角形中不变的角找到相似三角形中不变的角. .(3)(3)求坐标的两种方法求坐标的两种方法: :一是用相似一是用相似( (利用成比例线段利用成比例线段),),二是用函数二是用函数. .2.2.因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题(1)(1)观察已知根据几个点求平行四边形观察已知根据几个点求平行四边形. .(2)(2)若已知三个点若已知三个点, ,则以对角线来判断要求的点则以对角线来判断要求的点. .(3)(3)若已知两个点若

22、已知两个点, ,其余两点都是动点其余两点都是动点, ,则考虑两点的连则考虑两点的连线是平行四边形的对角线或是平行四边形的边来分类线是平行四边形的对角线或是平行四边形的边来分类讨论讨论. .3.3.因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题(1)(1)观察图形是否有一边与坐标轴平行或重合于一个三观察图形是否有一边与坐标轴平行或重合于一个三角形角形. .(2)(2)割补四边形或多边形割补四边形或多边形. .【题组过关【题组过关】 (2018(2018白银中考白银中考) )如图如图, ,已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+2x+c+2x+c的的图象经过点图象经过点c(0,3),c(0,3),与与x x