《初中数学总复习资料》2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第12讲二次函数图像与性质 知识归纳＋真题解析（2017年真题）

1、【知识归纳】1一般地，形如 的函数叫做二次函数，当a ，b 时，是一次函数2二次函数yax2bxc的图象是 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）.3抛物线的开口方向由a确定，当a0时，开口 ；当a0时，开口 ；a的值越 ，开口越 4抛物线与y轴的交点坐标为 当c0时，与y轴的 半轴有交点；当c0时，与y轴的 半轴有交点；当c0时，抛物线过 5若a0，当x时，y有最小值，为 ；若a0，当x时，y有最大值，为 6当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧y随x的增大而 7当m0时，二次函数yax2的

2、图象向 平移 个单位得到二次函数ya（xm)2的图象；当k0时，二次函数yax2的图象向 平移 个单位得到二次函数yax2k的图象平移的口诀：左“ ”右 “ ”；上“ ”下“ ”【知识归纳答案】1 y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)，当a=0 ，b0时，是一次函数2一条抛物线，对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，）.3开口向上；当a0时，开口向下；a的值越大，开口越小4（0，c）当c0时，与y轴的正半轴有交点；当c0时，与y轴的负半轴有交点；当c0时，抛物线过（0，0）5若a0，当x时，y有最小值，为；若a0，当x时，y有最大值，为6小，增大；增大，减小7左平移m个上平移k个：左“

3、”右 “”；上“”下“”真题解析选择题（共6小题）1已知关于x的方程x2+1=有一个正的实数根，则k的取值范围是（）ak0bk0ck0dk0【考点】h2：二次函数的图象；g2：反比例函数的图象【分析】将方程x2+1=的解可看成抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点横坐标，画出函数图象，利用数形结合即可得出结论【解答】解：方程x2+1=的解可看成抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点横坐标画出两函数图象，如图所示抛物线y=x2+1开口向上，且最低点为（0，1），当x0时，y=x2+10，双曲线y=在第一象限有图象，k0故选c2如图，一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx（a0）图象大

4、致是（）abcd【考点】h2：二次函数的图象；f3：一次函数的图象【分析】利用一次函数的图象的性质确定a、b的符号，然后看二次函数是否符合即可确定正确的选项【解答】解：a、一次函数y=ax+b（a0）中a0，b0，二次函数y=ax2+bx（a0）中a0，b0，故错误，不符合题意；b、一次函数y=ax+b（a0）中a0，b0，二次函数y=ax2+bx（a0）中a0，b0，故正确，符合题意；c、一次函数y=ax+b（a0）中a0，b0，二次函数y=ax2+bx（a0）中a0，b0，故错误，不符合题意；d、一次函数y=ax+b（a0）中a0，b=0，二次函数y=ax2+bx（a0）中a0，b0，故错

5、误，不符合题意；故选b3如图，关于x的二次函数y=x2x+m的图象交x轴的正半轴于a，b两点，交y轴的正半轴于c点，如果x=a时，y0，那么关于x的一次函数y=（a1）x+m的图象可能是（）abcd【考点】h2：二次函数的图象；f3：一次函数的图象【分析】根据函数图象与y轴的交点，可得m0，根据二次函数图象当x=a时，y0，可得a0，a10，根据一次函数的性质，可得答案【解答】解：把x=a代入函数y=x2x+m，得y=a2a+m=a（a1）+m，x=a时，y0，即 a（a1）+m0由图象交y轴的正半轴于点c，得m0，即a（a1）0x=a时，y0，a0，a10，一次函数y=（a1）x+m的图象过

6、一二四象限，故选：a4对于二次函数y=（x1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）a对称轴是直线x=1，最小值是2b对称轴是直线x=1，最大值是2c对称轴是直线x=1，最小值是2d对称轴是直线x=1，最大值是2m0，m=2m（2，8）故选c6对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）a1b2c3d4【考点】h3：二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【解答】解：a=0，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3），正确；

7、x1时，y随x的增大而减小，x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个故选：c二填空题（共5小题）7抛物线y=ax2+bx+c的大致图象如图，则b的取值范围是b1【考点】h2：二次函数的图象【分析】根据顶点位于x轴的下方，可得不等式，根据自变量与函数值的对应关系，可得a，b，c的关系，根据等量代换，可得关于b的不等式，根据解不等式，可得答案【解答】解：当x=1时，y=ab+c0，当x=1时，y=a+b+c=2，a+c=2b2bb0，b1，故答案为：b18用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象时，列出了如下表格： x 1 23 4 y=ax2+bx+c

8、 01 03 那么该二次函数在x=0时，y=3【考点】h2：二次函数的图象【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），对称轴为x=2，当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，当x=4时，y=3，当x=0时，y=3故答案是：39如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2则a、b、c、d的大小关系为abdc【考点】h2：二次函数的图象【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小【解

9、答】解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，abdc10如图，抛物线y=x22x+k（k0）与x轴相交于a（x1，0）、b（x2，0）两点，其中x10x2，当x=x1+2时，y0（填“”“=”或“”号）【考点】h3：二次函数的性质【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程x=1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴x=1距离大于1，所以当x=x1+2时，抛物线图象在x轴下方，即y0【解答】解：抛物线y=x22x+k（k0）的对称轴方程是x=1，又x10，x1与对称轴x=1距离大于1，x1+2x2，当x=x1+2时，抛物线图象在x

10、轴下方，即y0故答案是：11对于二次函数y=x23x+2和一次函数y=2x+4，把y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）（t为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线f，现有点a（2，0）和抛物线f上的点b（1，n），下列结论正确的有n的值为6；点a在抛物线f上；当t=2时，“再生二次函数”y在x2时，y随x的增大而增大当t=2时，抛物线f的顶点坐标是（1，2）【考点】h3：二次函数的性质；f5：一次函数的性质；f8：一次函数图象上点的坐标特征【分析】已知点b在抛物线e上，将该点坐标代入抛物线e的解析式中直接求解，即可得到n的值将点a的坐标代入抛物线e

11、上直接进行验证即可；代入t=2得到二次函数，从而确定其增减性即可将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标【解答】解：将x=1代入抛物线e的解析式中，得：n=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=6，正确将x=2代入y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4），得 y=0，点a（2，0）在抛物线e上，正确当t=2时，y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=2x24x=2（x1）22，对称轴为x=1，开口向上，当x2时，y随x的增大而增大，正确；将t=2代入抛物线e中，得：y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=2x24x=2（x1）22，此时抛物线的顶点坐标为：（

12、1，2），错误；故答案为：三解答题（共8小题）12有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值 x321123ym函数y=x2+的自变量x的取值范围是x0，m的值为；（2）在如图所示的平面直角坐标系xoy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点并画出该函数的大致图象；（3）进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有1个交点，所以对应方程x2+=0有1个实数根；方程x2+=2有3个实数根；结合函数的图象，写出该函数的一条性质函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有

13、经过第四象限【考点】h2：二次函数的图象；h3：二次函数的性质【分析】（1）观察函数解析式即可得到x0，求出x=3时的自变量的值即可解决问题（2）利用描点法画出函数图象即可（3）三个问题，观察函数图象即可解决【解答】解：（1）由题意x0，m=，故答案为x0，（2）函数图象如图所示（3）由图象可知与x轴有一个交点，对应方程x2+=0有一个实数根故答案为1，1观察图象可知，方程x2+=2有3个实数根，故答案为3在函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限等，答案不唯一故答案为函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限13某班“数学兴趣小组”对函数y=x22|x|

14、的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x3210123y3m10103其中，m=0（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分（3）观察函数图象，写出两条函数的性质（4）进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x22|x|=0有3个实数根；方程x22|x|=2有2个实数根；关于x的方程x22|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是1a0【考点】h2：二次函数的图象；aa：根的判别式【分析】（1）把x=2代入函数解释式即可得m的值；（2）

15、描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数y=x22|x|的图象关于y轴对称；当x1时，y随x的增大而增大；（4）根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；如图，根据y=x22|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；根据函数的图象即可得到a的取值范围是1a0【解答】解：（1）把x=2代入y=x22|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：函数y=x22|x|的图象关于y轴对称；当x1时，y随x的增大而增大；（4）由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x22|x|=0有3个实数根；如图，y=x22|x|的图象与直线y=2

16、有两个交点，x22|x|=2有2个实数根；由函数图象知：关于x的方程x22|x|=a有4个实数根，a的取值范围是1a0，故答案为：3，3，2，1a014在给定坐标系内，画出函数y=（x1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围【考点】h2：二次函数的图象【分析】利用描点法可画出函数图象，根据二次函数的性质求解即可【解答】解：如图，当x1，y随x的增大而减小15有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x1；（2）如表是y与x的几组对应值 x32102345y02如图，在平面直角坐标系xoy中，描出了以上表中各对对应值为

17、坐标的点观察图中各点的位置发现：点a1和b1，a2和b2，a3和b3，a4和b4均关于某点中心对称，则该点的坐标为（1，1）；小文分析函数y=的表达式发现：当x1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；（3）小文补充了该函数图象上两个点（，），（，），在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；写出该函数的一条性质：当x1时，该函数的最小值为1【考点】h3：二次函数的性质；h2：二次函数的图象；h7：二次函数的最值【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得，根据函数的性质求得即可；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直

18、线连接即可；可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答【解答】解：（1）依题意得：2x20，解得x1，故答案是：x1；（2）点a1和b1，a2和b2，a3和b3，a4和b4均关于某点中心对称，a1（0，0），b2（2，2），中心点点坐标为（1，1）；当x1时，该函数的最大值为0，该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；故答案为（1，1）；（0，0）；（3）该函数的性质：（）当x0时，y随x的增大而增大；当0x1时，y随x的增大而减小；当1x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大（）函数的图象经过第一、三、四象限（）函数的图象与直线x=1无交

19、点，图象由两部分组成（）当x1时，该函数的最小值为1故答案为当x1时，该函数的最小值为116直线y=3x+3与x轴、y轴分别父于a、b两点，点a关于直线x=1的对称点为点c（1）求点c的坐标；（2）若抛物线y=mx2+nx3m（m0）经过a、b、c三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过a，b两点，且顶点在第二象限抛物线与线段ac有两个公共点，求a的取值范围【考点】h3：二次函数的性质；h8：待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可找出点a、b的坐标，由对称即可找出点c的坐标；（2）根据点a、b、c的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线

20、的表达式；（3）依据题意画出函数图象，利用数形结合可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：（1）当x=0时，y=3x+3=3，点b的坐标为（0，3）；当y=3x+3=0时，x=1，点a的坐标为（1，0）点a关于直线x=1的对称点为点c，点c的坐标为（3，0）（2）将a（1，0）、b（0，3）、c（3，0）代入y=mx2+nx3m中，解得：，抛物线的表达式为y=x22x+3（3）依照题意画出图形，如图所示抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过a，b两点，且顶点在第二象限抛物线与线段ac有两个公共点，解得：a3答：a的取值范围为a317阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xo

21、y中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于a（1，3）和b（3，1）两点，观察图象可知：当x=3或1时，y1=y2；当3x0或x1时，y1y2；即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b的解集有这样一个问题：求不等式x3+4x2x40的解集艾斯柯同学类比以上知识的研究方法，用函数与方程的思想对不等式的解法进行了探究，请将他下面的（2）（3）（4）补充完整：（1）当x=0时，原不等式不成立：当x0时，原不等式可以转化为x2+4x1；当x0时，原不等式可以转化为x2+4x1（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x1，y4=在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象双曲线y4=如图2所示，请在此坐标

22、系中直接画出抛物线y3=x2+4x1（可不列表）；（3）利用图象，确定交点横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为4，1或1（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2x40的解集为4x1或x1【考点】h3：二次函数的性质；g2：反比例函数的图象；h2：二次函数的图象【分析】（2）根据二次函数的解析式找出函数图象上的几点坐标，依此画出函数图象即可；（3）观察函数图象，找出交点的横坐标，并代入函数解析式中求出y值进行验证；（4）找出当x0时，抛物线在双曲线下方的部分；当x0时，抛物线在双曲线上方的部分

23、，由此即可得出结论【解答】解：（2）y3=x2+4x1对称轴是x=2，顶点坐标（2，5），且开口向上，与y轴交点的坐标分别是（0，1），（0，1）关于对称轴的对称点是（4，1）用三点法作抛物线如图所示（3）观察函数图象可知：交点的横坐标分别为4，1或1当x=4时，y3=x2+4x1=1，y4=1；当x=1时，y3=x2+4x1=4，y4=4；当x=1时，y3=x2+4x1=4，y4=4满足y3=y4的所有x的值为：4，1 或1故答案为：4，1 或1（4）观察函数图象可知：当4x1时，二次函数y3=x2+4x1的图象在反比例函数y4=的图象的下方；当x1时，二次函数y3=x2+4x1的图象在反比

24、例函数y4=的图象的上方，不等式x3+4x2x40的解集为：4x1或x1故答案为：4x1或x118若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1=a（xm）2+4（m0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；当x=m时，y2=15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）（1）求m的值；（2）求二次函数y1，y2的解析式【考点】h3：二次函数的性质【分析】（1）根据已知新定义和当x=m时，y2=15得出15=m2a（mm）2+4m+10，求出即可；（2）把m的值代入函数y2，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可【解答】解：（1）y1=a（xm）2+