2018年考研数学一真题及全面解析(Word版)

1、超级狩猎者整理 第1 1页共 15页 2018 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一考研真题与全面解析 、选择题： 1 18 8 小题，每小题 4 4 分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. . 1.1.下列函数中在 x = = 0 0 处不可导的是（ ） （A A） f （x） = x sinx （B B） f（x）=|xsinfX （C C） f（x）=cosx （ D D） f（x） = cosf 【答案】（D） 【解析】根据导数定义，A. A. lim f（x） f（）= lim止酣=lim凹X = 0，可

2、导; T x xT x T x T n 一（2 冷,2 yo, T）， 切平面方程为 2x(x-)0)2y(y- y)-(z-z0)= 0 切平面过点（1,0,0），（0,1,0），故有B. B. lim x )0 (A) z = 0与 x y - z = 1 (C)x = y 与 x y - z = 1 【答案】(B) (B)(B) z = 0与2x 2y - z = 2 (D(D)x = y与2x 2y - z = 2 【解析一】设平面与曲面的切点（x0,y0,z0），则曲面在该点的法向量f(x)-f(0) x =0,=0,可导; 2 x C.C. cos x -1 ，可导; D.D. x

3、 ，极限不存在。故选（ 超级狩猎者整理 第2 2页共 15页 2x（1-Xo） 2y（0-y）-（0-Zo） =0, （1 1） 2x（O-Xo）2yo（1-y）-（O-z）=O,（2） 又（x0, y0,z0）是曲面上的点，故 zo=x0 y0 , （3 3） 解方程（i i）（ 2 2）（ 3 3）,可得切点坐标（0,0,0）或（1,1,2）。因此，切平面有两个 z = 0 与 2x，2y-z = 2，故选（B）. . 【解析二】由于 x = y不经过点 （1,0,0）和（0,1,0）， 所以排除（c c）（ D D）。 对于选项（A），平面x y - z = 1的法向量为（1,1-1），

4、曲面x2 y2 - z = 0的法 向量为（2x,2y,-1），如果所给平面是切平面，则切点坐标应为 （丄 丄 丄），而曲面在该点处的 222 【答案】（B） 切平面为X y - z = 1, 2 所以排除（A A）. .所以唯一正确的选项是（ B）. . n 2n 3 3.3. (一1)(2n 1)! n =0 A sin1 cos1 C 2sin1 2cos1 B 2sin1 cos1 D 2sin1 3cos1 【解析】因为 sin x QO z (-1)n 2n 1 x n(2 n 1)! ,cosx 2n x n (2n)! 2n 3 而In 1)! n =0 2n 1 Sn 1)!

5、 n=0 0 八(-1)n n =0 (2n 1)! (-1)n 2 4 4. .设 M 二 i21jdx =二， 令 f (x)二 e -1 - x, x ( ,)，则 f x) e 1 2 2 J JI J 当X(0,2)时，f (x) 0，故对-X r-,-)，有 f(x)-f(0)，因而 1 x 1 x e N : -21 x 2 e ?dx： :2-1Ldx -二，故 K M -N。应选（C）. 1 1 1 0 5.5.下列矩阵中阵， 与矩阵 0 1 1 相似的是（ ） .0 0 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 0 -1 1 1 1 1 -1 1 1 0 -1 1 （A A）

6、0 1 1 (B) 0 1 1 (C(C) 0 1 cl 0 ( D D) 0 1 0 0 0 1 _0 0 1 _0 0 1 _0 0 1 【答案】（A） 1 1 1 0 1 【解析】记矩阵H = 0 1 1 ，则秩 r（H） = 3，迹 tr（H） = 3, ,特征值，=1 0 0 1 （三重）。观察A, B,C,D 四个选项，它们与矩阵 H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也 2 (1 x)2 1 x2 2x 2 1 X2 -2X2)dx 二二 1 x2 时，f （x） 超级狩猎者整理 第5 5页共 15页 相等，进一步分析可得：r（，E-H） = 2, ,rCE - A） = 2，

7、r（，E-B）=1 r（E-C）=1, , r（E-D）=1。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kE - A与kE - X 相似（k为任意常数），从而r （kE - A） = r （kE - X），故选（A）, , 6.6.设A, B是n阶矩阵，记r（X）为矩阵X的秩，（X,Y）表示分块矩阵，则（）超级狩猎者整理 第6 6页共 15页 (A)r(A, AB) = r(A) (B)r(A,BA) = r(A) (C C) r(A, B)二 maxr(A), r(B) (D)r(A,B)二 r(AT ,BT) 【答案】(A) 【解析】把矩阵A, AB 按列分块，记A=(rs，llhn)，AB=(暮為,

8、|片) ，则向量 组，、2，川可以由向量组 线性表出，从而2,11卜n与 ：i，：2，IMn，-1,-21-n，等价，于是 r(A,AB) = r(A)，故选(A )。 2 7.7.设随机变量X的概率密度f (x)满足f (1 - x) = f (1 x)，且 f (x)dx = 0.6 L 0 则 P X ： 0=()() (A A)0.20.2 ( B B)0.30.3 ( C C) 0.40.4 ( D D)0.50.5 【答案】(A) 8.8.设总体X服从正态分布 N(，二2),X2JH, Xn是来自总体X的简单随机样本，据此 样本检测，假设 H0二%,H1八爲，则( ) f(x) 关

9、于X = 1对称, 2 0 f (x)dx二0.6，容易得出 0 1 讼 PX 0=(x)dx二 f (x)dx - 2 o f (x)dxp 0.2，故选(A )。 -OJ 超级狩猎者整理 第7 7页共 15页 (A )如果在检验水平 :二0.05下拒绝H0，那么在检验水平 =0.01下必拒绝H0 ； (B(B)如果在检验水平 。=0.05下拒绝H0，那么在检验水平 -=0.01下必接受H0 ； (C(C)如果在检验水平 :=0.05下接受H0，那么在检验水平 -0.01下必拒绝H0 ； 超级狩猎者整理 第8 8页共 15页 由于u0.025 u0.005，口 = 0.01下接受域的区间包含

10、了 G = 0.05下接受域的区间，故选(D)。 9_149_14 小题，每小题 4 4 分，共 2424 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. . 1 1-tanx 9.9.若 lim I XTP (1 + tan x .丿 【答案】-2 ” 1 | -2tan x lim x 0sin kx 1 亠tanx . io.io.设函数f (x)具有二阶连续导数，若曲线y= f (x)过点(0,0),且与y = 2x在点(1,2)处 1 相切，求(xf (x)dx = _ 。 【答案】2(ln2-1) 【解析】 由已知条件可得： f(0) =0,f(1)= 2,f (1)= 2l n 2, 1

11、1 J 1 故 oxf (x)dx 二 o xdf (x)二 xf (x)|0 - f (x)dx(D)如果在检验水平=0.05下接受H0，那么在检验水平，-0.01下必接受H0。 【答案】(D) 【解析】 正确解答该题， 应深刻理解“检验水平”的含义。 X _匕 统计量 0 N(0,1), ,在检验水平=0.05下接受域为 n 解得接受域的区间为 (X - u0.025 n，X 在检验水平二0.01下接受域的区间为 (X - u0.005 G ,X u0.005 ) 二、填空题: i -tanxbnkx |解lim丄n如 怙丄n1沁 e sinkx 1 tanx _ g osinkx 1 t

12、anx U0.025， CJ C7 超级狩猎者整理 第9 9页共 15页 1 - f(x)|厂 f - f(1) f(0) = 2(1 n2_1) T T T xy yz j zxk，则 rotF (1,1,0) 【答案】(1,0,-1) xy - yz zx 故 rotF (1,1,0)= (1,0,-1)。 2 2 2 II 1212. .设L是曲面x +y+z =1与平面x+y+z=0的交线y yxydSH _ 【答案】-一 3 x, y, z满足轮换对称 性，因此在曲线 L上x, y, z具有轮换对称性。又知 2 2 2 2 (x y z) = x y z 2(xy yz zx)二 0

13、二 1 1 1 f xyds=_ (xy+yz+zx)ds= ds=2 - 3 6 - 13.13.设二阶矩阵 A有两个不同的特征值， ,2是A的线性无关的特征向量，且满足 A2 +口2)=牛 +2 2，则 IA = _ 。 【答案】- -1 1 【解析】设 =2对应的特征值分别是 ,2，则 A2 ( ) = A2很 亠 A2 2 2： 1111、设函数 F(x, y,z)二 【解析】rotF (x, y,z) xy yz 由轮换对称性可得 【解析】 先求交线 x y z = 0 由于曲面方程与平面方程中的 超级狩猎者整理 第1010页共 15页 1 2 1 2 11 2 2 1 2， 2 2

14、 2 2 =-1) 1 ( 2 T)2=0，由于：-1r- 2线性无关，故 = 1, 2 = 1,超级狩猎者整理 1 2 2 1 1 1 2 6 2 第1111页共 15页 _e 2x arctan i ex -1 - 2x -e arctan i ex -1 - -(ex - 1)d i ex 2 -1 2x e x 3 e -1) ex -1 C 从而A的两个不同的特征值为 -1,1,于是 A=-11=-1。 1 14.14.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC -门，P(A)二P(B) - 2 1 丄则P(C)= 4 【答案】- 4 程或演算步骤. . 1 ( Jex -1)

15、P(AC|ABUC)二 瞬析】PgABUcjpCAABCC P(ABCU AC) P(AB) P(C) - P(ABC) P(ABC) + P(A)P(C) - P(A)P(B) P(C) 4 1 2P(C) 1 _1 P(C) 2 2 三、解答题: 1515 23231 P(c)鳥， 4 指定位置上. .解答应写出文字说明、证明过 15.15.(本题满分 1010 分)求不定积分 e2x arctan i ex - 1dx 【解e2x arctan . ex -1dx = 1 arctan ex Tde 2 2x -e arctan、 -1 - 2xd arctan 匕 ex 2x -e a

16、rctan ； -1 - dex -1 超级狩猎者整理 第1212页共 15页 16.16.（本题满分 ioio 分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的 面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。 由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和 Smin I ! ! xdydz (y3 2)dzdx z3dxdy. . Z 【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。 x2 3 y 2 3z2 【答案】面积之和存在最小值， Shin二 4 3 3 【解析】设圆的半径为 x，正方形的边长为 y， 三角形的边三个图形的面积之和为 S（x

17、, y, z） : x2 y2 则问题转化为 “在条件 2二 x 4y 3z = 2, x 0,y 0,z 0下，求三元函数 S(x, y, z)二 令 Ln x 2 2 3 2 x y z 的最小值”。 4 4 Z2 (2二 y 3 z-2) Lx Ly =2二 x 2- =2y 4； = 0 解方程组 、3 L； = z + 3丸=0 2 L , 2x 4y 3z - 2 = 0 ，得到唯一驻点 y- 1 4 33 2 4 3,3 2,3 JI 17.17.（本题满分 1010 分）设是曲面x = 1 - 3y2 - 3z2 的前侧 ，计算曲面积分 x 0) 曲面前侧是一个半椭球面，补平面

18、 a X = 0, y2 ，取后侧，则 超级狩猎者整理 第1313页共 15页 = 也 xdydz+(y3 + 2)dzdx+z3dxd -仃 xdydz+(y3 + 2)dzdx+z3dxdy 由 高 瓦丢 Zi 斯公式可得 I 3 3 2 2 仃 xdydz( y+2) dzdx z dxd (1 + 3 +y3 ) z dxdydz Z 4：i 0 其中 i - x, y,z)|o - x - J - 3y2 - 3zf，由“先二后一” 法可得 i ! ! ! (1 3y2 3z2)dxdydzdx (1 3y2 3z2)dydz Q 2二 14 x：dx 二竺 12 45 3 3 而！

19、xdydz (y 2)dzdx z dxdy 二 0。 、1 18.18.(本题满分 1010 分)已知微分方程 yy二f(x)，其中f(x)是R上的连续函数。 ( )若 f(x) = x， 求方程的通解；(II II )若 f(x) 是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的 以T为周期的解。 【解析】(I I)若f (x)二X，贝U y y =x，由一阶线性微分方程通解公式 -p(x)dx p(x)dx y = e ( q(x)e dx C) -dx dx _x 得 y = e ( xe dx C)二 Ce x -1。 2 2 1 -X y z - 1 2 二 0dx0 o (1 + 3r2)

20、rdr 2- 2r2) dx 0 14 45 超级狩猎者整理 第1414页共 15页 (II)由一阶线性微分方程通解公式可得 y = e (. f (x)exdx - C), 由于y(x T)在f (x)e dx中无法表达出来，取y(x) = e ( f (t)ddt C),超级狩猎者整理 第1515页共 15页 是 y(x T) = e* T)( ： T f(t)dt C) T x T V(x) o e f(t)dt T e f (t)dt C u -T T x 二=e* T) 0 d f (t)dt 0 eu T f (u T)du C T x =exe J d f (t)dt o eu

21、f (u)du Ce 若方程存在 唯一的以T为周期的解，则 必有y(x T)工y(x)，即 -X e _T T t f (u)du Ce x Lx( o f(t)etdt C) e_T 0etf(t)dt 8T =C T t f0 e f (t)dt C = eT -1 由于 T t 0ef(t)dt 为一常数， eT -1 可知当且仅当 C T t 0 e f (t)dt -1 时, y(x)以T为周期，故 微分方程存在唯一的以 T为周期的解。 佃.(本题满分 1010 分) 设数列x/满足x1 0,xnexn 1 exn 1(n 二 123，川)。 证明、xn匚收敛，并求 lim xn。

22、n : 【证明一】 因为 ex2 ex1 -1 x! 根据拉格朗日中值定理，存在 -(0,xj，使得 ，即e X2 e，因此 xi 0 x2 ”：片。完全类似，假设 xn 1 超级狩猎者整理 第1616页共 15页 exn 2 二 Xn 1 =e (0 Xn 1)，即 xn 2 xn 1， 故数列xn匚单调减少且有下界，从而数列 人匚收敛。 设吨人二人，在等式 占1冷一1两边取极限，得 AeA 二 e -1，解方程得 唯一 超级狩猎者整理 第1717页共 15页 解 A = 0，故 lim Xn = 0。 【证明二】首先证明数列 xj有下界，即证明 xn 0: 假设当n二k时，Xk 0 ； 再

23、证明数列Xn?的单调性: e T Xn1-Xn=ln从而 XT In1 = ，故 Xn1 Xn， 综上，数列、xnf的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知 设Iim Xn = a，在等式 xneXn仁 eXn - 1两边同时令n，得aea二ea - 1，解 n 11 方程得 唯一解a = 0，故Iim x= 0。 n-jpc 20.20.(本题满分 1111 分)设二次型 f (x1,x2,卷)=(x1 - x2 x3)2 (x2 x3)2 化 a)2，其中 a 是参数。 (i(i)求 f(N，X2,X3) = 0 的解；(II)求 f (x1,x2,x3)的规范型。 【解析】 (|(|)

24、由 f (x! !，x2,x3 0 可得 当n = 1时，x1 0o根据题设x2二 In J x1 ，由 e%1 - 1 X可知 x2 In1 = 0 ； 则当n = k 1时, Xk 厂 In eXk -1 Xk 其中e 一 1 Xk , 根据数学归纳法，对任意的 n xk N ，Xn 0。 Xn lne Xn -IneXn eX -1 Xn Xn Xn Xne& ( (离散函数连续化) )设f (x) x 一 1 一 xe (x 0)，则当 x 0 时，f (x) 一 - xeX 0, f(x) 单调递减， f (x) f (0) = 0，即 ex - 1 xeX。 即数列焉f的单

25、调递减。 Xn匚收敛。 xn Xne 第1818页共 15页 超级狩猎者整理 对上述齐次线性方程组的系数矩阵作 初等行变换得 广-1 1) a -1 1 广-1 1 A 0 1 1 T 0 1 1 T 0 1 1 0 aJ 0 1 1 2 0 a2 当 a =2时，f (XpX2,X3)= 0 只有零解：X = (0,0,0) 广 0 2、 a = 2 时，AT 0 1 1 1 0 f （x1, x2, x3 0 有非零解：x = k（-2,-1,1）T， k为任意常数。 （IIII） 当a = 2时， 若X1,X2,X3不全为 0 0， 则二次型f（XX2，X3）恒大于 0 0,即二次型 f

26、（x1,x2,x3）为正定二次型，其规范型为 f （yy2, y3） = yi y| yf。 当a = 2时， 2 2 2 二(Xi - X2 X3) (X2 X3) (Xi ax3) =2x12 2x； 6x； - 2X1X2 6X1X3 2 -1 31 二次型对应的实对称矩阵 B= -1 2 0，其特征方程为 13 0 6 2 1 -3 卜E - B = 1 2 0 = 九(九2 10 几 +18)= 0 -3 0 九- 6 解得特征值 = 5 i 7, 2 = 5 - 7, 3 = 0，可知二次型的规范型为 2 2 f （召乙匕）=召 Z2。 2 a 3 0 可经过初等列变换化为矩阵 f

27、 (Xi， 1 21.21.（本题满分 iiii 分）设a是常数，且矩阵 A= 1 2 第1919页共 15页 7 a第2020页共 15页 超级狩猎者整理 M a 2A B = 0 1 1 。 (I)(I)求a; ( II II )求满足 AP = B的可逆矩阵 P ? L 1 b 【解析】(I I)由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 r(A) = r(B)。 对矩阵A, B作初等行变换，得 2 a r1 2 a 、 广 2 a、 A = 1 3 0 T 0 1 -a T 0 1 -a ,7 一a ,3 3 ,0 0 J J V J r 1 a 2、 (1 a 2、 F1 a 2 0 -1

28、 1 2a丿 显然r(A) = 2，要使r(B) 二 2，必有 2 - a = 0= a = (iiii)将矩阵B 按 列分块： B - C23) ,: 求解矩阵方程 AP = B可化为解三个同系数的 非齐次线性方程组: Ax 二 j ,j 二 1,2,3。对下列矩阵施以初等行变换得 1 2 2 1 2 2 1 1 1 0 6 3 4 4 1 (A,B)二 1 3 0 ;0 1 ,1 L i 0 1 -2 ： - 1 -1 T， _2 7 2 _ 1 1 1 _0 0 0 0 0 0 2。 易知，齐次线性方程组 Ax二0的基础解系为 ，三个非齐次线性方程组的 0 二 C6,2,1)T 3、 r-6 II = k1 2 + -1 巴 =k ，2 k2 2 + 1 ， = k3 2 + 1 1 O 1 o 特解分别为： 厂(3,T,0)T, 2=(4,-1,0几 3 = (4, T,0)T。 因此，三个非齐次线性方程组的通解为 3-6匕 4 - 6k2 4 - 6k3 I 1 | 从而可得可逆矩阵 P 2匕-1 2k2 T 2k3 ，其中k厂匕。 IL 匕 k2 k3 (2222)(本题满分 1111 分)设随机变量 X ,Y相互独立， X的概率分布为 第