压电螺型位错及含界面效应纳米夹杂干涉探究

1、压电螺型位错及含界面效应纳米夹杂干涉摘 要：研究在无穷远纵向剪切和平面内电场作用下压电 智能材料中螺型位错与考虑界面应力纳米尺度夹杂（纤维） 间的力电耦合交互作用运用复势方法，求解了夹杂和基体中 复势函数的解析解以及应力场和电位移场分量利用广义peachdkoehler公式，给出了作用在压电螺型位错上位错 像力的解析解答研究结果表明：当夹杂的半径缩减到纳米尺 度时，界面效应对夹杂（纤维）附近位错运动和平衡位置的 影响将变得非常显著正界面效应将排斥基体中的位错；当存 在正的界面效应时，软夹杂能排斥界面附近的压电螺型位错.关键词：压电材料；螺形位错；界面应力；复势函数方法；位错力口中图分类号：03

2、43.7文献标识码：ainteraction between a screw dislocation and danano scale in homoge neity with interface effectsfang qinhongnni,2nn, xu weinni,2o, fenghuinni,2n, liu y ounwennni,2nn(1.state key laboratong of adcomced design and manufocturing for vehicle body,hunan univ,changsha , hun and410082,china; 2.co

3、llege of mechanical and vehicle engineering, hunan univ, changsha, hunan 410082, china)abstract:the interaction of a piezoelectric screw dislocation in the matrix with interface effects under remote antidplane shear stresses and indplane electric loads in transversely isotropic piezoelectric solids

4、was investigated. by using the complex variable method, the general solutions to the problem were given. with the aid of the peach koehler formula, the explicit expressions of the image force acting on the screw dislocations were given. the results have in dicated that the influe nee of the in terfa

5、ce stress on the motion and the equilibrium of the dislocation near the inhomogeneity become significant when the radius of the inhomogeneity is reduced to n anometer scale .if the dislocati on is located in the matrix, the positive interface effects can repel it. the soft inhomogeneity can also rep

6、el the screw dislocation near the in homogeneity when the positive interface effect is considered key words:piezoelectric material; screw dislocation; in terface stress; complex variable method ; image force 压电材料是一种能实现电能和机械能之间相互转化的智 能材料由于压电材料良好的力电耦合性能而被广泛应用于 现代工业.由于材料在制备和使用过程中不可避免会产生各 种缺陷，例如，孔洞，位错，裂

7、纹等，这些缺陷会不同程度 的影响压电材料的电弹耦合性能口 1-6 因此，研究 压电材料中位错与第二相夹杂或缺陷的干涉作用具有重要 的科学意义.在研究位错和夹杂的长程交互作用机理时，界面边界条 件是一个关键的影响因素众所周知，对于微米级及其以上的 夹杂，界面区域与夹杂的体积比很小，界面效应不明显，可 以忽略；而对于纳米尺寸第二相，界面区域与夹杂的体积比 相对较大,界面应力效应不可忽略的口 7 q-gurtin和 murdoch口 8 首次研究了弹性固体的表/界面效应问 题，提出了所谓的“表/界面效应模型”在他们的模型中，界面 是粘结在夹杂上没有厚度的一个区域，但界面具有与夹杂不 同的弹性模量和本

8、构方程在夹杂和基体中平衡方程和本构 方程与经典弹性力学的一样，但是界面应力的存在产生了新 的局部扰动边界条件当前，界面应力模型已被广泛用来研究 纳米尺度结构和纳米材料中的各种力学问题口 9-10 .fang和liu口 11 研究了弹性各向同性材料中位 错与含界面应力纳米尺寸圆形夹杂弹性干涉作用丄uo和 liuqqt 12 研究了向错与含界面效应纳米尺度圆形夹杂 弹性干涉作用.最近，ou和pang口 13 研究了螺型 位错与含界面效应圆形涂层夹杂的弹性干涉问题.近年来，huang和yu口 14 研究了压电材料环中 表面效应对力电场的影响.pan等 15 研究了压电复 合材料中界面效应对复合材料有

9、效弹性模量的影响规律到 目前为止，尚未有学者研究位错与考虑界面效应的纳米尺寸 压电夹杂（压电纤维）的交互作用问题本文研究纵向剪切和 平面电场作用下，螺型位错与含界面效应压电夹杂的电弹耦 合干涉效应.1问题描述和解答1.1基本公式口对于极化方向沿dz轴的横观各向同性压电介质，设xoy 平面为各向同性面，在无穷远处反平面加载和面内电场作用 下，仅产生沿z轴方向的反平面位移w，应变分量ynnxzn 和yddyzd ,应力分量tddxz和iddyzd ,电势cp , 电场强度eox和edy ,电位移分量ddx和ddy都将会 出现在基本方程中并且上述各量均为x , y的函数力电耦合 本构方程可表示为口

10、16 :口tnnxzn=cnn44nnwnx+enni5nn(pnx,n tnnyzn=cnn44nnwny+enni5nn(pny.口 dnx=enni5nnwnx dnnnnn(pnx , dny=enni5nnwny dnniinn(pny .口 式中：clill44匚口,dejiziizih 口分别表 示压电材料的纵向剪切模量(恒定电场)，压电常数和介电常 数(恒定应力场)口平衡方程和控制方程可以简化成如下调和方程：口 symbolqcn2w=0 , nsymbolqcd2(p=0.(3)n式中：symbolqcl!2二2/匚口2+口口2/口丫口2 表示 二维口 laplace 算子口

11、湖南大学学报(自然科学版)2012年第4期方棋洪等：压电螺型位错与含界面效应纳米夹杂 干涉研究引入广义位移矢量u=w,*，将其代入式(3)中可以得到：口 symbolqcq2u=0 .(4)0引入广义应力和应变口znx=tnnxznnddx, zny=tnnyznnddy,(5)nyejx二丫口口乂乙口 edx,yny=yndyzd edy.口代入式(1)、式(2)得到:口znx=myqx, zny=myqy.(7)n式中 m 称为电弹模量矩阵：m=cnn44nenni5nnenni5d - dnnun.n式(4)中的广义位移矢量的一般解可用解析函数f(z)表 示:口u=qred f(z).(

12、8)口式中：elre口表示取实部，并且f(z)=dfn nw(z)n ntn n(p(z).函数fdwz和fq(pz为一般解析函数所以式可以表示 为：口zqx - iqzqy=mf(z). (9)口式中：f(z)=fd,z ,""表示对z求导在极坐标下，式(9) 可写为:口znr- inznp=nennnninenmf(z).(io)1.2问题描述口无限大压电介质中包含一半径为r的圆形纳米夹杂，假设基体和夹杂为横向各向同性体，且以xoy平面为各向同性 面，夹杂在z方向无限延伸设基体在无穷远处受反平面力荷 载(t口 symbolebnnxzn,in symbolebddyzd

13、 ）和平面电荷载（dd symbolebnx,dnsymbolebqy).压电螺型位错位于基体中的任意点 zno(=xno+ninyno=pnennid9n).夹杂和基体材料所占据的区域分别用sd+和sn -标记，夹杂和基体的界面 用l标记，如图1所示令圆形夹杂的中心为复平面z=x+didy的原点，t=rdennin6表示|z|=r上的点该 问题的广义位移矢量和广义应力界面连接条件可以表示为：u+ni（t）=un - 2（t）,twl（x）口图1含界面效应夹杂口 fig.1 in homogeneity with in terface 为口 口吃口二irmnsnnenim enninenfnz

14、（z）, tel.（12）n式 中：ivos 二 clzlslzid44dtnsd0ensnni5nnensnni5n dnsnnun是界 面的电弹模量矩阵teiseio是残余应力，r是夹杂的半径， 下标“1”和“2”分别代表区域sn+（夹杂）和s口（基体），上标 "+”和"-”表示函数从s+和sd -趋向界面时所取的值.1.3问题的一般解答口根据推广的口schwarz解析延拓原理，引用两个新的解 析函数fnni*n（z）和尸口口2*口（习，并注意到在|z|=r上， t=ro2 , fnnrn（z）= rd2zn2nfnnirn2乙 zesn .（13）口fnn2*n（z）

15、= rn2zn2nfnn2rn2 乙 zesn+.（i4）n式中：叮表示对复数取共辄口 当螺型位错在基体中时，由奇性分析可知区域sn-的复势函数可以表示为：口fq2（z）=b1z zn0+r+fnq20，zeso .（15）口 式中：b=12nirinb=12nttinbn乙匕口叨口口丁口,表征 广义螺型位错的位错强度.f口20o（z）是区域s口 -内的 全纯函数，由无穷远应力和电位移确定：口r=mnn-inn2（znoodx-zna）ny）=mnn-i 2tdo）nnxz-dinin yz口oodx-nindnny.n式中mn2=cnn（2）nnn44nenn（2）nnni5nnenn（2）

16、 15口dnn（2）nnniin，上标广表示矩阵求 逆口将式（15）代入式（14）中可以得到fnn2*n（z）: fod2* =1zz匚t 1z rn2zq2r+fnn20*n（z）, zesn+.（i6）n式中:zn*=ro2/nznon ,fnn2o*是区域s+ 内的全纯函数.口将式（8）对e求微分，代入式（"）有：口fni（t）- fnn2*n（t）nn+=n fd2（t）f广口，tel. （17）n考虑式（13）式（佝，并根据推广的口liouville定理口17 和方程（17）可以得到：口foi（z）- fnn2*n（z）=g（z）, zesn+.（i8）nfo2（z） fn

17、nrn（z）=g（z）, zesn - .（i9）n并且在全平面上有口g（z）=b1z - zoo - 1z zo* - 1z+r+rn2zq2r. （20）口结合式（10），并考虑式（13）式（16），边界条件（12）可以表 示如下： md1fd1（t）mn2fnn2*n（t）+irmnsfnn2*n（t）+=mn2fo2t irmnsfn2t+mnifnnrnt-nirmnstfn,n2（t）-irmnsnennn-2ninentfrn2tn （21）口式 中:md i=cnn（i）nnn44nenn（i）nnni5nnenn（i）nnni5q dnn（i）nnnnn.n将式（14）对z微

18、分可以得到如下关系：口fnn2（z）n=-nennn4ninenfnznn2*n（z）-2ne inenrnf（z）n .（22）口式（21）可以表示如下：口m01f01 （t）+mo2fn n2*d（t）+1 rmosfo n2*o（t）+trmnsfnnn2*n（t）+=mn2fn2（t）+mnn2infnni*n（t）+irmnsfnn2n（t）+trmnsfn,nn2n（t）n-.（23）n根据推广的口liouville定理口 仃和式（23）可以得到：口mnifni(z)+m+zrmnsfnn2*n(z)+zrmnsfnnn2* (z)=h(z),dzesq+. (24)口m+irmn

19、sfnn2n(z)+mnifnni*n(z)-zrmnsfn,n2n(z)=h(z),nzeso -(25) 并且由式(14),式(佝,式(24),式(25河得到全平面上：口 h(z)=mq2 1rmdsb1z zl10+miz12+1rmiz1s口1z - zq* mq21z+1rmnsbznz 乙口0口口2 - irmdszdz zn*nn2+md2 irmosr 口mo2 irmnsnn2rn2zn2r.(26)n由式(18 )和式(24 )得到：口mni+mn2+1rmns f 1 (z)+zrm sfz 1 (z)= h(z)+ mn2+1rmds g(z)+1rmelszget(2

20、7)口运用鬲级数展开法得到：口 fq1z=znsymbolebnk=odankznk , z< r (28)口式中：口ano= 2nmni+mn2+irmnsnn innmn2bizno - mq2r , adk= 2mni+mn2+1+krmnsnn inmn2b(izno)nnk+in,nk>i.n由式(13)有:fnnrn(z)= 工 symbolebnk=0nnankdrnn2k+1 nzdd k -2n,|z|>r.(29)n将式(29)代入式(19)可以得到：口fd2(z)=b1z - zdo - (1z - z匚t - 1z)+r-d2nmni+mn2+irmn

21、snn innmni mn2+irmnsrn2zn2r+n2qzsymbolebnk=0nmni+mn2+1+krmnsnn innmn2nrn2nonnk+innznn k 2，口|z| > r. (30) 口将以上结果经过退化可以得到口fang口 12 的 结果.2考虑无穷远加载时应力场和电位移场口1) 不存在位错时，把式(30 )代入(10 )中，得到界面 上的应力场和电位移场为：口zortinznpt=nenninenmn2fn2t=nenninenmn2 +口enninenmn2nmni+mn2+irmnsnn inomoi md2+1rmllsrzl2tzl2 (31)口式中

22、 t=roe inen.n2) 位错在基体中时，由式(9)和(28)得到夹杂内的应力场 和电位移场为：口zqx di工口丫=1/1口1尸口1(2)二口2mniamd2b1zno ml!2 口2zsymbolebnk=inmninmni+mn2+1+krmnsn - innmn2bn（izno）nnk+innznk.（32）n式中：a=nmni+md2+irmnsnn 3) 位错在基体中时，由式(9)和(30)得到基体中的应力场和电位移场为：口为llx di为y=mlj2fl12(z)=dmd2b1z zqo mizi2(1z z匚t 1z)+mq2r 口2mq2amo1 m 口2+但1/1匚匚

23、122匚12+口2qzsymbolebnk=onmn2mni+mn2+1+krmnsnn innmn2nrn2nonnk+innxnz口 k 2口(33)3广义螺型位错上的位错力口作用在压电螺型位错上的位错力可以用口pak口 18 的广义peach koehler公式计算：fqx llilifizly 二 口匕口口丁为 lixzizio inznyzno.(34)n式中:fqx和fqy分别表示沿x和y方向的位错 力;zdx(zno)和zdy(zno)分别代表由夹杂引起的扰动(干 涉)应力场和广义电位移场分量由式(30)和式(34),并参考 lee口 19 的文献，我们可以得到位错点的扰动 广义

24、应力场口考虑到位错在基体中任意点zqo ,所以有口fnx-ninfny=ninbnntnivin2fn2(zno)=ni2ntrnbnntnmnbizno-rn2/o-iz+bnntnnintdoonnxzn+tnnnyznn i(zidezooezix+dezicoezly+izzibnntqmn2amnimn2+irmnsrn2zn2nomnn-inn2nintnoonnxz订口8口口乙口inddoonx-dnny-nintrnbnntnmn2zsymbolebnk=onamn2brn2nonnk+inznn-k2口口0.(35)口不失一般性，作如下假设：无穷远加载为零(=0)和位错 位于

25、x轴上某点(zn0=xd0 > r)，此时，沿y方向的位错力 fqy=0.可以得到位错在基体材料中时x方向的位错力为： fnx=i2ntrnbnntnmn2bixno rn2/xno 1xq0 口|3口口丁口1/1口2口11工 symbolebnk=onnmni+mn2+1+krmnsnn-innmn2brnn2k+inxnn 2k-3nno.(36)n式(36)表明广义压电螺型位错在x轴上时只能沿着x轴运 动口x 方 向 无量纲位错力fnnxon=2ntrnrnbnntnmn2bnn innfox 可以表示为:口fnnxon=rxno - rn2/xno - rxno 口2nbnntn

26、mn2bnn innbnntnmn2z symbolebnk=0namn2brnn2k+3nxnn 2k -3口口0(37)4分析和讨论口现在，讨论各参数对位错力的影响假设无穷远加载为 r=mnn«i 2tdo)nnxz-idinndyzdno ,基体材料为口戸乙丁口厶日压电陶瓷，其刚度模量矩阵mn2=12.6x10nni0nnn/md26.5 c/mn2d6.5c/md2 - 1.51x1onn 8口 c/vm , 界面的刚度模量矩阵为:口mns=7.56n/m3xlm0口 8口c/mn3xnionn 8口 c/mo口 14 , 压 电 螺 型 位 错 b=nbnzbn(pnnnt

27、n=i.oxnionn - 9nn m 1.0 vnntnnn 20 设纳米压电夹杂和压电基体的介电常数 dnn（i）nnniinn=dnn（2）nnnniin.定义如 下无量纲量c(=c44口口/(:口口(2)口口口口44口,p=eq (!) 0150 q/eq 0(2)0 0150,n=td symbolebnnxzn/td symbolebndyz和 ensnni5d=6ens口0 ,其中 ensno=3xnionn snnnc/m.nn利用式（31）说明当基体中不存在压电螺型位错，只承受无 穷远加载时界面上的应力场分布取不同的5 （6取负值表示 负的界面效应）,a=0.5 , 3=1时

28、界面上应力分布如图2所示， 图2表明，随着6的增大，界面应力的值也相应增大口假设无穷远应力场和电场为零（r=o）,忽略残余应力tdsno.利用式（37）说明螺型位错在基体中时，夹杂与基体 的相对刚度、相对压电常数和界面效应对位错力的影响规 律口e/n radon图2 zdx在界面上的分布曲线口 fig.2 stress zdx das a function ofd 9 图3描绘了当p=1.0 , r=10 zlnm时，基体和夹杂的相对刚度a取不同的值时，位错力fooxo随着位错在x 轴上的相对位置p的变化规律从图3中可以发现，当界面效 应不存在(mos=0)时，纳米软夹杂会一直吸引基体中的压电

29、 螺型位错，符合经典弹性理论；当存在界面效应(mns*o) 时，若夹杂与基体的相对刚度相当(a=1.0)，压电螺型位错一 直被排斥，并且越靠近界面排斥力越大，软夹杂(a=0.3)对位 错先排斥后吸引，并且在x轴上存在一个稳定的平衡点；而 硬夹杂(a=2.0)对位错总是排斥，说明界面效应对位错产生排斥效果口p图3 fqqxo随位错相对位置p的变化规律口 fig.3d fddxon as a function ofd pd图4描绘了当a=0.5 , r=10 口门01时，基体和夹杂的相对压电常数b取不同的值时，位错力fqqxo随着位错 在x轴上的相对位置p的变化规律，从图4中不难看出，位 错向界面

30、靠近，当界面效应不存在(mns=o)时，纳米软夹杂 将一直吸引基体中的压电螺型位错，这是与经典弹性理论的 结果一致的；当存在界面效应(mds*o)时，纳米软夹杂(a=0.5)将先吸引后排斥位错，在x轴上存在一个位错的稳定平衡点，并且随着相对压电常数p的增大位错力也增大.pa图4fllllxo口随位错相对位置p的变化规律口 fig.4dfnnxonn as a function of p 图5描绘了当p=1.2 , a=1.0 , 0=0.5时，纳米夹杂半径 r取值不同时，位错力fddxo随界面效应的变化规律， 从图5不难看出，夹杂半径r越小，界面效应对位错力的影 响效果越明显，即曲线的斜率越大

31、，当夹杂半径r很大(如 r=100 nmn)b寸，位错力几乎不受界面效应的影响，故界 面效应对位错力的影响可以忽略，从而我们可以认为界面效 应只有在纳米尺度下才存在口6q图5fddx0随6的变化规律口 fig.5dfnnx0n das a function of &口5结论口研究了压电材料中螺型位错与含界面应力纳米尺度夹杂的力电耦合交互作用运用复势函数方法和位错理论，求解了 作用在压电螺型位错上的位错力，最后分析和讨论了弹性参 数，压电参数以及界面效应对位错力的影响规律口研究结果表明，正的界面效应排斥基体中的压电螺型位 错考虑界面效应时，软夹杂会排斥基体中的压电螺型位错， 并且越靠近界

32、面，作用在位错上的排斥力越大，在夹杂附近 存在一个位错的稳定平衡点；当夹杂半径缩小到纳米尺度 时，随着界面效应的变化位错力的变化非常明显，而当夹杂 半径增大到一定程度(r=100 dnm )后位错力随着界面效应 的变化趋于不明显，甚至不受界面效用的影响，由此可见， 压电材料中界面效应也只在纳米尺度时才对位错力的影响 效果明显上述研究表明界面效应在界面处产生了一个局部 的界面硬化区域，导致对压电基体中的压电螺型位错产生排 斥作用参考文献口1 deng w, meguid s a. analysis of a screw dislocation inside an elliptical inhom

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