点差法整理版

1、“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆4 + 4 = 1 (">方>0)中，若直线/与椭圆相交于M、N两点，点P(ao0'o) cr r是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊”，贝仏肪也.1兀0力证明：设M、N两点的坐标分别为(九”)、(x2,y2)7 疔_卜)丁 a2 b2=1,=1.(1)-(2)，得匚芝+色二2二=0.314 x2 -X x2 + Xb2儿一 H刀+儿x2 一 X X + x22y =z2x x同理可证,在椭圆£ + $ = 1 (5>0)中，若直线，与椭圆相交于M、N两点，点Pg,儿)是弦MN的中点，

2、弦MN所在的直线/的斜率为心他，则二、典型例题1、设椭圆方程为宀才I,过点WU)的直线/交椭圆于点A、B, 0为坐标原点，点P满足OP = -(OA + OB)2点N的坐标为丄丄.当/绕点M旋转时，求:I <2 2 )(1)动点P的轨迹方程;I丽I的最大值和最小值.2、在直角坐标系，中，经过点(0,血)且斜率为斤的直线/与椭圆y+y2 =1有两个不同的交点P和Q(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常 数使得向量丽+况与帀共线如果存在，求的取值范围；如果不存在， 请说明理由.3、已知椭圆4+4 = 1(4>b>0)的左、右焦点分

3、别为仟、几,离心率C =芋,cr2右准线方程为x = 2.(I )求椭圆的标准方程;(II)过点仟的直线/与该椭圆相交于M、N两点，且迟财+可币1=斗，求 直线/的方程.4、已知椭圆C：4 + 4 = ("0)的离心率为竺，过右焦点F的直线/与£ lr3C相交于A、B两点.当/的斜率为1时，坐标原点0到/的距离为芋.(1)求2a,b的值；(2) C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立若 存在，求出所有点P的坐标与/的方程；若不存在，说明理由.5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线丄-兰=1的焦点为焦点，以抛物线2A-2 =一6品y的准线为其中一条

4、准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l-.y = kx+2伙HO)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于 直线/ : y = mx + l（w工0）对称，求k的值.“点差法”巧解双曲线中点弦题型 二、重要结论及证明过程在双曲线二二=1 （t/>0, b>0）中，若直线/与双曲线相交于M、N cr 两点，点P（2）是张MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为心，则褊旷卫=竹.证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线4- = 1（">o, b>o）中，若直线/与双曲线相 cr lr交于M、N两点，点P（x。,儿）是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率

5、为心炳，则 k '（）_ cr久 I kmntv 二、典型例题1.已知双曲线x2-21 = i,过点p（-l,_2）作直线/交双曲线于A、B两点.322（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线/的方程和弦AB的长.2 设A、B是双曲线X2- = i_E两点，点N（1,2）是线段AB的中点.2(1) 求直线AB的方程；(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么3、双曲线C的中心在原点，并以椭圆* +匚=1的焦点为焦点，以抛物线y2 = -2V3a-的准线为右准线.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线Z：y

6、= H + 3伙HO)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I :y = mx + 6(m工0)対称，求的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程(略)在抛物线y2 = 2nvc(m 0)中，若直线/与抛物线相交于M、N两点，点卩(心,儿) 是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊.“，贝仏站儿=加同理可证，在抛物线x2 = 2my(m # 0)中，若直线/与抛物线相交于M、N两点, 点Pg，儿)是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊”，则丄.氐=加注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2) 直线的斜率存在，且不等于零.二、典型例题1、设A(x,y,),B(x2,y2)两点在抛物线y = 2P上，/是AB的垂直平分线.(I )当且仅当坷+心取何值时，直线/经过抛物线的焦点F证明你的结论.(II)当“=1宀=-3时，求直线/的方程.(理)当直线/的斜率为2时，求/ 在y轴上的截距的取值范围.2. 已知抛物线C： y = 2x2,直线y =也+