两条异面直线所成的角和距离教案讲解

1、两条异面直线所成的角和距离教案北京师大二附中 古永喜教学目标1运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；2理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题教学重点和难点这节课的重点及难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念教学设计过程一、引入有关概念的必要性师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）例如ab， cd（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都

2、是平行直线，但是它们的之间的距离不同师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）师：又例如a及b是相交直线，c及d也是相交直线（如图2）虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直

3、线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义二、异面直线所成的角的定义（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所

4、成的角下定义？生：可以把直线a平移及b相交，这时由a平移而得的a及b相交所成的角，就可以定义为异面直线a及b所成的角师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义定义  直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角（如图3）师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1a，b1b，那么这时a1和b1所成的锐角及a和b所成的锐角是否相等呢？生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或

5、直角）相等”因为aa，a1a可推出aa1，同理可推出bb1，所以可用等角定理的推论师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小及O点的选择无关，所以为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直师：设两条异面直线所成的角为，问角的取值范围？生：（0°，90°，半开、半闭区间师：角能否等于0°生：不能，因为当=0°时，异面直线就转化

6、为平行直线师：对，0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的三、练习例  正方形ABCDA1B1C1D1求：（1）A1B及CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1及CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1及BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCDA1B1C1D1的棱中，及棱B1B垂直的棱有几条？（如图4）师：请你们依次回答上述的四个问题生：（1）因为ABCDA1B1C1D1为正方体，CC1BB1，所以A1B及CC1所成的角为B1BA1，而B1BA1=45°，所以

7、A1B及CC1所成的角为45°师：请回答第（2）问生：因为CC1BB1，所以A1B1及CC1所成的角为BB1A1，而BB1A1=90°，所以A1B1及CC1所成的角为90°师：请回答第（3）问生：因为BCB1C1，所以A1C1及BC所成的角就是B1C1A1，而B1C1A1=45°，所以A1C1及BC所成的角为45°师：请回答第（4）问生：及棱B1B垂直的棱有8条师：有哪几条是及B1B相交垂直？有哪几条是及B1B异面垂直？生：及B1B相交垂直的棱有4条，为AB，A1B1，BC，B1C1；及B1B异面垂直的棱也有4条，为AD，A1D1，CD，C1D

8、1师：对这里我们需要指出，在立体几何中“垂直”、“相交垂直”、“异面垂直”这三个不同概念的联系和区别以后我们讲两直线垂直，则是指这两直线可能是相交垂直，也可能是两直线异面垂直这里我们要破除在平面几何中形成的思维定式，就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”四、异面直线的距离的定义师：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？（同时拿出两根小棍做为异面直线a，b，再拿出一根小棍c摆出及a、b都垂直状，而小棍c在保持及a、b都垂直的情况下可平行移动，用这样的模型让学生观察，再让学生回答）生：有无数条师：对现在再问及这两条异面直线都相交垂直的直线有几条？生：只有

9、一条师：对，由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且只有一条，现在可以给出下面两个定义定义  和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线定义  两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离要注意这两个定义之间的联系及区别，公垂线是一条直线，这直线在这两条异面直线间（两垂足间）的线段的长度是这两条异面直线的距离五、练习例  在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）异面直线A1A及BC的距离；（2）异面直线A1A及C1D1的距离；（3）异面直线A1B1及BC的

10、距离（如图5）师：在第（1）问中A1A及BC的距离等于多少？为什么？生：因为ABCDA1B1C1D1是长方体，ABA1A于A，ABBC干B所以AB的长度就是异面直线A1A及BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A及BC的距离为4cm师：在第（2）间中，A1A及C1D1的距离等于多少？为什么？生：因为A1D1A1A于A1，A1D1C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A及C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A及C1D1的距离为3cm师：在第（3）问中，A1B1及BC的距离等于多少？为什么生：因为B1BA1B1于B1，B1BBC于BB1B的长度就是异面直线A1B1及BC的距

11、离，因为B1B=2cm，所以A1B1及BC的距离等于2cm师：现在你们自己看课本第15页到第16页的例，看完后你们自己来讲可根据课本来回答例  设图6中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线及直线BA成异面直线？（2）求直线BA和CC所成的角的大小；（3）求异面直线BC和AA的距离（可根据课堂情况灵活掌握让学生看35分钟后，叫学生回答）师：现在你们先回答第（1）问生：因为A平面BBCC，而点B、直线CC都在平面BBCC内，且B CC所以直线BA及CC是异面直线同理，直线CD，DD，DC，AD，BC都和直线BA成异面直线师：刚才回答是正确的，但它们的理论根据是什么呢？生：是根据课

12、本第10页例，过平面外一点及平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线师；对，过去我们已经讲过，课本第10页上的例，应该明确把它“升格”为定理这定理有的书上叫它为异面直线存在定理，有的书上把它叫做异面直线判定定理以后，我们叫这定理为异面直线判定定理过去我们还小结过，证明两条直线是异面直线的方法有两个，是哪两个方法生：一是用反证法，二是用异面直线的判定定理师：现在回答第（2）问生：因为CCBB，所以BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角因为ABB=45°，所以BA和CC所成的角是45°师：现在回答第（3）问生：因为ABAA于A，ABBC于B所以AB是BC和AA的

13、公垂线段，因为AB=a，所以BC和AA的距离是a师：今天我们讲了两个很重要的概念，两条异面直线所成的角和距离，我们一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题作业课本第17页，第9，10两题补充题1正方体12条棱中，组成异面直线的对数是多少？242空间四边形的对角线互相垂直，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的四边形是矩形，试证明提示：证有一个角是直角的平行四边形是矩形3空间四边形ABCD，AB，BC，CD的中点分别是P， Q和R，90°4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和CC1的中点，求异面直线EF和GH所成的角是多少度？60&#

14、176;课堂教学设计说明1为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要，一定要运用类比推理的思想，从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念，为了区别不同的相交直线要有角的概念这样为了区别不同的异面直线要引入异面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了例（）由（I）可得AEB 是二面角 AEB1B 的平面角，在 RtABE 中，由 AB= 2 ， BE=1，得 tanAEB= 2 . 又由已知得平面 A1B1E平面 BB1C1C， 故二面角 AEB1A1 的平面角 = 2 AEB ，故 tan = tan( 解法三： 2 AEB = cot AEB = 2 . 2 （I）以 B

15、为原点， BB1 、 BA 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系. 由于 BC=1，BB1=2，AB= 2 ，BCC1= 在三棱柱 ABCA1B1C1 中有 B（0，0，0） ，A（0，0， 2 ） 1（0，2，0） ，B ， 3 ， C( 3 1 3 3 , ,0, C1 ( , ,0 2 2 2 2 设 E( 3 , a,0,由EA EB1 , 得 EA EB1 = 0, 即 2 3 3 , 2 a ,0 , a , 2 ( 2 2 0 = ( = 3 3 + a ( a 2 = a 2 2 a + , 4 4 1 3 1 3 3 1 得(a (a = 0,即a = 或a = (舍去, 故

16、E ( , ,0 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE EB1 = ( , ,0 ( 0 = + = 0,即BE EB1 . 2 2 2 2 4 4 又 AB面 BCC1B1，故 ABBE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB1 的公垂线， 则 | BE |= 3 1 + = 1 ，故异面直线 AB、EB1 的距离为 1. 4 4 （II）由已知有 EA EB1 , B1 A1 EB1 , 故二面角 AEB1A1 的平面角 的大小为向量 B1 A1及EA 的夹角. 1 由A1 (2,0, 3 , C1 (0,2 3 , 3 , 3 3 , ,0, 2 2 1 3 3 3 3 ,

17、 3 , EC1 = ( , 得 EA1 = ( , , 3 , 2 2 2 2 E( 3 9 EA1 EC1 = + 3 = 0, 4 4 EA1 EC1 , 即EA1 EC1 . 二面角A1 BD C1的大小为90 o. （）如图，由 D（0，0，0） ，A（2，0，0） 1（0， 2 3 ， 3 ，B（3， 3 ，0） ，C ） 得 AD = (2,0,0, BC1 (3, 3 , 3 , AD = BC1 = 6, | AD |= 2, | BC1 |= 15, cos( AD, BC1 = AD BC1 | AD | BC1 | = 6 2 15 = 15 . 5 15 . 5 异面

18、直线 AD 及 BC1 所成角的大小为 arccos 解法三： （I）同解法一. （II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为 E. 连结 A1E，C1E，A1C1. 及（I）同理可证，BDA1E，BDC1E， A1EC1 为二面角 A1BDC1 的平面角. 由 E（0，0，0） 1（0，1， 3 , C1 (0,3, 3 , ，A 得 EA1 = (0,1, 3 , EC1 = (0,3, 3 . Q EA1 EC1 = 0 EA1 EC1 , 即EA1 EC1 . 二面角A1 BD C1的大小为90 o . （）如图，由 A（0，1，0） ，D（ 3 ，0，0） ，B（ 3 ，0，0） 1

19、（0，3， 3 ）. ，C 得 AD = ( 3 ,1,0, BC1 = ( 3,3, 3 . AD BC1 = 3 + 3 = 6, | AD |= 2, | BC1 |= 15 , cos AD , BC1 = AD BC1 | AD | BC1 | = 6 2 15 = 15 , 5 在正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求AD1及B1B所成的角是多少度？（45°）（2）问及AD1异面，且所成的角是45°的正方体的棱有哪几条？（4条即为B1B，C1C，B1C1，BC）（3）问AD1及B1C所成的角是多少度？（90°）（4）如果M，N分别是B1C1，C1C的

20、中点，问MN及AD1所成的角是多少度？（90°）由第（4）问这个特殊的题，用一般化的方法得出定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条例2  在正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求AD1及A1C1所成的角的度数？（D1AC为等边三角形，D1AC=60°）（2）如果M，N分别为A1B1，B1C1的中点，求MN及BC1所成的角的度数？（60°）（3）如果P，Q分别是A1A，A1D1的中点，求PQ及MN所成的角的度数？（60°）例3  在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2求：（1）AB及A1C1所成的角的正切？（2）A1A及BC1所成的角的正弦？（3）A1C1及AD1所成的角的余弦？这叫余弦定理，我们补充的定理详见代数课本第239页二 解斜三角形中的35余弦定理在讲完这三个例题后，可做如下总结小结（1）以概念为指导作出异面直线所成的角；（2）找出这个角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解这个三角形，求出所要求的角在求异面直线所成的角的三个步骤中，关键是第（1）步，即把空间角（异面直线所成的角）转化为平面角，把