(完整版)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)

1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲下载 】1理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义其中判断为真的语句叫1命题的概念用语言、 符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1) 四种命题间的相互关系(2) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件(1)若 p? q，则 p 是 q的充分条件， q 是 p的必要条件(2)若 p? q

2、，则 p 与 q 互为充要条件(3) 若 p? / q，且 q? / p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件1一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示： 不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件， 又否定该命题的结论，而这个 命题的否定仅是否定它的结论2“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同 吗？提示： 两者说法不相同 “p 的一个充分不必要条件是 q”等价于 “ q 是 p 的充分不必要条件 ”，显然这与 “p是 q的充分不必要条件 ”是截然不同的1(2013 福·建高考 )已知集合 A1，a，B1,2,3 ，则“

3、a3”是“ A? B”的()A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：选A 当a3时，A1,3，A? B；反之，当 A? B时， a2或3，所以“a 3” 是 “ A? B” 的充分而不必要条件2命题“若 x2> y2，则 x> y”的逆否命题是 ( )A “若 x<y，则 x2< y2”B “若 x> y，则 x2>y2”C“若 xy，则 x2y2”D “若 xy，则 x2y2”若 x2> y2，则 x> y”解析：选 C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 的逆否命题是 “若 xy，则 x2

4、y23 (教材习题改编 )命题“如果 b24ac>0，则方程 ax2bx c0(a0)有两个不相等 的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为 ( )A0B1C2D 3解析：选 D 原命题为真， 则它的逆否命题为真， 逆命题为 “若方程 ax2bxc 0(a0) 有两个不相等的实根，则 b2 4ac> 0” ，为真命题，则它的否命题也为真4命题“若 f(x) 是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是( )A若 f( x)是偶函数，则 f( x)是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数C若 f( x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f( x) 不是奇函

5、数，则 f(x)不是奇函数若 f(x)是奇函数，则 f( 解析： 选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故 x)是奇函数 ” 的否命题是 B 选项5下面四个条件中，使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( )A a> b1 Ba> b1 C a2>b2 D a3>b3解析： 选 A 由 a> b1，且 b1>b，得 a> b；反之不成立 .19考点一四种命题的关系例 1 (1)命题“若 x> 1，则 x>0”的否命题是 ( )A 若 x>1，则 x0B若 x 1，则 x>0C若 x 1，则 x0D若 x< 1

6、，则 x< 0(2) 命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是 ( )A若 x y是偶数，则 x 与 y不都是偶数B若 x y是偶数，则 x 与 y都不是偶数C若 x y不是偶数，则 x与 y 不都是偶数D若 x y不是偶数，则 x与 y 都不是偶数自主解答 (1)因为 “ x> 1”的否定为 “ x 1”， “ x>0”的否定为 “x0”，所以命 题“若x>1，则 x> 0”的否命题为： “若x1，则 x0”(2)由于“x，y都是偶数 ”的否定表达是 “ x， y不都是偶数 ”，“xy是偶数 ”的否定 表达是“xy不是偶数 ”，故原命题的逆否

7、命题为 “若xy不是偶数，则 x与 y不都是偶 数”答案 (1)C (2)C【互动探究】试写出本例 (2) 中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性解： 逆命题：若 x y 是偶数，则 x， y 都是偶数是假命题否命题：若 x， y不都是偶数，则 xy 不是偶数是假命题【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1) 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换 即得逆命题， 将条件与结论同时否定即得否命题， 将条件与结论互换的同时进行否定即得逆 否命题(2) 原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用1命题 p：“若 ab，则 ab>2 01

8、2且 a> b”的逆否命题是( )A若 ab2 012 且 a b，则 a< bB若 a b2 012 且 a b，则 a> bC若 a b2 012 或 a b，则 a< bD若 ab2 012 或 a b，则 a b解析：选 C “且” 的否定是 “或”，根据逆否命题的定义知， 逆否命题为 “若 a b2 012 或 a b，则 a< b”2下列命题中为真命题的是 ( )A 命题“若 x> y，则 x> |y|”的逆命题B命题“若 x> 1，则 x2>1”的否命题C命题“若 x1，则 x2x2 0”的否命题D命题“若 x2> 0，

9、则 x>1”的逆否命题解析： 选 A A 中逆命题为 “若 x> |y|，则 x> y”是真命题；B 中否命题为 “ 若 x 1，则 x2 1”是假命题；C 中否命题为 “ 若 x 1，则 x2 x 20”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题考点二命题的真假判断 例 2 (1)下列命题是真命题的是 ( )A若 11，则 xy xyB若 x21，则 x 1C若 x y，则 x yD若 x<y，则 x2< y2(2)(2014 济·南模拟 )在空间中，给出下列四个命题： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直； 若平面外两点到平面的距离相等

10、，则过这两点的直线必平行于该平面； 两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； 两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是 ( )A BCD自主解答 (1)取 x 1排除 B；取 xy 1排除 C；取 x 2，y 1排除 D， 故选 A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交， 故错误； 对于， 两条相交直线在同一平面内的射影可以为一 条直线，故错误； 对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另 一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确综上可知，选 D.答案 (1)A (2)

11、D【方法规律】命题的真假判断方法(1) 给出一个命题， 要判断它是真命题， 需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题， 只需举一反例即可(2) 由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的 真假给出下列命题： 函数 y sin(xk)k( R)不可能是偶函数； 已知数列 an的前 n 项和 Sn an 1(a R ， a 0)，则数列 an一定是等比数列； 若函数 f(x)的定义域是 R，且满足 f(x)f(x2)3，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数； 过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交 其中所有正确的命题有 (填正确命题的序

12、号 )解析： 当 k 12时， y sin(x k就)是偶函数，故错；当a1 时， Sn0，则 an的各项都为零，不是等比数列，故错；由f(x)f(x 2)3，则 f(x2)f(x4)3，相 减得 f(x)f(x4)0，即 f(x)f(x4)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，正确；过 两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错综上所述，正 确的命题只有 .答案： 高频考点考点三 充 要 条 件1充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题2高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)

13、探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3) 与命题的真假性相交汇命题例 3 (1)(2013 北·京高考 )“ ”是“曲线 y sin(2x )过坐标原点”的 ( )A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2012 四·川高考 )设 a、abb 都是非零向量，下列四个条件中，使 |aa| |bb|成立的充分条件是 ()A a bBabCa2bDab 且|a| |b|(3)给出下列命题：“数列 an为等比数列”是“数列 anan1 为等比数列”的充分不必要条件；“ a 2”是“函数 f(x)|xa|在区间 2，

14、)上为增函数”的充要条件； “ m 3”是“直线 ( m 3)x my 2 0 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件； 设 a，b，c 分别是 ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a 1，b 3，则“ A 30 °”是“ B60 °”的必要不充分条件其中真命题的序号是 自主解答 (1)当 时， y sin(2 x) sin 2x，则曲线 y sin 2x过坐标原点， 所以“ ”? “曲线 ysin(2x)过坐标原点 ”；当 2时， y sin(2 x 2) sin 2x， 则曲线 ysin 2x 过坐标原点，所以 “”?/“曲线 ysin(2x)过坐标原点 ”

15、，所以 “ ”是“曲线 ysin(2x )过坐标原点 ”的充分而不必要条件(2)|aa|，|bb|分别是与 a， b 同方向的单位向量，由 |aa|bb|，得 a 与 b 的方向相同而 ab 时， a 与 b 的方向还可能相反故选 C.a2 时，函数 f(x)|x a|在区(3) 对于，当数列 an为等比数列时，易知数列 anan1 是等比数列，但当数列 anan1 为 等比数列时，数列 an未必是等比数列，如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列，而相应的 数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此正确；对于，当间2 ， )上是增函数，因此不正确；对于，当m3 时，

16、相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m 3，也可能 m 0.因此不正确；对于，由题意得bsin B 3，若 B 60°，则 sin A1，注意到 b>a，故 A30°，反之，当 A30°时， a sin A 2有 sin B 23，由于 b>a，所以 B 60°或 B 120°，因此正确综上所述，真命题的序号是 .答案 (1)A (2)C (3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关

17、系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可1(2014 ·西安模拟 )如果对于任意实数 x，x表示不超过 x 的最大整数， 那么“ x y” 是“ |x y|< 1 成立”的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件解析：选 A 若xy，则|xy|<1；反之，若 |x y|< 1，如取 x 1.1，y 0.9，则xy， 即“xy”是“|xy|<1 成立 ”

18、的充分不必要条件12已知 p： 1 <1，q：x2(a1)x a>0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的 x1取值范围是 ( )A(2，1B2， 1C3,1D2，)1 1x 2解析：选 A 不等式 <1 等价于1<0，即>0，解得 x>2 或 x<1，所以 p 为 （x1x 1x1， 1）（2， ）不等式 x2（a1）xa>0 可以化为 （x1）（x a）>0 ，当 a 1 时，解得 x>1或 x<a，即 q为（ ， a） （1， ），此时 a 1；当 a>1 时，不等式 （x1）（x a）>0 的解集

19、是 （ ， 1）（ a， ），此时 a<2，即 2<a< 1.综上可知 a 的取值范围 为（2， 14± 16 4n3设 n N * ，一元二次方程 x24x n 0 有整数根的充要条件是 n .解析：一元二次方程 x24xn 0 的根为 x22± 4 n，因为 x 是整数，即 2± 4n为整数，所以4 n为整数，且 n 4，又因为 nN*，取 n 1,2,3,4，验证可知n3,4 符合题意，所以 n 3,4时可以推出一元二次方程 x24xn0 有整数根答案： 3 或 4 课堂归纳 通法领悟 1 个区别 “A 是 B 的充分不必要条件 ”与“A

20、的充分不 必要条件是 B” 的区别 “A是 B的充分不必要条件 ”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是 B” 中， B是条件， A是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别2 条规律 四种命题间关系的两条规律 （1）逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假 （2）当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要 关注“特例法 ”的应用3 种方法 判断充分条件和必要条件的方法（1）定义法； （2） 集合法； （3）等价转化法方法博览 （一 ）三法破解充要条件问题1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题若 p，则 q ”与“若

21、q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与 q 之间的充要关系典例 1 设 0<x<2，则“ xsin2x<1”是“ xsin x<1”的 ()A 充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件解题指导 由 0< x<2可知 0<sin x< 1，分别判断命题 “若 xsin2x<1，则 xsin x<1” 与“ 若 xsin x< 1，则 xsin2x<1”的真假即可解析 因为 0< x< 2，所以 0<sin x<1，不等式 xsin x<1 两边同乘 sin

22、 x，可得 xsin 2x<sin x， 所以有 xsin2x<sin x<1.即 xsin x<1? xsin2x<1；11不等式 xsin2x<1 两边同除以 sin x，可得 xsin x<sin x，而由 0<sin x<1，知 sin x>1，故 xsin sin x sin x x<1 不一定成立，即 xsin2x<1 ? / xsin x<1.综上，可知 “xsin2x<1”是 “xsin x<1”的必要不充分条件答案 C点评 判断 p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若 p，则 q”和

23、B：“若 q，则 p” 的真假(1)若 p? q，则 p 是 q 的充分条件；(2)若 q? p，则 p 是 q 的必要条件；(3) 若 p? q 且 q? p，则 p 是 q 的充要条件；(4) 若 p? q 且 q? / p，则 p 是 q 的充分不必要条件；(5) 若 p? / q 且 q? p，则 p 是 q 的必要不充分条件；(6) 若 p? / q 且 q? / p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件2集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的 方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题典例 2 若 A：log2a<1，B：

24、x 的二次方程 x2(a1)xa20的一个根大于零，另 一根小于零，则 A 是 B 的 ()A 充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件解题指导 分别求出使 A、B成立的参数 a的取值所构成的集合 M 和 N，然后通过集合 M 与 N 之间的关系来判断解析 由log2a<1，解得 0<a<2，所以满足条件 A的参数 a的取值集合为 M a|0<a<2 ； 而方程 x2 （a 1）x a 2 0的一根大于零， 另一根小于零的充要条件是 f（0）<0，即 a2<0， 解得 a<2，即满足条件 B的参数 a的取值集合为 N a|

25、a<2 ，显然 M N，所以 A是 B的充 分不必要条件答案 B点评 利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件 p、q 对应的集合分别为 A、B关系A? BB? AABBAABA B 且BA结论p是 q的充 分条件p是 q的必 要条件p是 q的充 分不必要条 件p是 q的必 要不充分条 件p是 q的充 要条件p 是 q 的既 不充分也不 必要条件3.等价转化法 等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时， 根据原命 题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断典例 3 已知条件 p： 4 1，条件 q： x2 x<a2 a，且 q

26、的一个充分不必要条 x1件是 p，则 a 的取值范围是 解题指导 “ q的一个充分不必要条件是p”等价于 “p是 q的一个必要不充分条件”解析 由 4 1，得 3x<1.由 x2x<a2a，得 （xa）x（a1）<0，x 111当 a>1a，即 a>12时，不等式的解为 1a<x<a；当 a1 a，即 a 12时，不等式的解为 ?； 当 a<1 a，即 a<21时，不等式的解为 a<x<1 a.由 q 的一个充分不必要条件是p，可知 p 是 q 的充分不必要条件，即 p 为 q 的一个必要不充分条件，即条件 q 对应的 x 取值

27、集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集1 3 1 a，1当 a>2时，由 x|1 a<x<a x| 3x<1 ，得解得2<a1；2 1 a，2当 a 12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；1 3 a ，1当 a<2时，由 x|a< x<1 a x| 3x<1 ，得解得 0a<2.211 a，2综上， a 的取值范围是 0,1 答案 0,1点评 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假p、 q 之间的关系p 和 q 之间的关系p是 q 的充分不必要条件p 是 q 的必要不充分条件p是 q 的

28、必要不充分条件p 是 q 的充分不必要条件p是 q的充要条件p 是 q 的充要条件p是 q的既不充分也不必要条件p是 q 的既不充分也不必要条件 全盘巩固 1“若 b24ac<0，则 ax2 bxc 0 没有实根”，其否命题是( )A若 b2 4ac> 0，则 ax2 bxc 0 没有实根B若 b24ac>0，则 ax2 bxc 0 有实根C若 b24ac0，则 ax2 bxc 0 有实根D若 b2 4ac 0，则 ax2 bxc 0 没有实根解析： 选 C 由原命题与否命题的关系可知， “ 若 b2 4ac< 0，则 ax2 bxc0 没有 实根”的否命题是 “若b2

29、4ac0，则 ax2bxc 0有实根”2f(x)，g(x)是定义在 R 上的函数， h(x)f(x)g(x)，则“ f(x)，g(x)均为偶函数”是“ h(x) 为偶函数”的 ( )A 充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件解析： 选 B 因为 f(x)，g(x)均为偶函数，可推出 h(x)为偶函数，反之，则不成立3(2014 ·黄冈模拟 )与命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”等价的命题是 ( )A若 a，b，c 成等比数列，则 b2acB若 a，b，c 不成等比数列，则 b2acC若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列D若 b2ac，则 a

30、，b，c 不成等比数列解析：选 D 因为原命题与其逆否命题是等价的， 所以与命题 “若 a，b，c 成等比数列， 则 b2ac”等价的命题是 “若 b2 ac，则 a，b，c 不成等比数列 ”4设 a>0 且 a 1，则“函数 f(x)ax在 R 上是减函数”是“函数 g(x)(2a)x3 在 R 上是增函数”的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A “ 函数 f(x) ax在 R 上是减函数 ”的充要条件是 p：0<a< 1.因为 g(x) 3(2a)x2，而 x20，所以“函数 g(x)(2a)x3在 R 上是增函数

31、 ”的充要条件是 2a>0， 即a<2.又因为 a> 0且a 1，所以“函数 g(x) (2 a)x3在R上是增函数 ”的充要条件是 q： 0<a< 2 且 a 1.显然 p? q，但 q? / p，所以 p 是 q 的充分不必要条件，即 “函数 f(x)ax 在 R 上是减函数 ”是“函数 g(x)(2a)x3在 R上是增函数 ”的充分不必要条件5 (2014 ·南昌模拟 )下列选项中正确的是 ( )1A若 x>0且 x 1，则 ln x ln x2B在数列 an 中，“ |an1|>an”是“数列 an 为递增数列”的必要不充分条件C命题

32、“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D 若命题 p 为真命题，则其否命题为假命题1解析： 选 B 当 0<x<1 时，ln x< 0，此时 ln xln x 2，A 错；当|an1|>an时， an ln x不一定是递增数列，但若 an是递增数列，则必有 an<an1|an1|，B 对；全称命题的否定 为特称命题， C 错；若命题 p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题， D 错6已知 p： 2x 1 1，q： (x a)( x a 1) 0.若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 ( )1 1 1 1A. 0，2B. 0，

33、 2C (， 0) 2，D(， 0) 2，解析： 选 A 令 Ax| 2x11，得 A x 21x1 ，令 Bx|(xa)(xa1)0， a 12，1得 B x|a x a1 ，若 p是 q的充分不必要条件，则 A B，需? 0a2.a117在命题 p 的四种形式 (原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题 p：“若两条直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20 平行，则 a1b2 a2b10”那么 f(p) .解析：原命题 p 显然是真命题， 故其逆否命题也是真命题， 而其逆命题是： 若 a1b2 a2b1 0，则两条直线 l1：a1xb1yc1

34、0 与 l2：a2xb2yc20 平行，这是假命题， 因为当 a1b2 a2b10 时，还有可能 l1 与 l2 重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p) 2.答案： 28下列四个命题： “若 x y 0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “若 x2x60，则 x> 2”的否命题；1 在 ABC 中，“ A>30°”是“ sin A>21”的充分不必要条件； “函数 f(x)tan(x )为奇函数”的充要条件是“ kk(Z)” 其中真命题的序号是 (把真命题的序号都填上 )解析： 原命题的逆命题为： “若 x，y 互为相反数，则 xy0” ，是真命题

35、； “ 若 x2x60，则 x> 2”的否命题是 “若 x2 x6<0，则 x2” ，也是真命题；在 ABC 1中， “A>30°”是 “sin A>12”的必要不充分条件，是假命题； “函数 f(x)tan(x)为 k奇函数 ”的充要条件是 “k2(kZ)” ，是假命题答案： 9已知 ：xa，：|x1|<1.若 是 的必要不充分条件， 则实数 a的取值范围为 解析： ： x a，可看作集合 Ax|xa，由 |x 1|< 1，得 0<x< 2，可看作集合 B x|0<x<2 又是 的必要不充分条件， B A，a0.答案： (

36、， 010已知函数 f(x)是 (， )上的增函数， a， bR，对命题“若 ab0，则 f(a) f(b)f(a)f(b)”(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：(1)否命题：已知函数 f(x)在(， )上是增函数， a，bR ，若 ab<0，则 f(a) f(b)<f(a)f(b)该命题是真命题，证明如下：ab<0，a< b，b< a.又f(x)在(， )上是增函数 f(a)<f(b)，f(b)< f(a)，f(a)f(b)< f( a) f(b)，否命题为真命题(2)逆否命题：已知函

37、数 f(x)在(， )上是增函数， a， bR ，若 f(a)f(b)<f(a) f(b)，则 a b<0.真命题，可证明原命题为真来证明它a b0，a b， b a，f(x)在 ( ， )上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)， 故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题3311已知集合 A y yx22x 1，x 4，2 ，Bx|xm21若“xA”是“ x B ”的充分条件，求实数 m 的取值范围3 3 7 3 7 7解： yx223x1 x43 2176，x43，2 ，176y2，A y 176 y2 .由 xm21，得 x1m2，Bx

38、|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，7 3 3A? B，1m216，解得 m4或 m4，故实数 m 的取值范围是 ， 3 3， .4412已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m2 4m50，求 两方程的根都是整数的充要条件解： mx24x 4 0 是一元二次方程， m 0.又另一方程为 x2 4mx 4m2 4m 50，且两方程都要有实根，1 16 1 m 0，5 解得 m 4， 1 .216m2 4 4m2 4m5 0，4m4Z，m两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，5 4mZ ，m为4的约数又 m 4，1 ，m 1或 1.4m24m5Z.当 m 1 时，第一个方程 x2 4x 4 0 的根为非整数；而当 m1 时，两方程的根均为整数，两方程的根均为整数的充要条件是m1. 冲击名校 1对于函数 yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“