第九章时间序列分析与预测

1、第九章第九章 时间序列分析与预测时间序列分析与预测本章主要介绍以下内容：本章主要介绍以下内容：1 1、时间序列的意义、种类以及编制原则。重点掌、时间序列的意义、种类以及编制原则。重点掌握时间序列的分类以及各分类之间的关系。握时间序列的分类以及各分类之间的关系。2 2、各类发展水平指标的计算方法及应用。着重了、各类发展水平指标的计算方法及应用。着重了解序时平均数与一般平均数的区别，重点掌握序时解序时平均数与一般平均数的区别，重点掌握序时平均数的各种计算方法。平均数的各种计算方法。3 3、各类发展速度指标的计算方法及应用。重点了、各类发展速度指标的计算方法及应用。重点了解平均发展速度。解平均发展速

2、度。4 4、时间序列变动因素的分解和长期趋势变动的、时间序列变动因素的分解和长期趋势变动的测定以及季节变动的测定。测定以及季节变动的测定。 动态分析法动态分析法因数分析法因数分析法时间序列的分析方法：时间序列的分析方法：我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标（8 8）（9 9）（1616年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）第三次产第三次产业（亿元）业（亿元）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）第三次产业第三次产业（亿元）（亿元）（1）（2）（1）（2）1985199334634.411323.8198610202.22945.6

3、199446759.414930.0198711962.53506.6199558478.117947.2198814928.34510.1199667884.620427.5198916909.25403.2199774462.623028.7199018547.95813.5199878345.225173.5199121617.87227.0199981910.927035.8199226638.19138.6我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标 （6）（10）(11)(13)年份年份第三次产业国第三次产业国内生产总值所内生产总值所占比重（占比

4、重（%）年末社会从年末社会从业人员人数业人员人数（万人）（万人）年份年份第三次产业国第三次产业国内生产总值所内生产总值所占比重（占比重（%）年末社会从年末社会从业人员人数业人员人数（万人）（万人）（3）（4）（3）（4）198549873199332.7066373198628.8751282199431.9367199198729.3152783199530.6967947198830.2154334199630.3168850198931.9555329199730.9369600199031.3463909199832.1369957199133.4364799199933.017058

5、6199234.3165554我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）年末社会从年末社会从业人员人数业人员人数（万人）（万人）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）年末社会从年末社会从业人员人数业人员人数（万人）（万人）（1）（4）（1）（4）198549873198610202.251282198711962.552783198814928.354334199667884.668850198916909.2199774462.669600199878345.269957199981910.970

6、586我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标 （1313）年份年份按按国内生产总值计算的社会国内生产总值计算的社会劳动生产率（元劳动生产率（元/ /人人年）年）年份年份按国内生产总值计算的社会按国内生产总值计算的社会劳动生产率（元劳动生产率（元/ /人人年）年）（5）（5）19851993525119862017199470011987229919958654198827871996992519893084199710757199031111998112281991335919991165619924087我国国内生产总值及有关社会、经济发展指标我国国

7、内生产总值及有关社会、经济发展指标 （1212）（1616）（3737）(38)(38)年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）发展速度（发展速度（% %）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）发展速度（发展速度（% %）环比环比定基定基环比环比定基定基甲甲（1）（2）（3）甲甲（1）（2）（3）198523135.2100199347818.2113.5206.7198625171.0108.8108.8199453843.3112.6232.7198728090.9111.6121.419955949

8、6.9110.5257.2198831265.2111.3135.1199665208.6109.6281.9198932547.0104.1140.7199770946.9108.8306.7199033783.8103.8146.0199876480.8107.8330.6199136891.9109.2159.5199981910.9107.1354.1199242130.6114.2182.1第一节第一节 时间序列概述时间序列概述一、时间序列的概念和作用一、时间序列的概念和作用 时间序列（即动态数列）：时间序列（即动态数列）： 构成时间序列有两个基本要素：构成时间序列有两个基本要素：时

9、间要素时间要素（用（用t t表示）；表示）；数据要素（用数据要素（用y y表示）。表示）。 时间序列的作用：时间序列的作用：（3 3） (14)(14)二、时间序列的分类二、时间序列的分类 绝对数时间数列绝对数时间数列 相对数时间数列相对数时间数列 平均数平均数时间数列时间数列 绝对数时间序列是基本序列，其余两类是派绝对数时间序列是基本序列，其余两类是派生序列。生序列。 （一）绝对数时间序列（一）绝对数时间序列 绝对数时间序列：绝对数时间序列： （3 3） 1 1、时期序列：、时期序列： 时期：时期：绝对数时间序列绝对数时间序列时期序列时期序列时点序列时点序列 （4 4） 时期序列具有两个主要

10、特点时期序列具有两个主要特点： 2 2、时点序列：、时点序列： 时点序列具有两个主要特点：时点序列具有两个主要特点： 间隔：间隔： （3 3） 时期序列和时点序列的区别：时期序列和时点序列的区别： （1 1）前者反映现象在各个时期内发展的总量，）前者反映现象在各个时期内发展的总量，后者则反映现象在各个时点上所达到的水平。后者则反映现象在各个时点上所达到的水平。 （2 2）前者各指标值可相加，后者则不能相加。）前者各指标值可相加，后者则不能相加。 （3 3）前者各指标值大小与所包括的时期长短）前者各指标值大小与所包括的时期长短有直接关系，后者各指标值大小与时点间隔无直接有直接关系，后者各指标值大

11、小与时点间隔无直接关系。关系。 （4 4）前者资料的取得需连续统计，后者为间）前者资料的取得需连续统计，后者为间断统计。断统计。 （4 4）(7)(7)（5 5） （二）相对数时间序列：（二）相对数时间序列： （三）平均数时间序列：（三）平均数时间序列： 时间序列的种类：时间序列的种类： (8)(8)时间序列时间序列绝对数时间序列绝对数时间序列相对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列平均数时间序列时期序列时期序列时点序列时点序列三、编制时间序列的原则三、编制时间序列的原则 编制时间序列的基本原则是保证序编制时间序列的基本原则是保证序列中各个指标数值的可比性。具体应遵列中各个指标数值的可比性。

12、具体应遵循以下循以下5 5点：点： 1 1、时期长短应该相等。、时期长短应该相等。 2 2、总体范围应该一致。、总体范围应该一致。 3 3、经济内容应该相同。、经济内容应该相同。 4 4、计算方法、计算方法应该一致应该一致。 5 5、计算价格和、计算价格和计量单位应该一致。计量单位应该一致。第二节、发展水平指标第二节、发展水平指标一、发展水平和增减水平一、发展水平和增减水平 （一）发展水平（一）发展水平 发展水平：发展水平： 总量发展水平通常用总量发展水平通常用 或或 表示，相对或平均表示，相对或平均发展水平通常用发展水平通常用c c表示。表示。 最初水平、最末水平、中间水平、基期水平、最初水

13、平、最末水平、中间水平、基期水平、报告期水平。报告期水平。 （7 7）abaaaaaann,13210 （二）增减水平（二）增减水平 （3 3） 增减水平（又称为增减量）：增减水平（又称为增减量）： （1 1）逐期增减量：）逐期增减量：0aaai增减量1iiiaaa1231201,nnaaaaaaaa （2 2）累积增减量：）累积增减量： 逐期增减量与累积增减量之间的关系：逐期增减量与累积增减量之间的关系： 0aaaii0231201,aaaaaaaan 12312010nnnaaaaaaaaaa 1010iiiiaaaaaa二、平均增减水平和平均发展水平二、平均增减水平和平均发展水平 （一）

14、平均增减水平（平均增减量）：（一）平均增减水平（平均增减量）： （1 1）水平法：）水平法：1时间数列项数累积增减量逐期增减量个数逐期增减量之和a （2 2）总和法：）总和法：120nnaaai 在消除季节变动的影响时，我们常用年距增减在消除季节变动的影响时，我们常用年距增减水平这一指标，该指标反映本期发展水平比上一年水平这一指标，该指标反映本期发展水平比上一年同期发展水平的增减绝对量。同期发展水平的增减绝对量。年距增减水平年距增减水平= =本期发展水平去年同期发展水平本期发展水平去年同期发展水平(36)(36) （二）平均发展水平（动态平均数或序（二）平均发展水平（动态平均数或序时平均数）：

15、时平均数）： 序时平均数与一般平均数的共同之点：序时平均数与一般平均数的共同之点： 序时平均数与一般平均数的主序时平均数与一般平均数的主要区别：要区别： 在计算序时平均数时，由于时间数列的种类不在计算序时平均数时，由于时间数列的种类不同，其计算方法也有所不同。其中绝对数时间数列同，其计算方法也有所不同。其中绝对数时间数列序时平均数的计算是基础。序时平均数的计算是基础。 1 1、由绝对数时间数列计算序时平均数、由绝对数时间数列计算序时平均数 （1 1）由时期数列计算序时平均）由时期数列计算序时平均数。其计算公式数。其计算公式为：为： （2 2）由时点数列计算序时平均数：分连续时点）由时点数列计算

16、序时平均数：分连续时点数列和间断时点数列两种情况。数列和间断时点数列两种情况。 A A、由连续时点数列计算序时平均数：分时间间、由连续时点数列计算序时平均数：分时间间隔相等和不相等隔相等和不相等两种情况。两种情况。）（ninaai, 2 , 1 , 01 由间隔相等的连续时点数列计算序时平均数，由间隔相等的连续时点数列计算序时平均数，其计算公式为：其计算公式为： 由间隔不相等的连续时点数列计算序时平均由间隔不相等的连续时点数列计算序时平均数，其计算公式为数，其计算公式为( (例见例见P.224.)P.224.)：）（ninaai, 2 , 1fafa例、某商场例、某商场20042004年年1

17、1月营业员人数资料如下：月营业员人数资料如下：日日 期期1 1月月1 1日日1 1月月7 7日日1 1月月8 8日日1 1月月1111日日1 1月月8 8日日1 1月月1818日日1 1月月8 8日日1 1月月2020日日1 1月月8 8日日1 1月月3131日日营业员人数营业员人数（人）（人）410410414414430430424424416416（人）41831114162424743044147410a该商场该商场1月月份日平均营份日平均营业员人数业员人数 B B、由间断时点数列计算序时平均数。同样分为、由间断时点数列计算序时平均数。同样分为间隔相等和间隔不相等两种情况。间隔相等和间

18、隔不相等两种情况。 由间隔相等的时点数列计算序时平均数，其由间隔相等的时点数列计算序时平均数，其算式经简化后为：算式经简化后为：naaaaaann221210 由间隔不相等的时点数列计算序时平均数，由间隔不相等的时点数列计算序时平均数，其计算公式为：其计算公式为：111112niiniiiiffaaa 2 2、由相对数时间数列计算序时平均数：相对数、由相对数时间数列计算序时平均数：相对数时间数列中的各项（以时间数列中的各项（以 表示）是根据两个有联系表示）是根据两个有联系的总量数据（分别以的总量数据（分别以 和和 表示表示 ）对比而求得，）对比而求得，用符号表示即用符号表示即 。即相对数时间数

19、列为：。即相对数时间数列为：nnbabababa,221100abcba 因此，由相对数时间数列计算序时平均数，应当因此，由相对数时间数列计算序时平均数，应当符合该相对数时间数列本身的计算公式，即由符合该相对数时间数列本身的计算公式，即由 而得到而得到 。而不应当由。而不应当由 而得到而得到 。bac bacncc基本公式：基本公式： 作为一种平均数，也有权数的影响问题。根作为一种平均数，也有权数的影响问题。根据实际情况，可以分为以下三类。据实际情况，可以分为以下三类。cbbcbac（1 1）分子、分母同是时期数列，其计算公式为：）分子、分母同是时期数列，其计算公式为： （2 2）分子、分母同

20、是时点数列，此时有）分子、分母同是时点数列，此时有四不同的情况，但其基本计算方法不变。具体四不同的情况，但其基本计算方法不变。具体计算时，应根据不同的情况采用相应的计算方计算时，应根据不同的情况采用相应的计算方法。总的原则是，先计算法。总的原则是，先计算 和和 ，然后再计，然后再计算算 。abbac （3 3）分子、分母是两个不同性质的数列。基本）分子、分母是两个不同性质的数列。基本原则仍然是先计算原则仍然是先计算 和和 ，然后由，然后由 求得求得 。abbac cnac 数列中各个时期的时间长度相等：用简数列中各个时期的时间长度相等：用简单算术平均法，即：单算术平均法，即： （2 2）序时平

21、均数：分为数列中各个时期的时间）序时平均数：分为数列中各个时期的时间长度相等与不相等两种情况。长度相等与不相等两种情况。（1 1）一般平均数：同相对数的情况。）一般平均数：同相对数的情况。 3 3、由平均数时间数列计算序时平均数：分为一、由平均数时间数列计算序时平均数：分为一般平均数和序时平均数两种情况。般平均数和序时平均数两种情况。 数列中各个时期的时间长度不相等：此时以数列中各个时期的时间长度不相等：此时以时间长度为权数，用加权算术平均法，即：时间长度为权数，用加权算术平均法，即：niiniiiffac11 发展水平指标发展水平指标: :发展水平指标发展水平指标发展水平发展水平增减水平增减

22、水平平均增减水平平均增减水平（水平法、总和法）（水平法、总和法） 平均发展水平平均发展水平（序时平均数）（序时平均数）逐期增减量逐期增减量累积增减量累积增减量年距增减水平年距增减水平 根据不同的时间数列计算序时平均数：根据不同的时间数列计算序时平均数： (22)(22)（序时平均数）（序时平均数）平均发展水平平均发展水平绝对数时间数列绝对数时间数列相对数时间数列相对数时间数列（分子分母数列）（分子分母数列）平均数时间数列平均数时间数列连续连续时点数列时点数列时期数列时期数列不连续不连续间隔相等间隔相等间隔不相等间隔不相等间隔相等间隔相等间隔不相等间隔不相等时期数列时期数列时点数列时点数列不同性

23、质数列不同性质数列一般平均数一般平均数序时平均数序时平均数第三节、发展速度指标第三节、发展速度指标一、发展速度和增减速度一、发展速度和增减速度 （一）发展速度（一）发展速度nnaaaaa,1210001030201,aaaaaaaaaann（1 1）定基发展速度为：）定基发展速度为： （7 7）设有发展水平：设有发展水平：分定基发展速度和环比发展速度分定基发展速度和环比发展速度 （2 2）环比发展速度为：）环比发展速度为： (7)(7)121231201,nnnnaaaaaaaaaa011aaaanniii1010iiiiaaaaaa（2 2）（1 1） 定基发展速度与环比发展速度两者间存在如

24、下重定基发展速度与环比发展速度两者间存在如下重要的换算关系：要的换算关系： 定基发展速度与环比发展速度的图示：定基发展速度与环比发展速度的图示：2a0a1a1nana环比发展速度环比发展速度定基发展速度定基发展速度 年距发展速度：以本期（月或季）发展水平与年距发展速度：以本期（月或季）发展水平与上年同期（月或季）发展水平相比，表示本期较上上年同期（月或季）发展水平相比，表示本期较上年同期发展的相对程度（也称为年距或同比发展速年同期发展的相对程度（也称为年距或同比发展速度）。用公式表示为：度）。用公式表示为：iLiaa去年同期发展水平）本期发展水平（年距发展速度), 2 , 1; 412(Lni

25、L或 （二）增减速度（二）增减速度 增减速度：增减量与基期水平之比，或发展速增减速度：增减量与基期水平之比，或发展速度减度减1 1。10）发展速度（基期水平基期水平报告期水平基期水平增减量增减速度aai （1 1）定基增减速度：）定基增减速度： （2 2）环比增减速度：）环比增减速度：1定基发展速度最初水平累积增减量定基增减速度1环比发展速度前一期的水平逐期增减量环比增减速度 年距增减速度：年距增减速度：1年距发展速度去年同期发展水平年距增减量年距增减速度 每增减每增减1%1%的绝对值指标：的绝对值指标：100100%1前一期水平环比增减速度逐期增减量的绝对值增减增减量计算表增减量计算表年份年

26、份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）增减量（亿元）增减量（亿元）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）增减量（亿元）增减量（亿元）逐期逐期累计累计逐期逐期累计累计甲甲（1 1）（2 2）（3 3）甲甲（1 1）（2 2）（3 3）198523135.2199347818.25687.624683.0198625171.02035.82035.8199453843.36025.130708.1198728090.92919.94955.7199559496.95653.636361.7198831265.23

27、174.38130.0199665208.65711.742073.4198932547.01281.89411.8199770946.95738.347811.7199033783.81236.810648.6199876480.85533.953345.6199136891.93108.113756.7199981910.95430.158775.7199242130.65238.718995.4 速度指标计算表速度指标计算表 （5151）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）发展速度（发展速度（% %）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值

28、（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）发展速度（发展速度（% %）环比环比定基定基环比环比定基定基甲甲（1 1）（4 4）（5 5）甲甲（1 1）（4 4）（5 5）198523135.2100199347818.2113.5206.7198625171.0108.8108.8199453843.3112.6232.7198728090.9111.6121.4199559496.9110.5257.2198831265.2111.3135.1199665208.6109.6281.9198932547.0104.1140.7199770946.9108.8306.7199033783.8

29、103.8146.0199876480.8107.8330.6199136891.9109.2159.5199981910.9107.1354.1199242130.6114.2182.1速度指标计算表速度指标计算表年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）增减速度（增减速度（% %）年份年份国内生产总国内生产总值（亿元）值（亿元）（按可比价（按可比价格计算）格计算）增减速度（增减速度（% %）环比环比定基定基环比环比定基定基甲甲（1 1）（6 6）（7 7）甲甲（1 1）（6 6）（7 7）198523135.2199347818.213.5106.

30、7198625171.08.88.8199453843.312.6132.7198728090.911.621.4199559496.910.5157.2198831265.211.335.1199665208.69.6181.9198932547.04.1340.7199770946.98.8206.7199033783.83.846.0199876480.87.8230.6199136891.99.259.5199981910.97.1254.1199242130.614.282.1增减增减1%1%的绝对值的绝对值年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（按（亿元）（按可比价格计算）可比价

31、格计算）增减增减1%1%的绝的绝对值（亿元）对值（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（按（亿元）（按可比价格计算）可比价格计算）增减增减1%1%的绝对的绝对值（亿元）值（亿元）甲甲（1 1）（8 8）甲甲（1 1）（8 8）198523135.2199347818.2421.31198625171.0231.35199453843.34789251.71199559496.9538.43198831265.2280.91199665208.6652.09198932547.0312.65199770946.9709.47199033783.8325.471

32、99876480.8764.81199136891.9337.84199981910.9819.11199242130.6368.92二、平均发展速度和平均增减速度二、平均发展速度和平均增减速度1 平均发展速度平均增减速度平均速度指标平均速度指标平均发展速度平均发展速度平均增减速度平均增减速度（一）几何平均法：（一）几何平均法：nnnniiinniiGaaaaXX0111平均发展速度的计算方法：平均发展速度的计算方法：几何平均法几何平均法方程法方程法例、例、19861986年年19991999年我国经济发展的平均速度为：年我国经济发展的平均速度为：%45.1090945. 1071. 1116

33、. 1088. 11421nnXXXX%45. 91%45.1091X平均增减速度为：平均增减速度为：（4646）（二）方程法：设各期发展水平为：（二）方程法：设各期发展水平为： ，平均发展速度为：平均发展速度为： 。则有：。则有：naaaa,210XniiniinnnnaXaXaxaXaXaXa1101132210niiniiaXa110 上式是一个关于上式是一个关于 的的n n 阶方程。解这个方程可阶方程。解这个方程可用查表法；或用牛顿迭代公式（即切线法），即：用查表法；或用牛顿迭代公式（即切线法），即：XnnnnXfXfXX1 niiniiaXaXf010其中其中三、计算和应用平均速度指

34、标应注三、计算和应用平均速度指标应注意的问题：意的问题： 发展速度指标：发展速度指标：发展速度指发展速度指标标发展速度发展速度增减速度增减速度定基发展速度定基发展速度环比发展速度环比发展速度年距发展速度年距发展速度 平均发展速度平均发展速度（几何平均法、方程法）（几何平均法、方程法）平均增减速度平均增减速度定基增减速度定基增减速度环比增减速度环比增减速度年距增减速度年距增减速度增减增减1%的绝对值的绝对值第四节、时间数列的趋势分析与预测第四节、时间数列的趋势分析与预测、时间数列变动因素的分解、时间数列变动因素的分解 （6060） 1 1、长期趋势变动（、长期趋势变动（T T）：）： 2 2、季

35、节变动（又称为季节周期）（、季节变动（又称为季节周期）（ S S ）：）：3 3、循环变动（又称为循环周期）（、循环变动（又称为循环周期）（C C）：）： 4 4、不规则变动（、不规则变动（I I）：）： 我们一般用我们一般用Y Y表示一个时间数列表示一个时间数列 。由于由于Y Y是由上述四种不同的影响因素共同作用所至，是由上述四种不同的影响因素共同作用所至，对于这四种不同的影响因素的组合模型，我们可以对于这四种不同的影响因素的组合模型，我们可以用两种模型进行描述，即用加法模式和乘法模式进用两种模型进行描述，即用加法模式和乘法模式进行描述。行描述。nyyyy,321ICSTYiiiiiICST

36、Y 1 1、加法模式：在假定四种变动因素是相互独、加法模式：在假定四种变动因素是相互独立关系时，用加法模式进行描述，即立关系时，用加法模式进行描述，即 2 2、乘法模式：在假定四种变动因素是相互依、乘法模式：在假定四种变动因素是相互依存关系时，用乘法模式进行描述，即存关系时，用乘法模式进行描述，即ICSTYiiiiiICSTY 在加法模式下分解时间数列的组合因素，一般在加法模式下分解时间数列的组合因素，一般用减法，如用减法，如 在乘法模式下分解时间数列的组合因素，一般在乘法模式下分解时间数列的组合因素，一般用除法，如用除法，如ICSYTICSYT 某百货公司的年销售额趋势某百货公司的年销售额趋

37、势 （5656） 某百货公司的月销售额序列的分解某百货公司的月销售额序列的分解二、长期趋势变动的测定二、长期趋势变动的测定 测定长期趋势的前提是必须掌握较长时期的完测定长期趋势的前提是必须掌握较长时期的完整资料（最好五年以上）。测定长期趋势的方法有：整资料（最好五年以上）。测定长期趋势的方法有：（一）间隔扩大法（时距扩大法）：（一）间隔扩大法（时距扩大法）：时距扩大法时距扩大法移动平均法移动平均法分段平均法分段平均法最小二乘法最小二乘法例、某铁路区段例、某铁路区段1983198319851985年按季统计的货物周转量年按季统计的货物周转量如下表：如下表： 货物周转量表货物周转量表 （单位：百万

38、吨）（单位：百万吨）试测定货物周转量的变动的长期趋势。试测定货物周转量的变动的长期趋势。年份年份一季度一季度二季度二季度三三季度季度四四季度季度198319841985616744936400512656280360472320416576解：这个时间数列是：解：这个时间数列是： 616616，400400，280280，320320，744744，512512，360360，416416，936936，656656，472472，576576。 用间隔扩大法，把时距扩大为年，得新时间数用间隔扩大法，把时距扩大为年，得新时间数列：列： 16161616，20322032，26402640（二）

39、序时平均法（二）序时平均法 （三）移动平均法：（三）移动平均法： 1 1、简单移动平均法：、简单移动平均法：步长步长n=奇数奇数偶数偶数步长步长n为奇数：为奇数： 下表为下表为1997199719981998年各国来华旅游人数资料：年各国来华旅游人数资料：年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）三期三期移动平均移动平均值值七期移动平均七期移动平均值值199711410.322411.1433.133477.9453.144470.4467.3451.055453.5456.9467.566446.8462.5480.3ttY3nMt7nMt续表续表年份年份月月时间时间

40、序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）三期三期移动平均移动平均值值三期移动平均三期移动平均值值199777487.1486.5486.288425.7504.5495.299500.8515.1505.11010518.9517.8513.91111533.8525.1506.71212522.5521.5501.8ttY3nMt7nMt 续表续表年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）三期三期移动平均移动平均值值七期移动平均七期移动平均值值1998113508.2489.2512.6214436.8479.0512.0315491.9501.5505.741

41、6575.8527.6508.1517515.0526.9517.8618490.0514.7528.6ttY3nMt7nMt 续表续表年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）三期三期移动平均移动平均值值七期移动平均七期移动平均值值1998719539.1535.1539.9820576.1542.6535.2921512.5553.2545.71022570.9542.01123542.5567.51224589.1ttY3nMt7nMt 若若n n为偶数（即采用偶数项移动平均），则所取为偶数（即采用偶数项移动平均），则所取得的平均值对正这得的平均值对正这n n个数

42、据的第个数据的第 项与第项与第 项项之间，这称之为一次移动平均；然后由相邻两项一之间，这称之为一次移动平均；然后由相邻两项一次移动平均值求二次移动平均，其值对正次移动平均值求二次移动平均，其值对正n n个数据的个数据的第第 项。这种求偶数项移动平均的方法，称为项。这种求偶数项移动平均的方法，称为二次移动平均法。二次移动平均法。2n21n21n步长步长n n为奇数：为奇数： 我们对第我们对第6767页的页的19981998年各国来华旅游人数资年各国来华旅游人数资料求料求4 4个月的移动平均值如下表：个月的移动平均值如下表：年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）四期一次

43、移动四期一次移动平均值平均值四期二次移动四期二次移动平均值平均值1998123123508.2436.8491.9503.2504.9504.1ttY 41nMt42nMt 续表续表年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）四期一次移动四期一次移动平均值平均值四期二次移动四期二次移动平均值平均值1998456456575.8515.0490.0518.2555.0555.1511.6536.6555.1ttY 41nMt42nMt 续表续表年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）四期一次移动四期一次移动平均值平均值四期二次移动四期二次移动平均值

44、平均值1998789789639.1576.1512.5554.4574.7550.5554.8564.6562.6ttY 41nMt42nMt 续表续表年份年份月月时间时间序号序号（ ）旅游人数旅游人数（万人）（万人）四期一次移动四期一次移动平均值平均值四期二次移动四期二次移动平均值平均值1998101112101112570.9542.5589.1553.8552.2ttY 41nMt42nMt例、某企业例、某企业2020年的利润总额观测数据如下表，求三年及五年移动年的利润总额观测数据如下表，求三年及五年移动平均数。平均数。（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）123456789

45、1012321234322.02.32.01.72.03.03.33.02.71.82.02.22.42.62.83.03.21112131415161718192034543456543.04.04.34.03.74.05.05.35.03.43.63.84.04.24.44.64.8ttx观测值tx平均值三年移动tx平均值五年移动ttx观测值tx平均值三年移动tx平均值五年移动某企业某企业2020年的利润总额观测数据的移动平均曲线年的利润总额观测数据的移动平均曲线 2 2、加权移动平均法：、加权移动平均法：直线趋势直线趋势.ttY （四）分段平均法：（四）分段平均法：0cyy 具体求解步骤

46、如下：具体求解步骤如下： （1 1）将时间数列的各个时期按先后顺序编号，）将时间数列的各个时期按先后顺序编号，即令即令nt, 2 , 1 , 0 （2 2）把时间数列分为前后两个相等的部分，分）把时间数列分为前后两个相等的部分，分别计算其指标数值的平均数，记作别计算其指标数值的平均数，记作 和和 。1Y2Y 应为奇数。应为奇数。n （3 3）计算与）计算与 对应的对应的时间序号时间序号的平均数的平均数 及及与与 对应的对应的时间序号时间序号的平均数为的平均数为 。1Y1t2Y2t211211ttttYYYYc （4 4）以得到的两点）以得到的两点 和和 用两点用两点式求出直线方程式求出直线方程

47、11, Yt22, Yt 上述两点式经整理后即得直线趋势方程：上述两点式经整理后即得直线趋势方程：btaYc 其中其中 代表时间，代表时间， 代表趋势值。代表趋势值。cYt例、已知某地生产某种化肥历年产量的统计资料如下例、已知某地生产某种化肥历年产量的统计资料如下表，试用分段平均法拟合一条趋势直线。表，试用分段平均法拟合一条趋势直线。年份年份某种化肥产量（某种化肥产量（Y Y）年份年份某种化肥产量（某种化肥产量（Y Y）1989199019911992199319941995772780771776780782779199619971998199920002001780785779784785

48、780某地某种化肥产量某地某种化肥产量 单位：万吨单位：万吨解：删去第一项，即解：删去第一项，即19891989年的数据。列表计算如下：年的数据。列表计算如下：年份年份时期编号（时期编号（t t）某种化肥产量（某种化肥产量（Y Y）199019911992199319941995123456780771776780782779合计合计214668单位：万吨单位：万吨续表续表年份年份时期编号（时期编号（t t）某种化肥产量（某种化肥产量（Y Y）199619971998199920002001789101112780785779784785780合计合计574693单位：万吨单位：万吨 由上表可

49、得：由上表可得：5 . 36211t778646681Y5 . 96572t17.782646932Y5 . 95 . 35 . 317.782778778tYc由两点方程，得：由两点方程，得： 整理后得到直线趋势方程：整理后得到直线趋势方程：tYc695. 06 .775附：曲线配合问题，即如何选择长附：曲线配合问题，即如何选择长期趋势模型：趋势模型是以时间期趋势模型：趋势模型是以时间 作自变量，以社会经济指标作自变量，以社会经济指标 为为因变量因变量， 为指标的趋势估计值。为指标的趋势估计值。tYcY A A、直线趋势模型：其公式为、直线趋势模型：其公式为 判断准则为：当时间数列中判断准则

50、为：当时间数列中 的的btaYcY 各期一阶差分各期一阶差分 大大体一致时，可选择直线模型拟合。体一致时，可选择直线模型拟合。 B B、二次曲线（即抛物线）趋势、二次曲线（即抛物线）趋势模型模型： 其公式为其公式为 判断准则：当时间数列中判断准则：当时间数列中 的各期二阶差分（即二级增减量）的各期二阶差分（即二级增减量） 大体一致时，大体一致时，1tttYYY2ctbtaYcY12tttYYY C C、指数曲线趋势模型：指数曲线趋势模型： 其公式为其公式为 判断准则：当时间数列中判断准则：当时间数列中 的的各期一阶差分率（即环比增减速各期一阶差分率（即环比增减速度）度） 大体一致或各期数大体一

51、致或各期数据的对数一阶差分据的对数一阶差分 大体一致时，可选择指数曲线模大体一致时，可选择指数曲线模tcabY Y1ttYY1lnlnlntttYYY 可选择抛物线趋势模型。可选择抛物线趋势模型。 型拟合。型拟合。 （五）最小平方法：（五）最小平方法： 好的趋势线应该满足下列两点要求：好的趋势线应该满足下列两点要求： （1 1）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差平方和为最小，即平方和为最小，即 ；最小2cYY （2 2）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差）各散点（即原时间数列）与趋势线的离差总和为零，即总和为零，即 。0cYY 1 1、直线趋势的拟合：

52、如果时间数列呈直线趋势，、直线趋势的拟合：如果时间数列呈直线趋势，即即 ，则由最小二乘法的中心思想，这条直，则由最小二乘法的中心思想，这条直线趋势线必须满足以下两个条件：线趋势线必须满足以下两个条件：btaYc0cYY最小2cYY22ttnYttYnbt bYtbYna1（1 1）（2 2） 由微积分的有关知识，可得计算参数由微积分的有关知识，可得计算参数 、 的的公式如下：公式如下：ab例、已知某水泥厂例、已知某水泥厂1995199520002000年水泥产量如下表，试年水泥产量如下表，试以最小二乘法拟合趋势直线。以最小二乘法拟合趋势直线。 某水泥厂水泥产量表某水泥厂水泥产量表 单位：万吨单

53、位：万吨解：列表计算如下：解：列表计算如下：年份年份19951996 1997 1998 1999 2000水泥产量水泥产量5806858199001010 1160 最小二乘法计算表最小二乘法计算表 单位：万吨单位：万吨 将上表中的合计数代入：将上表中的合计数代入：年份年份199519961997199819992000合计合计12345621580685819900101011605154580137024573600505069602001714916253691576.5 689.5 802.5 915.5 1028.51141.5tYtY2tcYtbnaY2tbtatYba21651

54、54ba 912120017 解此联立方程，得：解此联立方程，得： 则所求趋势直线为：则所求趋势直线为：113b5 .463atYc1135 .463 我国我国19691969年年19801980年钢材消费量年钢材消费量（单位：万吨）（单位：万吨）年份年份 时序时序 钢材消费量钢材消费量 年份年份 时序时序钢材消费量钢材消费量196919701971197219731974123456102513161539156117651726197519761977197819791980789101112196019022013244627362825 对我国对我国19691969年年19801980

55、年钢材消费量采用最小年钢材消费量采用最小二乘法，得到趋势曲线：二乘法，得到趋势曲线：tYc2727.1463939.95019691969年年19801980年我国钢材消费量曲线年我国钢材消费量曲线tYc2727.1463939.950 2 2、曲线趋势的拟合：、曲线趋势的拟合：2tctbnaY32tctbtatY4322tctbtaYt （1 1）抛物线型（即二次曲线）：若时间数列）抛物线型（即二次曲线）：若时间数列呈二次曲线型呈二次曲线型 ，可用最小二乘法，可用最小二乘法或分段平均法（三段平均法）定各参数。或分段平均法（三段平均法）定各参数。2ctbtaYc 由最小二乘法可得三个线性方程如

56、下：由最小二乘法可得三个线性方程如下：联立求解，可得各个参数。联立求解，可得各个参数。 分段平均法（三段平均法）：将时间数列数据分段平均法（三段平均法）：将时间数列数据按时间先后顺序分为三个部分，然后分别对这三按时间先后顺序分为三个部分，然后分别对这三个部个部分数据分数据 及对应的时间序号及对应的时间序号 及及 进行平均，得到三进行平均，得到三组数据：组数据： ， ， ； ， ， ； ， ， 。将。将这三组数据代入这三组数据代入 中联立求解，即可得到中联立求解，即可得到各个参数。各个参数。Yt2t1Y1t21t2Y2t22t3Y3t23t2ctbtaYc （2 2）指数曲线型：若时间数列呈指数

57、曲线趋势，）指数曲线型：若时间数列呈指数曲线趋势，即即 ，则先对，则先对 两边求对数，得：两边求对数，得：tcabY tcabY btaYclnlnln 然后对上式用最小二乘法，得：然后对上式用最小二乘法，得：btanYlnlnlnbtatYtlnlnln2 对上面两个方程联立求解，可定出对上面两个方程联立求解，可定出 和和 。alnbln三、季节变动的测定三、季节变动的测定 对于趋势模型对于趋势模型ICSTYICSTYISTYISTY和和如果忽略周期因素如果忽略周期因素 C C ，则有：，则有： 测定季节变动的方法有两种：测定季节变动的方法有两种： （1 1）按月（季）平均法：该法不考虑长期

58、趋势）按月（季）平均法：该法不考虑长期趋势的影响，采用按月（或按季）平均的方法；的影响，采用按月（或按季）平均的方法； （2 2）趋势剔除法：该法考虑长期趋势的影响，）趋势剔除法：该法考虑长期趋势的影响，采用移动平均法，借以剔除长期趋势的影响，也称采用移动平均法，借以剔除长期趋势的影响，也称为移动平均趋势剔除法。为移动平均趋势剔除法。 （一）按月（按季）平均法（一）按月（按季）平均法 我们的目的是要求出各月（各季）的季节指数我们的目的是要求出各月（各季）的季节指数（即季节比率）：（即季节比率）：%100）平均数若干年内总的月（或季的平均数若干年内同月（或季）比率某月（或某季）的季节 这是一个反

59、映季节变动的相对指标，这是一个反映季节变动的相对指标，其计算步骤如下：其计算步骤如下： 整理被研究现象若干年（一般要求五年以上）的整理被研究现象若干年（一般要求五年以上）的月度资料或季度资料，将其编制成平行的时间数列；月度资料或季度资料，将其编制成平行的时间数列； 在在的基础上，计算各年同期的平均数；的基础上，计算各年同期的平均数； 计算各年总的期平均数；计算各年总的期平均数； 求出季节指数（季节比率）。求出季节指数（季节比率）。 按月（按季）平均法的优点是计算简便，容易按月（按季）平均法的优点是计算简便，容易了解；缺点是所得季节比率有时不够精确。了解；缺点是所得季节比率有时不够精确。 搜集连

60、续三年以上时间数列分期资料；搜集连续三年以上时间数列分期资料； 按季节变动周期长短求移动平均数，得出长按季节变动周期长短求移动平均数，得出长期趋势值期趋势值 。如：月度资料按。如：月度资料按1212个月移动平均，季个月移动平均，季度资料按度资料按 4 4 个季度平均，然后移正；个季度平均，然后移正；cY 剔除长期趋势，求季节比率剔除长期趋势，求季节比率 或季节或季节变差变差 ；cYYSI cYYSV（二）移动平均趋势剔除法：（二）移动平均趋势剔除法： 消除不规则变动，求同期平均季节比率消除不规则变动，求同期平均季节比率 或同期平均季节变差或同期平均季节变差 ，并求其校正数。，并求其校正数。SV