计算机控制技术第二章1

1、计算机控制技术作者：作者：罗文广，徐箭雨罗文广，徐箭雨 石玉秋，廖凤依石玉秋，廖凤依v2.1 2.1 概述概述 v2.2 2.2 采样过程采样过程v2.3 2.3 数字控制设计基础数字控制设计基础v2.4 2.4 离散化方法离散化方法v2.5 2.5 数字控制器设计方法数字控制器设计方法v2.6 2.6 本章小结本章小结第第2 2章章 计算机控制的理论基础计算机控制的理论基础 2.1 2.1 概述概述v连续系统和离散系统：连续系统和离散系统：v一般来讲，我们把所有信号都是一般来讲，我们把所有信号都是时间连续函数时间连续函数的的控制系统称为控制系统称为连续系统连续系统。v连续系统的分析工具：连续

2、系统的分析工具：拉普拉斯变换拉普拉斯变换 v系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组组离散的脉冲序列离散的脉冲序列或或数字序列数字序列，我们将其称为，我们将其称为离散离散系统系统。v离散系统的分析工具：离散系统的分析工具：Z变换变换v计算机控制系统的基础理论主要包括：计算机控制系统的基础理论主要包括：v采样系统理论采样系统理论v离散系统理论离散系统理论（1 1）采样系统理论）采样系统理论主要包括以下一些内容：主要包括以下一些内容：v采样理论。采样理论。v连续对象模型及性能指标的离散化。连续对象模型及性能指标的离散化。v性能指标函数的计算。性能指

3、标函数的计算。v采样控制系统的仿真。采样控制系统的仿真。采样周期的选择。采样周期的选择。v（2 2）离散系统理论）离散系统理论主要包括：主要包括：v差分方程及差分方程及z z变换理论。变换理论。v离散化方法。离散化方法。数字控制器设计方法常规设计方法。数字控制器设计方法常规设计方法。2.22.2采样过程采样过程.1信号类型及系统类型信号类型及系统类型1 1信号类型信号类型主要有主要有3 3种类型：模拟信号、离散信号、数字信号种类型：模拟信号、离散信号、数字信号（1 1）模拟信号）模拟信号 在时间和幅值上均在时间和幅值上均连续取值而不发生突变连续取值而不发生突变的信号，一般用的信

4、号，一般用十进制十进制数数表示。控制对象常用。表示。控制对象常用。v（2 2）离散（模拟）信号）离散（模拟）信号v 在时间上不连续，而在幅值上连续取值的信号。在时间上不连续，而在幅值上连续取值的信号。这是在信号变换过程中需要的中间信号。这是在信号变换过程中需要的中间信号。v（3 3）数字（离散）信号）数字（离散）信号 在时间和幅值上均不连续取值的信号，通常用在时间和幅值上均不连续取值的信号，通常用二进制代码形式表示。这是计算机需要的信号。二进制代码形式表示。这是计算机需要的信号。1 1 采样控制系统采样控制系统 系统中的信号是系统中的信号是脉冲脉冲序列形式的离散信号，称为序列形式的离散信号，称

5、为采样采样控制控制系统；系统；2 2系统类型系统类型 2 2 计算机控制系统（数字控制系统）计算机控制系统（数字控制系统）信号是信号是数码数码序列形式的数字信号，称为序列形式的数字信号，称为计算机控制系计算机控制系统统（数字控制）数字控制）系统。系统。3 3 计算机控制系统与采样控制系统的关系计算机控制系统与采样控制系统的关系 若认为采样编码过程若认为采样编码过程瞬时瞬时完成，并用理想脉冲来等完成，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则计算机控制系统等效于采样控制效代替数字信号，则计算机控制系统等效于采样控制系统（统称离散系统）。系统（统称离散系统）。 .2采样与保持分析采样与保持

6、分析 输入和输出计算机的信息转换如图所示。输入和输出计算机的信息转换如图所示。数据采样周期：数据采样周期：采样周期可以是按一定规律变化的（或不变），也采样周期可以是按一定规律变化的（或不变），也可以是随机的，如图可以是随机的，如图2-82-8所示。所示。图图2-8连续信号的采样过程连续信号的采样过程把连续信号转换成离散信号的过程，叫做把连续信号转换成离散信号的过程，叫做采样采样。实。实现采样的装置叫做现采样的装置叫做采样器采样器或或采样开关采样开关。 1 1采样过程采样过程如采样持续时间非常小，就可以用如采样持续时间非常小，就可以用理想单位脉冲理想单位脉冲函数函数来取代采样点处的矩形脉冲。来取

7、代采样点处的矩形脉冲。 2.2.采样开关和采样信号的数学描述采样开关和采样信号的数学描述 理想采样开关理想采样开关 其数学描述为：其数学描述为： 0001)(ttt 理想采样脉冲序列理想采样脉冲序列 实际采样器的闭合时间实际采样器的闭合时间通常远远小于采样通常远远小于采样周期周期T T，也远远小于被控对象连续部分的所有时间，也远远小于被控对象连续部分的所有时间常数，可相当于一个理想采样器，等效成一个理想常数，可相当于一个理想采样器，等效成一个理想的单位脉冲序列发生器，产生以的单位脉冲序列发生器，产生以T T为周期的单位脉为周期的单位脉冲序列，其数学表达式为冲序列，其数学表达式为0( )= (

8、)()(2 )(3 )(0,1,2,3, )Tktt kTtt TtTtTk式中，式中，T T为采样周期；为采样周期；k k为整数。为整数。 ), 3 , 2 , 1 , 0()3()3 ()2()2()()()() 0 ()()()()()(0* kTtTfTtTfTtTftfkTtkTfttftfkT3.3.数据保持数据保持 为了实现对被控对象的有效控制，必须把离散信为了实现对被控对象的有效控制，必须把离散信号恢复为连续信号。采样定理从理论上给出了从采样号恢复为连续信号。采样定理从理论上给出了从采样信号信号 恢复为原来连续信号恢复为原来连续信号 的条件，的条件，在工程上通常采用接近理想滤波

9、器特性的零阶保持器在工程上通常采用接近理想滤波器特性的零阶保持器来代替。来代替。)(* tx)(tx图图2-15 零阶保持器的时域特性零阶保持器的时域特性（a）两阶跃信号叠加）两阶跃信号叠加 （b）矩形波信号）矩形波信号)( 1)( 1)()(TkTtkTtkTftfk零阶保持器零阶保持器由此可以看出，零阶保持器的传递函数为由此可以看出，零阶保持器的传递函数为 1*TshhFseGsFss0)1()()(kTskTshseekTfsF将上式进行拉式变换将上式进行拉式变换 离散信号式（离散信号式（2-2）的拉式变换）的拉式变换 0*( )()kTskFsf kT e应用零阶保持器恢复的信号应用零

10、阶保持器恢复的信号 2.2.3 2.2.3 采样定理采样定理 在计算机控制系统中要求采样到的离散信号序列在计算机控制系统中要求采样到的离散信号序列能够表达相应的连续信号的基本特征。能够表达相应的连续信号的基本特征。 为使离散信号能不失真地恢复为原来的连续信号，为使离散信号能不失真地恢复为原来的连续信号，香农（香农（ShannonShannon）采样定理定量地给出了采样角频率）采样定理定量地给出了采样角频率的选择原则。的选择原则。 香农采样定理：香农采样定理： 如果连续信号具有有限频谱，其最高频率如果连续信号具有有限频谱，其最高频率为为maxmax，则对进行周期采样且采样角频率为，则对进行周期采

11、样且采样角频率为s s=2 =2 maxmax时，连续信号可以由采样信号惟一确时，连续信号可以由采样信号惟一确定，亦即可以离散信号不失真地恢复。定，亦即可以离散信号不失真地恢复。 在计算机控制系统中，连续信号通常是在计算机控制系统中，连续信号通常是非周非周期性期性的，其频谱中的的，其频谱中的最高频率最高频率可能是可能是无限无限的，为的，为了避免频率混淆问题，可以在采样前对连续信号了避免频率混淆问题，可以在采样前对连续信号进行进行滤波滤波，滤除其中频率高于，滤除其中频率高于 的分量，的分量，使其成为具有有限频谱的连续信号。使其成为具有有限频谱的连续信号。2s3 3零阶保持器的实现零阶保持器的实现

12、 零阶保持器可以用无源网络来近似实现。如果将零阶保持器可以用无源网络来近似实现。如果将零阶保持器传递函数中的零阶保持器传递函数中的 展开成幂级数展开成幂级数Tse22! 211sTTseTs零阶保持器零阶保持器 2211111111112!TshTseTGssssTseTsT s式（式（2-162-16）可以用图）可以用图2-92-9所示的所示的RCRC无源网络来实现。无源网络来实现。图图2-9 2-9 用用RCRC无源网络近似零阶保持器无源网络近似零阶保持器 假如取级数的前假如取级数的前3 3项，则项，则 2121! 21111112222sTTsTsTsTTsssesGTsh可以用可以用R

13、LCRLC无源网络来实现。无源网络来实现。用用RLCRLC无源网络近似零阶保持器无源网络近似零阶保持器 2.2.4 2.2.4 采样周期的选择采样周期的选择v（1 1）给定值的变化频率。）给定值的变化频率。v（2 2）被控对象的特性。）被控对象的特性。v（3 3） 使用的控制算法。使用的控制算法。v（4 4）计算机计算精度。）计算机计算精度。v（5 5）执行机构的类型。）执行机构的类型。v（6 6）控制的回路数。）控制的回路数。2.3 2.3 数字控制设计基础数字控制设计基础 连续系统的动态过程最早是利用微分方程来描连续系统的动态过程最早是利用微分方程来描述的。但对于信号已离散化的采样系统，微

14、分、微述的。但对于信号已离散化的采样系统，微分、微商等概念就不适用了，则必须采用建立在差分、差商等概念就不适用了，则必须采用建立在差分、差商等概念基础上的差分方程来描述。商等概念基础上的差分方程来描述。1 1 差分方程差分方程 在离散系统中，由于采样时间的离散性，要描述脉在离散系统中，由于采样时间的离散性，要描述脉冲序列随时间的变化规律，可以采用差分的概念。冲序列随时间的变化规律，可以采用差分的概念。 ：是采样信号：是采样信号两相邻两相邻采样脉冲之间的采样脉冲之间的差值差值。一系。一系列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化规律。列差值变化的规律，可反映出采样信号的变化规律。 前向差分前向差分

15、 是下一时刻采样值是下一时刻采样值e e( (k+k+1)1)与现在时刻采样值与现在时刻采样值e e( (k k) ) 之差之差e e( (k k) ) 。即。即 e e( (k k)= )= e e( (k+k+1)1) - - e e( (k k) ) e e( (k k) )称为称为。kT(k+1)T(k-1)Te(k)e(k)te*(t)2e(k)=e(k)= e(k+1) - e(k) = e(k+1) - e(k) = e(k+2) - e(k+1) - e(k+1) - e(k) = e(k+2) - 2e(k+1) +e(k) )()() 1()() 1()()(0111ink

16、eininkekekekeniinnnn！ 后向差分后向差分 是现在时刻采样值是现在时刻采样值e e( (k k) )与上一时刻采样值与上一时刻采样值e e( (k-k-1)1)之差之差e e( (k k) ) 。即，。即，e e( (k k)= )= e e( (k k) ) - - e e( (k-1k-1) ) e e( (k k) )称为称为。kT(k+1)T(k-1)Te(k)e(k)te*(t) 2e(k)=e(k)= e(k) - e(k-1) = e(k) - e(k-1) = e(k) - e(k-1) - e(k-1) - e(k-2) = e(k) - 2e(k-1) +

17、e(k-2) )()()(ikeininnii ！01ne(k)=n-1e(k)=n-1e(k) - n-1e(k-1)= 对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输出值出值 y y( (k k) ) 不仅与这一时刻的输入值不仅与这一时刻的输入值 r r( (k k) )有关，而且与过去时刻有关，而且与过去时刻的输入值的输入值r r( (k k-1)-1)、 r(k-2)r(k-2)有关，还与过去的输出值有关，还与过去的输出值y y( (k k-1)-1)、 y(k-2)y(k-2)有关。可以把这种关系用有关。可以把这种关系用描述：

18、描述：101( )(1)()( )(1)()nmy ka y ka y knb r kbr kb r km01( )()()mnjijiy kb r kja y ki 线性定常离散系统，也可以用线性定常离散系统，也可以用描述描述, , 即即101()(1)( )()(1)( )nmy kna y kna y kb r kmbr kmb r k01()()()mnjijiy knb r kmja y kn i 在实际当中，较少应用在实际当中，较少应用v例例2-1:2-1:已知二阶差分方程，输入信号，初始已知二阶差分方程，输入信号，初始条件为，试用迭代法求输出信号，。条件为，试用迭代法求输出信号，

19、。v 解：根据初始条件及递推关系，得解：根据初始条件及递推关系，得 0)0(y1) 1 (y3)0(3) 1 (2)2()2(yyry8161) 1 (3)2(2)3()3(yyry349241)2(3)3(2)4()4(yyry9324681)3(3)4(2)5()5(yyry线性离散线性离散系统系统线性差分线性差分方程方程L变换变换代数方程代数方程代数方程代数方程分析运算分析运算得到动态稳态性能得到动态稳态性能线性线性连续系统连续系统线性线性微分方程微分方程2.3.2 Z2.3.2 Z变换及其特性变换及其特性但为什么仅仅拉氏但为什么仅仅拉氏变换不能像以前那样解决问题呢？其根本原因就变换不能

20、像以前那样解决问题呢？其根本原因就是由于采样信号的拉氏变换式中含有是由于采样信号的拉氏变换式中含有超越函数超越函数，将使整个系统的变换式不能化为代数式，分析研将使整个系统的变换式不能化为代数式，分析研究很不方便，为解决这一问题，才引出了究很不方便，为解决这一问题，才引出了。一、z变换v连续信号 经采样后得到的脉冲序列为)(tf对上式进行对上式进行LaplaceLaplace变换，得变换，得0)()()(kkTtkTftf0)()(kkTsekTfsF引入一个新的复变量引入一个新的复变量将式上式代入上式可得将式上式代入上式可得 的定义式如下的定义式如下Tsez 称称 为为 的的，记作，记作 或或

21、 )(zF)(tf)()(zFtfZ)()(zFkTfZkzkTfzTfzTfzfzF)()2()()0()(210由此可看出由此可看出 是关于复变量是关于复变量 的幂级数的幂级数 。)(zF1z1ln0( )( )()kszkTFsF zf kT zZ Z变换的物理意义：变换的物理意义：P26P26例例1 1 求单位脉冲信号的求单位脉冲信号的z z变换。变换。 设设 ，则，则 由于由于 在时刻在时刻 的脉冲强度为的脉冲强度为1 1，其余时刻，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有的脉冲强度均为零，所以有)()(ttf)()()()(0tkTttftfk)(tf0t解：解：11)(0zzF同理，同理

22、， 12(), (2 ),(),ktTtTtkTzzzz的 变换为练习：求单位斜坡信号练习：求单位斜坡信号的的z z变换。变换。 sTtttf1),50( ,)(54321000543210)()()(:5)5(, 4)4(3)3(, 2)2(, 1)1 (, 0)0()(1),50( ,)(zzzzzzzFzkTzkTfzFTfTfTfTfTffkTkTfsTtttfkkkk因为因为：由题：解：解：例例2 2 求指数函数的求指数函数的z z变换。变换。解：设解：设 ，则，则kakTTaaTzezezezF2211)()|(|,111aTaTaTezezzze atetf)()(1()1 (1

23、)(TTTezzezezzzzzF例3设设 ，求，求 的的z z变换。变换。) 1(1)(sssF)(tf解：解：上式两边求上式两边求Laplace反变换，得反变换，得)0(,1)(tetft 111)(sssFv不能直接将不能直接将 代入代入 求求 ，因为是针对采样信号因为是针对采样信号 进行进行z变换。变换。zTsln1)(sF)(zF)(tf注意：注意：二、二、z z变换的基本定理变换的基本定理其中其中 和和 为任意实数。为任意实数。1a2a1 1线性定理：线性定理：1 1221122( )( )( )( )Z a fta fta F za F z)(1tf)(2tf)(1zF)(2zF

24、若若 和和 z变换为变换为 和和 ，则则2 2实数位移定理实数位移定理v若 的z变换为 ，则)(tf)(zF)()(zFznTtfZn)()()(10nkknzkTfzFznTtfZ3 3复位移定理复位移定理v已知 的z变换函数为 ，则)()(aTakTezFekTfZ)(kTf)(zF4 4Z Z域尺度定理域尺度定理v若已知 的z变换函数为 ，则)(kTf)(zF其中，其中， 为任意常数。为任意常数。 aazFkTfaZk)(5 5初值定理和终值定理初值定理和终值定理1) 初值定理： 设 的z变换为 ，并且有极限 存在， 则 )(kTf)(zF)(limzFz)(lim)0(zFfz2 )2

25、 )终值定理：终值定理： 设设 的的z变换为变换为 ，且且 的极点均在的极点均在z平面的单平面的单位圆内，则位圆内，则)(kTf)(zF)()1 (1zFz)()1 (lim)(lim11zFzkTfzk三、z反变换vz z反变换是反变换是z z变换的变换的逆运算逆运算。其目的是由象函。其目的是由象函数数 求出所对应的采样脉冲序列求出所对应的采样脉冲序列 （或（或 ），记作），记作 )(nTf)(zF)(tf)()(tfzF-1Zz反变换只能给出采样信号反变换只能给出采样信号 ，而不能，而不能给出连续信号给出连续信号 。 )(tf)(tf注意注意:)()()(*0kTtkTftfk0)()(*

26、)(kkzkTftfZzf )(kTf)()(kTftf采样采样步骤：步骤： 先将变换式写成先将变换式写成zzF)(，展展开开成部分分式，成部分分式，niiizzAzzF1)( 两端乘以两端乘以zniiizzzAzF1)( 查查z变换表变换表nikiizAkTf1)(nikTtkTftf1*)()()(kaazz 求求)2)(1(10)(zzzzF的的z反变换。反变换。110210)2)(1(10)(zzzzzzF110210)(zzzzzF) 12(1010210)(kkkTf)3(70)2(30)(100)() 12(10)(0*TtTtTtkTttfkkk22zzk11zz两端乘以两端乘

27、以z2 长除法长除法将将F(z)用长除法变化为用长除法变化为排列的幂级数，然排列的幂级数，然后与后与z变换定义式对照求出原函数的脉冲序列。变换定义式对照求出原函数的脉冲序列。kkzfzffzF110)(, 2 , 1 , 0,)(kfkTfk 0)()(kkkTtftfv若若z z变换函数变换函数 是复变量是复变量z z的有理函数，则可的有理函数，则可将将 展成展成 的无穷级数，即的无穷级数，即)(zF)(zF1z)2)(1(10)(zzzzF43211507030100)(zzzzzF2310)2)(1(10)(2zzzzzzzF解：解：10zz2 3z + 210z 1 10z 30 +

28、20z 130 20z 1+30z 230 90z 1 + 60z 270z 1 60z 2+70z 3 +与部分分式法结果一致。与部分分式法结果一致。)3(70)2(30)(100)(*TtTtTttf3 留数计算法留数计算法由z变换的定义可知0)()(kkzkTfzFdzzkTfdzzzFkkmm 011)()(dzzkTfdzzzFkmkm101)()(011)()(kkmmzkTfzzFv设 的极点为 ，则1)(kzzFnizi, 2 , 1,1)(kzzF包围了包围了的所有极点的所有极点 niikzzzFreskTf11,)()(例例4 v已知已知z变换函数为变换函数为v试用围线积分

29、方法求试用围线积分方法求z反变换。反变换。)2)(1(10)(zzzzF解：解：v上式有两个极点 和 ，且 )2)(1(10)(1zzzzzFkk10)() 1(lim 1 ,)(111kzkzzFzzzFreskkzkzzFzzzFres210)()2(lim2 ,)(121) 12(10)(kkTf), 2 , 1 , 0(k所以所以11z22z线性定常系统差分方程可以写成递推形式线性定常系统差分方程可以写成递推形式01( )()()mnjijiy kb r kja y ki01()()()mnjijiy knb r kmja y kn i 当给出输出函数的当给出输出函数的n个初始值后，可

30、以从个初始值后，可以从n+1个值个值递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。有经典法有经典法* *- -较繁琐：通解较繁琐：通解+ +特解特解、迭代法和、迭代法和z变换法。变换法。例例: 已知离散系统的后向差分方程已知离散系统的后向差分方程 y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=r(k)初始条件初始条件y(0)=0, y(1)=1。试用迭代法求在试用迭代法求在r(k)=1(k)=1 (k0)作用下的作用下的输出序列。输出序列。y(k)= r(k) + 5y(k-1)-6y(k-2) 根据初始条件根据初始条件y(0)=0, y(1)=1，并令，

31、并令k=2, 3, 4，逐逐拍递推，有拍递推，有k=0y(0)=0k=1y(1)=1 初始条件初始条件k=2y(2)=r(2)+5y(1)-6y(0)=6k=3y(3)=r(3)+5y(2)-6y(1)=25k=4y(4)=r(4)+5y(3)-6y(2)=90由此可以画出输出由此可以画出输出y(k)随时间变化的曲线。随时间变化的曲线。 2T 3TTte*(t)4T例例 将后向差分方程将后向差分方程 y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=r(k) 转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列y(k)。解：解： 对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系

32、求出。对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系求出。 对后向差分方程对后向差分方程 y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=r(k) 令令k=k-2，则变换为前向差分方程，则变换为前向差分方程 y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=r(k+2)当，当，k=0有有k=2，则，则 y(k)|k=0 =y(0)=6 r(k)|k=0 =r(0)=1当，当，k=1有有k=3，则，则 y(k)|k=1 =y(1)=25 r(k)|k=1 =r(1)=1 y(k+2)= r(k+2) +5y(k+1)-6y(k) 根据新的初始条件，并令根据新的初始条件，并令k=2, 3, 4，逐拍递推，逐拍递推

33、，有有k=0 y(0)=6k=1 y(1)=25 初始条件初始条件k=2 y(2)=r(2)+5y(1)-6y(0)=90k=3 y(3)=r(3)+5y(2)-6y(1)=301k=4 y(4)=r(4)+5y(3)-6y(2)=966由此可以画出输出由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。随时间变化的曲线。用用z变换法求解常系数差分方程的方法与用拉氏变换法求解常系数差分方程的方法与用拉氏变换求解微分方程方法类似。变换求解微分方程方法类似。差分方程式差分方程式r(k)y(k)求解代数方程求解代数方程时域解时域解Zz的代数方程的代数方程R(z)y(z)z域解域解Z-1经典法求解经典法求解利用

34、利用z变换的超前或延迟定理对差分方程两边进行变换的超前或延迟定理对差分方程两边进行z变换，代入相应的初始条件，化为复变量变换，代入相应的初始条件，化为复变量z的代的代数方程；数方程；求出代数方程的解求出代数方程的解y(z)；对对y(z)进行反变换，得出进行反变换，得出y(kT)或或c*(t)。)()()()()()()()()()()()(TzeTezezzEzTteZTzeezzEzTteZzezzETteZ20302023322 例例 一阶离散系统的差分方程为一阶离散系统的差分方程为 y(k+1)-by(k) =r(k) 已知已知r(k)=ak,初始条件初始条件 y(0)=0，求响应，求响

35、应y(k)。解：对差分方程两边取解：对差分方程两边取z变换变换zY(z)-zy(0)-bY(z)=R(z)代入代入( )(), (0)0kzR zZ ayza求得求得( )()()zY zza zb部分分式法求部分分式法求z反变换反变换1( )zzY zab zazb查表得查表得1( )() (0,1,2,.)kky kabkab 例例 二阶离散系统的差分方程为二阶离散系统的差分方程为 y(k+2)-5y(k+1)+6y(k) =r(k) 已知已知r(k)=1(k)=1,初始条件初始条件 y(0)=6,y(1)=25,求响应求响应y(k)。解：对差分方程两边取解：对差分方程两边取z变换变换 z

36、2Y(z)-z2y(0)-zy(1) 5zY(z)-zy(0)-6Y(z)=R(z)代入代入( )(1( ), (0)6, (1)251zR zZkyyz求得求得22(6116)( )(56)(1)zzzY zzzz0.5813.5( )123zzzY zzzz查表得查表得( )0.5 8 213.5 3 (0,1,2,.)kky kk 2.3.3 输入信号分析输入信号分析 0 t00 t)( Rtrt tr(t)r(t)R R一阶跃函数一阶跃函数R=1R=1时，称为单位阶跃函数，记为：时，称为单位阶跃函数，记为：111)(1)()( 1)(zzRssRttr，tr(t)Rt t0 ( )0

37、t0 Rtr t二斜坡函数（匀速函数）二斜坡函数（匀速函数）R=1R=1时，称为单位斜坡函数。时，称为单位斜坡函数。2112)1 ()(1)()(zTzzRssRttr，（T为采样周期为采样周期）r(t)t02 t0 ( )0 t0 Rtr t三抛物线函数（匀加速函数）三抛物线函数（匀加速函数）R=1/2R=1/2时，称为单位抛物线函数。时，称为单位抛物线函数。3111232)1 (2)1 ()(1)(21)(zzzTzRssRttr，1( )( )(1)mA zR zz由此得到典型输入信号由此得到典型输入信号Z变换的一般形式：变换的一般形式：m是输入信号因子，分别取是输入信号因子，分别取1，

38、2，3 2.3.4 脉冲传递函数脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的脉冲传递函数定义为输出采样信号的z z变换与输入采变换与输入采样信号的样信号的z z变换之比变换之比 ( )( )( )Y zG zR z离散输出信号的离散输出信号的Z变换变换离散输入信号的离散输入信号的Z变换变换脉冲传脉冲传递函数递函数 = 零初始条件零初始条件( )( )( )Y zG zR z 图图(b)情况下情况下, 为了应用脉冲传递函数的概念为了应用脉冲传递函数的概念, 可可以在以在输出端虚设一个采样开关输出端虚设一个采样开关, 并令其采样周期与输并令其采样周期与输

39、入端采样开关的相同。入端采样开关的相同。 脉冲传函定义脉冲传函定义二、开环脉冲传递函数二、开环脉冲传递函数1. 串联环节串联环节12( )( )( )( )( )Y zG z G zG zR z121221( )( )( )( )( )( )( )Y zG zZ G s G sGGzG G zR zG1G2(z)G1 (z) G2(z) (1) (a)所示开环系统中所示开环系统中, 两个串联环节之间两个串联环节之间有采样有采样开关存在开关存在, 这时这时求求Y(z) 和和R(z)的关系的关系： X(z)=G1(z)R(z)Y(z)=G2(z)X(z)=G1(z)G2(z)R(z) 由此可得由此

40、可得 结论结论: 有采样开关分隔的两个环节串联时有采样开关分隔的两个环节串联时, 其其脉冲传递函脉冲传递函 数等于数等于两个环节的两个环节的脉冲传递函数之积脉冲传递函数之积。 可以推广到可以推广到n个环节个环节串联串联12( )( )( )( )( )Y zGz GzG zR z 图图 (b)所示的系统中所示的系统中, 两个串联环节间两个串联环节间没有采样开关没有采样开关隔离隔离。这时系统的。这时系统的开环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数为 ：结论结论:没有采样开关分隔的两个环节串联时没有采样开关分隔的两个环节串联时, 其脉冲其脉冲传递函传递函 数为这数为这两个环节的传递函数之两个环节的传递函数

41、之积的积的Z变换变换。 可以推广到可以推广到n个环节串联个环节串联121221( )( )( )( )( )( )( )Y zG zZ G s G sG GzG G zR zG1G2(z)G1 (z) G2(z)21)(,11)(21ssGssG例例求系统的开环脉冲传递函数。求系统的开环脉冲传递函数。 解解： 对于对于图图 (a), 其开环脉冲传递函数为其开环脉冲传递函数为: )(2111)()()(22221TTTTezezzezzezzsZsZzGzGzG对于对于图图 (b), 其开环脉冲传递函数为其开环脉冲传递函数为: )()(21112111)()(22221TTTTTTezezeez

42、ezzezzssZssZzGGzG(2). 有零阶保持器的情况有零阶保持器的情况等效为：等效为：00( )( )( )sTG sG sG zZess10( )(1)G szZs2( )( )( )Y zG z D z21( )( )( )Y zG z G R z)()()()(zRGsRsGZzD11 连续系统中，并联各环节传递函数等于两个环节连续系统中，并联各环节传递函数等于两个环节的脉冲传函之和。在离散系统中，这一法则仍然成立。的脉冲传函之和。在离散系统中，这一法则仍然成立。1212( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )Y zG z R zGz R zG zGz R z12

43、( )( )( )( )( )Y zG zG zG zR z并联支路输入连续信号的情况，加并联支路输入连续信号的情况，加法法则对于法法则对于y*(t) Y(z)/R(z)11( )11( ) ( )1(1) (1)11TsY zG zZZ eR zsszzZzszs1y*(t)+-r(t)Tses1)(tr*( )y t( )y tseTs1零阶保持器等效结构图零阶保持器等效结构图零阶保持器零阶保持器例例 求零阶保持器的脉冲传函求零阶保持器的脉冲传函G(z)。 在连续系统中，闭环传函与开环传函有确定的在连续系统中，闭环传函与开环传函有确定的关系。可以用关系。可以用典型结构典型结构描述，有描述，

44、有通用公式通用公式求闭环传求闭环传函。函。 但在采样系统中，由于采样开关的位置不同，但在采样系统中，由于采样开关的位置不同，结构形式就不一样，求出的脉冲传函和输出表达式结构形式就不一样，求出的脉冲传函和输出表达式不同，因此不同，因此，因此课本上，因此课本上也没有给出所谓的通用公式。计算相当烦琐！也没有给出所谓的通用公式。计算相当烦琐！ 求解过程求解过程由图可见由图可见 E(s)=R(s)-H(s)Y(s)Y(s)=E*(s)G(s) 合并以上两式合并以上两式, 得到得到 E(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s) 对上式作对上式作Z变换变换, 则有则有E(z)=R(z)-ZG(s)H(s)

45、E*(s) 因因G(s)和和H(s)之间没有采样开关之间没有采样开关, 而而H(s)和和E*(s)之间之间有采样开关有采样开关E(z)=R(z)-GH(z)E(z) ( )( )1( )( )( )( ) ( )( )1( )R zE zGH zG zY zE z G zR zGH z即得即得闭环离散系统对闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数输入量的脉冲传递函数为：为： ( )( )( )( )1( )Y zG zzR zGH z与线性连续系统类似与线性连续系统类似, 闭环脉冲传递函数的分母闭环脉冲传递函数的分母1+GH(z)即为即为闭环采样控制系统的闭环采样控制系统的特征多项式特征多项式。)(

46、1sLZ简单求解方法：简单求解方法：先按连续系统方式，写出先按连续系统方式，写出(s)和和Y(s)；然后将然后将s变为变为z；再将各环节间没有采样开关的再将各环节间没有采样开关的(z)去掉。去掉。结论：结论： 误差信号误差信号e（t）处没有采样开关时，输入采样信）处没有采样开关时，输入采样信号号r（t）便不存在，此时不可能求出闭环离散系统）便不存在，此时不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传函，而只能求出输出采样信号对于输入量的脉冲传函，而只能求出输出采样信号的的z变换函数变换函数y (z)。例例 已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达

47、式变换表达式Y(z)。解：解：)(tr*( )y t( )y t)(2sG)(sH)(te)(1sG)(tb)(td)(*td2112( )( )( )1( )G z G R zY zGG H z2112( )( ) ( )( )1( )( )( )G s G s R sY sG s G s H s (3) 对各式采样后取对各式采样后取z变换变换)()()()(211zDzHGGzRGzD2( )( ) ( )Y zG z D z (4) 消除中间变量消除中间变量)(1)()(211zHGGzRGzD2112( )( )( )1( )G z G R zY zGG H z(1) 输入输入r(t)

48、和输出和输出y(t)都是连续信号。都是连续信号。 (2) 根据结构图有根据结构图有)()()()()()()()()()()()(*21111sDsHsGsGsRsGsBsRsGsEsGsD( )( )( )( )E sR sY s H s*( )( )( )Y sG s E s)()()()()(*sEsHsGsRsE)()()()(*sEsGHsRsE)(sR)(*sE*( )Ys( )Y s)(sG)(sH)(*sR)(sE例例 已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达式变换表达式Y(z)。)(1)()(*sGHsRsE*( )( )

49、( )YsG s E s( ) ( )( )1( )G z R zY zGH z*( )( )( )1( )G s R sYsGHs)(sR)(*sE( )Y sT)(2sG)(sH)(1sG)(*sX)(sX2( )( )( )Y sG s X s)()()(*1sEsGsX)()()()()(*2*sXsHsGsRsE*12*12( )( )( )( )1( )( )( )Gs Gs R sYsGs G s H s1212( )( ) ( )( )1( )( )G z G z R zY zG z G H z*212( )( ) ( )( )( )( )Y sG s D sG s G s E

50、 s*( )( )E sYs *2*12( )( )1( )G D sYsGGs212( )( )1( )G D zY zGG z)(sR)(*sE( )Y s)(2sG)(1sG)(sD2.3.5离散系统分析离散系统分析Tszesj()jTTj Tzeee根据根据z变换定义，令变换定义，令因为：因为： 则：则： argTzezT其模和幅角分别为其模和幅角分别为， js平面Tj0TTImz平面Re101Tj1离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析则则S平面与平面与Z平面的映射关系：平面的映射关系： S平面与平面与Z平面的映射关系可由平面的映射关系可由 来确定。来确定。 Tsze平面的影射关系

51、对应表平面的影射关系对应表 离散系统的稳定域离散系统的稳定域连续系统极点分布与脉冲响应的关系连续系统极点分布与脉冲响应的关系 v当极点分布在当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。v当极点分布在当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，

52、系统过渡时间越长。单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。 系统特征方程的所有根均分布在系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内平面的单位圆内, 或者所有根的模均小于或者所有根的模均小于1, 即即Zi1(i=1, 2, , n) 2离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件【例】某离散系统的闭环脉冲传递函数为【例】某离散系统的闭环脉冲传递函数为 试分析系统的稳定性。试分析系统的稳定性。解：解： 根据已知条件可知的极点为根据已知条件可知的极点为 由于由于 ，故该系统是不稳定的。，故该系统是不稳定的。 1123.16( )1 1.7920.368zzzz10.237z 21.556z 21

53、z 【例】设线性离散系统的特征方程为【例】设线性离散系统的特征方程为 试分析系统的稳定性。试分析系统的稳定性。解：解： 由特征方程可得特征根为由特征方程可得特征根为 由离散系统稳定的充分必要条件，因为特征根全部由离散系统稳定的充分必要条件，因为特征根全部在在Z平面上以原点为圆心的单位圆内，所以该系统是平面上以原点为圆心的单位圆内，所以该系统是稳定的。稳定的。 22(0.10.3)(0.10.56)(0.9)0zzzzz123450.5,0.6,0.7,0.8,0.9zzzzz 思路思路:找出与连续系统稳定性相关性找出与连续系统稳定性相关性, 用用劳斯判据劳斯判据来判断其稳定性。来判断其稳定性。

54、3离散控制系统的稳定判据离散控制系统的稳定判据 （1）直接求根判别法）直接求根判别法该判别方法根据该判别方法根据离散系统稳定的充要条件，离散系统稳定的充要条件，首先首先求求取离散系统取离散系统闭环特征根闭环特征根，然后根据其在，然后根据其在z平面的平面的位置位置来判断系统的稳定性。来判断系统的稳定性。11wwz令：令：则：则： 11zzw1）双线性变换）双线性变换2）稳定性判据）稳定性判据11wwz将将代入特征方程中，代入特征方程中，应用应用Routh判据判稳判据判稳。（2）判定离散系统稳定的代数方法）判定离散系统稳定的代数方法 劳斯稳定判据劳斯稳定判据对于高阶的闭环特征方程，或当需要寻找使对

55、于高阶的闭环特征方程，或当需要寻找使系统稳定的增益变化范围时系统稳定的增益变化范围时 这种变换将这种变换将Z特征方程变成特征方程变成W特征方程，这样就可特征方程，这样就可以用以用Routh判据来判断判据来判断W特征方程的根是否在特征方程的根是否在W平平面的左半面，即系统是否稳定。面的左半面，即系统是否稳定。 变换是线性变换，所以映射是一一对应的关变换是线性变换，所以映射是一一对应的关系。若系统的特征方程为系。若系统的特征方程为 经过经过 变换，可得到代数方程变换，可得到代数方程 对上式施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。对上式施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。ZWZW121200nnnnnnA

56、zAzAzA121200nnnnnna wawawa【例】给定系统的特征方程为【例】给定系统的特征方程为 试用试用Routh判据分析系统的稳定性。判据分析系统的稳定性。解：对其进行解：对其进行 变换变换 整理，得整理，得 该二阶系统的特征方程，经该二阶系统的特征方程，经 变换后所得方程变换后所得方程的系数不同号，由的系数不同号，由Routh判据知该系统不稳定。判据知该系统不稳定。 2560zz211()5()6011wwwwZWZW2560ww【例】某线性离散系统如图所示，【例】某线性离散系统如图所示， K=1， 当当T=1s 和和T=4s ，试判断系统的稳定性。，试判断系统的稳定性。 )(1

57、() 1()(1()(1) 1()1 (1111)1 () 1(1)1 () 1(11)(221212TTTTTsTsezzzezzezTezzzzzTzzsssZzsseZssseZzG系统的开环脉冲传递函数系统的开环脉冲传递函数20.3680.264( )0.632zzzz闭环传递函数为：闭环传递函数为： )(1)()(zGzGz特征方程为：特征方程为：0)1()(2zezTT20.6320zzz2+(T-2)z+1-Te-T=0 即即 当当T=1 s时时, 系统的特征方程为系统的特征方程为 z2-z+0.632=0 直接解得极点为直接解得极点为z1,2=0.5j0.618。由于极点都在单

58、位圆内由于极点都在单位圆内, 所以所以系统稳定系统稳定。 当当T=4s时时, 系统的特征方程为系统的特征方程为z2+2z+0.927=0 解得极点为解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点。有一个极点在单位圆外在单位圆外, 所以系统所以系统不稳定。不稳定。 结论结论1：T越大越大, 系统的稳定性就越差系统的稳定性就越差。 【例】【例】设采样系统如图所示设采样系统如图所示, 采样周期采样周期T=0.25s, 求能使系统稳定的求能使系统稳定的K值范围。值范围。 )(1(14144114) 4()(444TTTezzeKezzzzKssKZssKZzG解解: 开环脉冲传递函数为开环

59、脉冲传递函数为 闭环传递函数为闭环传递函数为 )(1)()(zGzGz闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT双线性变换双线性变换,令令 ,25. 0,11sTwwz代入上式得代入上式得 011158. 0368. 011111wwKwwww整理后可得整理后可得 0.158K2+1.264+(2.736-0.158K)=0 Routh表为表为 w2 0.158K 2.736-0.158Kw1 1.264w0 2.736-0.158K 要使系统稳定要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零必须使劳斯表中第一列各项大于零, 即即 0.158K

60、0 和和 2.736-0.158K0 所以使系统稳定的所以使系统稳定的K值范围是值范围是0K17.3。 结论结论2：T一定，一定，K越大越大, 系统的系统的稳定性就越差稳定性就越差。 T、k对离散系统性能的影响对离散系统性能的影响结论：结论：稳稳定定连连续续系系统统 k0T不变时不变时,K越大性能越差越大性能越差K不变时不变时, T越大性能越差越大性能越差4离散系统的动态性能离散系统的动态性能计算机控制系统的典型暂态响应计算机控制系统的典型暂态响应 ImRe01位于位于z z平面上平面上左半单左半单位园内位园内闭环实极点闭环实极点, ,其输出为衰减脉冲其输出为衰减脉冲交替变号交替变号, ,所以