(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)

1、1 、设 E R', f (x)是 E上 a.e.有限的可测函数，证明：存在定义在R'上的一列连续函数gn ，使得lim gn(x)f(x)a.e.于 E。n证明：因为f (x) 在 E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在 E 的可测子集En，11使得 m(E En)， 同时存在定义在R1上的连续函数gn(x)，使得当x En时，有ngn(x) f (x) 所 以 对 任 意 的 0 ， 成 立 E| f gn | E En 由 此 可 得1mE| fgn | n m(E En)， 因此 lim mE| f gn | n 0即 gn(x) f(x) ，nn由黎斯定理存

2、在gn 的子列 gnk ，使得 lim gn (x) f (x) ， a.e. 于 Ekk2、 设 f (x)是 (, ) 上的连续函数，g(x) 为 a,b 上的可测函数，则 f (g(x) 是可测函数。证明： 记 E1 (,), E2 a,b ， 由于 f(x) 在 E1上连续，故对任意实数c, E1fc 是直线上的开集，设E1 f c U ( n, n) ，其中 ( n, n) 是其构成区间(可能是有限n1个 ， n可 能 为n可 有 为) 因 此E2f(g) c UE2 n gn1n U(E2gn1nI E2gn) 因为 g 在 E2上可测，因此E2g集，而 E x | f (x)a

3、总是一闭集。n, E2gn都可测。故E f(g) c可测。3、设f (x) 是 (,) 上的实值连续函数，则对于任意常数a ， E x | f (x) a 是一开证明： 若 x0 E,则 f (x0) a， 因为 f(x) 是连续的，所以存在0， 使任意 x (, ) ，| x x0 | 就有 f (x) a ， 即任意 x U(x0, ), 就有 x E,所以U( x0, ) E, E 是开集若 xn E, 且xnx0(n), 则f (xn)a ， 由于 f (x) 连续， f(x0)lim f(xn)a ，n即 x0 E ，因此 E 是闭集。14、 ( 1)设A2n 1 (0, ), A2

4、n(0,n),n 1,2,L , 求出集列An 的上限集和下限集n证明： lim An(0, ) 设 x (0, ) ，则存在N，使x N ，因此 n N 时， 0 x n ，即nxA2n，所以x属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x属于无限多An，得x lim An ，又显然lim Ann任意 n N ，有 xAn ，因此若2n 1 N 时，xA2n 1,即 01x ,令 nn得0x0 ，此不可能，所以lim Ann2)可数点集的外测度为零证明： 证明： 设 E xi | i 1,2,L 对任意0， 存在开区间Ii ， 使 xiIi ， 且 | Ii | 2i 所U I i E ，且 | I

5、i | ，由 的任意性得*mE 0i1i15、设fn 是 E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证： 显然， f n 的收敛点集可表示为E0Ex lim fn(x) lim fn(x)k1E lim fnxlim fn xk1.fn 可测lim fn及 lim fn都可测，所以lim fnlim fn 在 E 上可测。 x从而，对任一自然数k， E lim fnlim fn x1 可测。故 k可测。既然收敛点集E0kE lim fn limxxfnk1E0可测，那么发散点集E E0也可测。6、 设 E Rq，存在两侧两列可测集 An， Bn,使得AnE Bn且 m(An- Bn

6、) 0 ，(0, ), 所以 lim An(0, ) lim An若有 x lim An，则存在N，使n )则 E 可测 .证明：对于任意i ，Bnn1Bi1Bn-EBi又因为AiE ， Bi EBiAi所以对于任意i ， m*(Bnn1E)m* (BiE)m*(BiAi ) m(Bi Ai )令 i ，由 m(Bi Ai ) 0 得 m(*Bnn1E)0 所以BnE 是可测的又由于Bn 可1测，有Bn 也是可测的所以n1EBnn1( Bn E) 是可测的。 n17、 设在 E 上fn而fn xgn x a.e.成立，n 1,2K ， 则有gnEnE fngnU Enn1mEn 0。18、证明

7、：反之，对任意mE ffngn x f(Af gnU EnUEffngnB)证明：因为Ax (AB(x, )从而 B(x, )所以， x A9、证明：若证明：由于所以，m UEnn1x ，所以 0B。B， B AB) ，即对任意mEfnmE f fnlim mEnB ，所以，gn(AB (A B)B(x, )，有(A B) (B(x, ) A) (B(x, )lim mE fnB) ， B (AB)为无限集，A 为无限集或B( x, ) B 为无限集至少有一个成立，即xB ， ( A B) A B 。综上所述，( A B) A B 。fn (x)f (x)， fn(x) g(x)(Ex f(x

8、)g(x)nU1ExExfg1 Ex kfnmExfg1 mEx kfnfnB) ，从而A或 xB，x E ) ，则 f (x) g(x) a.e. 于 E 。1 ，而 n21k Ex fn g21k，12k mE x fn g21k，fn (x)f ( x) ，fn(x)g(x)( xE )得lim mEx fn f所以， mEx f g1k1 0，从而1 0， lim mEx f2k nng1 0。2kmEx f (x) g(x) 0，即 f (x) g (x) a.e. 于 E 。10、 、 证明： 若fn (x)f (x) ， gn(x)g(x)( x E ) ， 则 fn(x) gn

9、 (x) f(x) g(x)( x E)。证明：对任意0 ，由于fn(x) gn(x) f(x) g(x)fn (x) f(x) gn (x) g(x) ，所以，由fn (x) gn (x) f (x) g(x) 可得，1fn(x) f (x)2 和 gn (x) g(x)从而Ex fn gn f g Ex fnf所以，mEx fn gn f g mEx fn f1至少有一个成立。212 Ex gn g，11 mEx gn g 。22又由 fn(x)f(x)， gn(x) g(x) ( x E )得，lim mEx fn n11f 0， lim mEx gn g 0。n所以，lnim mEx

10、fn gn f g 0，即fn(x) gn(x)f(x) g(x)( x E ) 。11、若fn (x)f (x)( x E ) ，则 fn(x)f (x) ( x E ) 。证明：因为fn(x) f (x)fn(x)f (x) ，所以，对任意0，有Ex fnf Ex fn f ，mEx fnf mEx fn f 。又由fn(x)f(x)( x E )得，lnim mEx fn f 0 。所以，lnim mEx fn f 0，即 fn (x) f (x) ( x E ) 。12、证明：R1 上的连续函数必为可测函数。证明：设f ( x) 是 R1 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实

11、数a ，R1x f a x f(x) a,x R1是开集，从而是可测集。所以，f(x) 是 R1上的可测函数。13、证明：R1 上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设f (x) 是 R1上的单调递增函数，对任意实数a，记 A inf x f (x) a ，由单调函数的特点得，当A x f (x) a 时，x f (x) a A,) ，显然是可测集；当 A x f(x) a 时， x f(x) a (A,) ，也显然是可测集。故f (x) 是 R1上的可测函数。14 、 设 f (x) L( E) ，En 是 E 的 可 测 子 集 ， 且 mE ， 若 lim mEn mE ， 则nlim f

12、 (x)dx f (x)dx。 nEnE证明：因为En 是 E 的可测子集，且mE ，所以，m(E En) mE mEn，从而由 limmEnmE 得， limm(E En )mE lim mEn0 。又 f (x) L(E) ，由积分的绝nnnnnn对连续性，lim f (x)dx f (x)dx lim f (x)dx 0。n EEnn E En15 、 设 f (x) L(E) ， 若 对 任 意 有界 可测 函数 (x) 都 有f(x) (x)dx 0 ， 则f(x) 0 a.e.于 E。1, xExf(x)0证明：由题设，取(x)0, xExf (x)0，显然(x) 为 E 上的有界

13、可测函数，1,xExf(x)0从而 f(x) dx f (x) (x)dx 0。 所以， f(x) 0a.e.于 E ， 即 f(x) 0 a.e.于 E。16、设f (x) L(E) ， en E f n ，证明(1 ) lim men 0 ； ( 2) lim n men 0。nn证明：由n menf (x)dx f (x)dx得， ( 1) lim men 0。 ( 2)由(1) ，注意到nenEnnf(x) L(E) ，由积分的绝对连续性得，lim f(x)dx 0，从而注意到nen0 n menf (x)dx ，en所以，lim n men 0 。 n17、若f (x) 是 a,b

14、上的单调函数，则f (x) 是 a,b 上的有界变差函数，且V(f) f(b) f(a)。证明：不妨设f (x) 是 a,b上的单调增函数，任取 a, b 的一个分割i1T : ax0x1Lxi 1xif ( xi ) f ( xi 1)nf (xi ) f(xii11)f(b) f(a) f(b)xn bf(xn) f(x0)f(a) ，b所以， V ( f ) asupTi1f (xi )f (xi 1)f(b) f(a) 。18、若f (x) 在 a,b 上满足：存在正常数K ，使得对任意x1,x2a,b ，都有则 ( 1)f (x) 是 a, b上的有界变差函数，且证明：2)f (x)

15、 是 a, b上的绝对连续函数。f (x1)f (x2)K x1bV(f) a1)由题设，任取 a, b 的一个分割T : ax0x1xixii1f (xi ) f (xi 1)nKi1xixi 1nKi1所以， f (x) 是 a,b 上的有界变差函数，且bV(f)ax2 ，K (b a)( xinsupT i1xnxi 1)f ( xi )K(bf ( xia)，1) K(b a)。2)在a,b 内，任取有限个互不相交的开区间(xi, yi) ， i 1,2, L ,n。由于i1f ( xi ) f ( yi )0 ，取，则当Kf (xi)i1K i1i1xif (yi)xiyiyinKi

16、1xi时，有Ki1yixiyi ，即 f (x) 是 a,b上的绝对连续函数。f(x) 是 a,b 上的有界变差函数。19、若f (x) 是 a,b 上的绝对连续函数，则证明：由f (x) 是 a,b上的绝对连续函数，取1 ，存在0，对任意有限个互不nn相交的开区间(xi , yi ) ， i 1,2, L , n ，只要xi yi时，有f (xi)f (yi ) 1 。i1i1现将 a, b 等分，记分点为a a0 a1 Lai 1 ai L an b ，使得每一等份的ain长度小于。 易得 V (f ) 1 ， 即 f (x) 是 ai 1,ai 上的有界变差函数。又 a, b Uai 1

17、 ,ai ，ai 1i 1bn ai所以， V(f ) V (f ) n ，即 f (x) 是 a, b 上的有界变差函数。aai 1i 1 i120、若f (x) 是 a,b 上的有界变差函数，则x( 1)全变差函数V( f )是 a,b上的递增函数；ax( 2) V(f ) f(x) 也是 a,b 上的递增函数。 a x2证明： ( 1)对任意x1, x2 a,b ， x2 x1 ，注意到V( f ) 0，有x1x2x1x2x1V(f) V(f) V(f) V(f)，aax1ax即 V(f ) 是 a,b 上的递增函数。 ax2( 2)对任意x1, x2 a,b ， x2 x1 ，注意到V( f