弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

1、弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三. 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C2 R，所以 1&#

2、176;的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n 表示 1°的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”，例如，圆的半径 R10，计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成。（2）在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R

3、，圆心角为 n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为 1°的扇形面积是算公式是，由此得圆心角为 n°的扇形面积的计。又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点 3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面

4、圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（ 1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为 r ，高为 h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形由一个直角三图 形 的

5、60;形 角形旋转得到由一个矩形旋转得到 的 ， 如 矩 形成过程的 ， 如 Rt SOA 绕 直 线SO 旋转一周。ABCD 绕直线 AB旋转一周。图 形 的 组 一个底面和一成个侧面侧 面 展 开 扇形图的特征面积计算方法【典型例题】两个底面和一个侧面矩形例 1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2

6、，1，AOB120°，则阴影部分的面积是（）A.B.      C.      D.例 2. （2003.福州）如图所示，已知扇形 AOB的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形AOB，点 C，E，D 分别在 OA，OB 及 AB 弧上，过点 A 作 AFED 交 ED 的延长线于 F，垂足为F，

7、如果正方形的边长为 1，那么阴影部分的面积为（）例 3. 如图所示，直角梯形 ABCD 中，B90°，ADBC，AB2，BC7，AD3，以BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。例 4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300 平方厘米（1）求扇形的弧长。（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？。模拟练习题一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45°

8、，面积为 2 ，则这个扇形的半径是（）A. 4B. 2C. 47D. 22. 扇形的圆心角是 60°，则扇形的面积是所在图面积的（）A.B.C.D.3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）A. 90°B.C.D.180°4. 两同心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA，OB 分别交小圆于点 M， N已知大圆半径是小圆半径的 3 倍，则扇形 OAB 的面积

9、是扇形 OMN的面积的（）A. 2 倍B. 3 倍C. 6 倍D. 9 倍5. 半圆 O 的直径为 6cm，BAC30°，则阴影部分的面积是（）A.B.C.D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD.6cm7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）A

10、.30 °B.60 °C.90°D. 120°8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 12，则它们的高之比为（）A. 2：1B. 3：2C. 2：D. 5：9. 如图，在ABC 中，C Rt，AC > BC，若以 AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为 S1，以 BC 为底面圆半径，AC 为高的

11、圆锥的侧面积为 S2，则（）A. S1S2B. S1 > S 2C. S1 < S 2D. S1、S2的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是 12cm，其圆心角是 90°，则扇形的半径是cm ， 扇 形 的 面 积是cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的 3 倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.3. 已知扇形面积是

12、60;12cm2，半径为 8cm，则扇形周长为.4 在ABC 中，AB3，AC4，A90°，把 ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为 S1；把 ABC 绕 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为 S2，则 S1： S2。5. 一个圆柱形容器的底面直径为 2cm，要用一块圆心角为 240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。6. 如图，扇形 AOB 的圆心角为 60°，半径为6cm，C，D 分别是的三等分点，则阴影部分的面积是。7. 如图正方形的边长为 2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以 2 为半径画弧，则阴影部分面积为。三、计算题1. 如图，在 ABC 中，ACBC ，以 A 为圆心画弧 ，交 AB&