数学建模论文2004年饮酒驾车

1、第九篇饮酒驾车者三思2004 年 C 题 饮酒驾车据报载， 2003 年全国道路交通事故死亡人数为10.4372 万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克百毫升，小于 80 毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100

2、 毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克百毫升）。大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了

3、 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：酒是在很短时间内喝的；酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高；4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1.人的体液占人的体重的 65%至 70%，其中血液只占体重的 7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约 70kg 的某人在短时间内喝下

4、 2 瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如表 9-1。表 9-1喝两瓶啤酒后的时间的血液中酒精含量（毫克百毫升）时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量时间(小时)酒精含量30   68   75   82  82  77  68  68  58  51  50

5、  416    7    8    9   10  11  12  13  14  15  1638   35   28   25  18  15  12&#

6、160; 10   7   7   4化的弹性系数成线性下降的趋势建立了微分方程模型：dx(t )    = (a - bt )。我们用 mathematica 软件，饮酒驾车者三思 *摘要：本文讨论了不同饮酒方式、饮酒数量情况下血液中酒精含量的变化规律。我们假设喝完酒后血液中的酒精含量达到峰值的时间相同，任意时刻血液中的酒精含量与饮酒量成正比，通过散点图作曲线拟合得到血液中酒

7、精浓度与时间的函数关系： x(t) = 71.199 te-t / 2 ；根据酒精在人体内变x(t )dtt并利用表 9-1 中的数据，求出该微分方程的解： x(t ) = 44.1141t 0.464667 e-0.264028t ，该解为血液中酒精浓度与时间的函数关系。利用上述两种函数关系对题目中提出的所有问题进行解答，结果如下：问题 1：大李碰到的情况是：第一次测量的酒精含量低于 20 毫克

8、/百毫升，第二次测量的酒精含量超过 20 毫克/百毫升。问题 2：3 瓶啤酒在短时间内喝完后，在 0.038 小时至 9.7731 小时内开车违反标准，3 瓶酒在 2小时内喝完，喝完酒后的 14.49 个小时内开车违反标准。.问题 3：血液中的酒精含量何时达到峰值与饮酒方式有关，与饮酒量无关。问题 4：一天喝一次酒，当 0 £ N < 0.55 时，不影响开车；当 0.5

9、5 < N < 8.57 时，一天中的部分时间可以开车；当 N ³ 8.57 时，一天中的各个时刻都不能开车。一天喝两次，当 0 £ N < 0.5003时，一天中的各个时刻都能开车；当 0.5 < N < 3.4 时，一天中的部分时间可以开车；当 N ³ 3.4 时一天中的各个时刻都不能开车。对于

10、一天喝 n 次酒还能否开车的问题我们也进行了讨论。本文对所建模型进行了评价，最后对饮酒驾车者提出了忠告。关键词：饮酒驾车；微分方程模型； mathematica9.1问题的重述9.1.1背景知识据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量

11、大于或等于 20 毫克百毫升，小于 80 毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克百毫升）。9.1.2参考数据人的体液占人的体重的 65%至 70%，其中血液只占体重的 7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精

12、含量（毫克本文获 2004 年全国二等奖。队员：苏警，胡晓娟，高玉娜；指导教师：裴崇峻，吴礼斌。109 / 10百毫升），得到数据如表 9-1。9.1.3具体案例大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考前面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以

13、下问题：9.1.4要解决的具体问题1问题一：对大李碰到的情况做出解释；2问题二：在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：酒是在很短时间内喝的；酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。3问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高；4问题四：根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5问题五：根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。9.2模型的假设1不同年龄段，不同性别，不同种族的人的酒精代谢功能大致相同；2喝的都是同一种酒，酒精含量相同；3血液中的酒精含量与在

14、短时间内喝下的啤酒中的实际酒精含量成正比；4大李的体重大约为 70kg；5假设血液的密度为 1g/ml；6酒精在血液中的含量与在体液中的含量大体相同。9.3符号的说明x  (t )序号1234567891011符号Grm1m2abtnA(n)TM意义饮酒者的体重血液占体重的比例酒精的密度血液的密度血液中酒精含量的变化率与单位时间内的酒精含量的比例系数酒精含量的消失率饮酒后的时间表示在短时间喝下 n 瓶酒后， t 时刻血液中的酒精含量表示积分常数 C 随着饮酒量变化的系数饮酒消耗的时间饮

15、酒的次数12t0血液中酒精含量达到峰值的时刻x  (t, T , k )13n表示在 T 时间内第 k 次喝下酒后到 t 时刻血液中的酒精含量14N饮酒的瓶数9.4问题的分析众所周知，司机酒后驾车的危险性非常大，我国道路交通事故中因饮酒驾车造成的占有相当比例，如何抑制？找出饮酒后酒精在血液中的变化规律至关重要。我们可以根据题目所给的参考数据做出散点图，找出血液中酒精含量与时间的函数关系；我们也可以由相应的医学、化学，以及数学知识，建立微分方程，找出血液中酒精含量与时间的函数关

16、系。由这些函数关系分析解决如何控制饮酒、安全驾车的问题。9.5模型的建立与求解9.5.1模型的建立从某人喝下 2 瓶啤酒后血液中的酒精含量表 9-1 中所给的数据可分析出，并不是喝下 2 瓶啤酒后血液中的酒精含量立即达到 2 瓶啤酒中实际的酒精含量。通过查阅医学资料可知，自饮酒后 2-5分钟酒精开始入血液，随着身体对酒精的吸收，血液中酒精含量逐渐上升，在某一时刻达到了峰值，由于人体内时刻进行着代谢，所以在达到某一峰值之后血液中的酒精含量将会衰减并逐渐趋向于 0。某体重 70kg

17、0;的人喝下 2 瓶啤酒，通过查阅资料知 1 瓶啤酒的酒精含量为 3.5%-4%，容量为 640ml，酒精的密度为 0.8kg/L。在喝下 2 瓶啤酒后血液中的实际酒精含量代入数据得 203 毫克/百毫升，所给数据的酒精含量都小于 203 毫克/百毫升，因此所给数据符合由于体内酒精代谢而导致酒精含量变化的规律，所以给出的血液中的酒精含量的数据可信性较高。1模型一：基于假设 3，体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 1

18、0;瓶啤酒后，隔一定时间血液中的酒精含量如表 9-2。表 9-2某人洒后一定时间间隔内体内血液中的酒精含量变化表时间(小时)酒精含量时间(小时)酒精含量0.25   0.5    0.75    1    1.5    2     2.5    3   3.5 

19、;   415    34    37.5    41   41   38.5    34   34   29   25.56     7      

20、8     9    10    11     12   13   14    1519    17.5    14    12.5   9  

21、60; 7.5     6    5   3.5   3.54.525162520.5基于表 9-2 所给出的数据，运用 Excel 可作出中作出酒精含量散点图，见图 9-1。454035量含精酒中液血30252015饮酒后时间10500.251.252.253.254.255.256.257.258.259.2510.25   11.2512.25

22、0;  13.2514.25   15.25图 9-1酒精含量散点图根据散点图猜测血液中酒精含量 x(t ) 与时间 t 的关系为x(t) = B te-t / 2其中 B 为常数。为了确定模型（9-1）中的常数 B ，对（9-1）式两边取对数，得：111 / 10（9-1）11ln x(t) = ln B +ln t

23、 -t22我们用表 9-2 中的数据通过 mathematica 计算出 B = 71.199 ，这样得到x(t) = 71.199 te-t / 2（9-2）我们分别将不同的时刻带入模型（9-2），可以求得不同时间间隔内血液中的酒精含量，见表9-3。表 9-3血液中的酒精含量变化表时间(小时)酒精含量时间(小时)酒精含量0.2531690.539760.7542841    1.5  

24、   2     2.5    343    41    37    32    279    10    11    12    132  

25、;   2    0.9    0.6   0.43.523140.2419150.24.516160.1513从表 9-3 中看出拟合的数据并不理想，运用此模型也不能够合理解释问题 1，所以此模型不够合理，我们将进一步改进。=    (1 - t) ，而    /2模型二：受模型一的启发，并注意到模型一中的 

26、;x(t ) 满足dx(t)  x(t) dx(t ) x(t )dt    2t           dt    t是表示血液中酒精含量关于时间的弹性，这一弹性并非像模型一给出的   (1 - t) 。事实上，酒精在血液12中含量的变化的规律是这样的：刚开始喝酒的时候

27、时间变化 1%，血液中酒精含量变化的百分数较大，但喝下酒后较长时间的时候血液中酒精含量变化的百分数较小。也就是酒精在人体内变化的弹性系数是线性下降的变化趋势，所以假设x¢(t )x(t )t= a - bt从而可得模型dx(t)x(t)= (a - bt)dtt其中 a,b 为大于 0 的常数。（9-3）是一阶微分方程，其通解为：x(t ) = Ct a e-bt（9-3）（9-4）其中 C

28、60;为积分常数。为了确定（9-4）式中的常数 a,b, C ，对等式两边取对数，得： ln x(t ) = ln C + a ln t - bt利用表 9-2 中数据，用最小二乘法拟合出常数 ln C, a, b ；可决系数 R 2 达到了 0.9789， a, b 两参数的 t 统计量

29、的值分别为：8.5056 和-20.7408，是高度显著的。得：C=44.1141,a=0.464667,b=0.264028代入（9-4）得：x(t ) = 44.1141 t 0.464667 e-0.264028t（9-5）我们将拟合的图形与实际的散点图相比较如图 9-2 所示。3模型三我们认为由模型二确定的常数 a,b 对于饮酒量来说是不变的，为了表示喝 n 瓶酒后血液中酒精变化的规律，我们让模型二中的积分常数 C 随着饮酒量的变化而变化

30、，记为 A(n) ，又假设在短时间内喝下 n 瓶酒，这样得ïìx (t ) = A(n)t 0.464667e-0.264028tí 2îïxn (0.25) = 15n（9-6）（9-6）式是一个方程组，其中 x (0.25) = 15n 表示在喝完 n 瓶酒后 0.25 小时时血液的酒精含量，其中 x (

31、t) 表示在短时间内喝下 n 瓶酒时血液中的酒精含量。nn从而得 A(n) 应满足方程15n = A(n)0.250.464667 e -0.264028´0.25（9-7）403020200150100图 9-2拟合曲线与对应的散点图             图 9-3 在 2 小时内喝完酒后 t 

32、;时刻血液中的酒精含量走势图10502.557.51012.5152.557.51012.5154模型四模型三中没有考虑酒是在一段时间内喝下的，这与实际情况不符，我们在模型三的基础上，建立在0,T时间内连续喝下 n 瓶酒后血液中的酒精变化规律模型，其中假设在0,T时间内分 M 次喝完n 瓶啤酒，每次间隔的时间为 T / M ，每次喝下后进入到血液中的酒精含量为 x(T / M )n / M ，第 k 次喝下酒后血液中

33、的酒精含量满足下列方程：ìx  (t, T , k ) = A(n, T , k )t 0.464667e-0.264028tx  (T / M , T , k ) = x  (2T / M , T , k - 1) + x(T&

34、#160;/ M )ïînï nínnM(k = 1,2,3,L , M )        （9-8）其中 x (t,T , k ) 表示在 T 时间内第 k 次喝下酒后到 t 时刻血液中的酒精含量。n根据题目中的具体情况，假设 T=2 小时，M=8，

35、0;x(T / M ) = 15 ，代入（9-8）得：ìx  (t,2, k ) = A(n,2, k )t 0.464667 e -0.264028tïîn8ï nx (0.25,2, k ) = x (0.5,2, k - 1) +ní 45(k 

36、;= 1,2,3,L , M )                   （9-9）在 2 小时内喝完酒后 t 时刻血液中的酒精含量走势图见图 9-3。9.5.2模型的求解1问题 1 的求解由模型二的解（9-5）式，我们求出喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的拟合值见表 9-4。表 9-4&

37、#160;喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的拟合值时间（小时）0.250.5   0.75    1     1.5     2     2.5     3     3.5酒精含量时间（小时）酒精含量时间（小时）酒精含量21.18  28.01  

38、;31.65  33.87  35.83  35.90  34.89  33.28  31.334     4.5     5     6     7     8     9

39、60;    10    1129.21  27.04  24.88  19.91  17.16  14.02  11.37  9.17   7.3612    13    14    15   &#

40、160;165.88   4.69   3.78   2.95   2.34从表 9-4 中可得出：大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，到下午 6 点时血液中的酒精含量为 19.91毫克/百毫升，血液中的酒精含量小于 20 毫克/百毫升，所以在检查时符合新的驾车标准。当在 6 点钟又喝一瓶啤酒，此时血液里不仅含有第 2 瓶啤酒的酒精，同时第 

41、;1 瓶的酒精仍然存113 / 10含量 x (t) 为： x (t ) = 85.6978e0.066007 -0.264028 t t 0.464667当 x (t ) = 20 ，即 85.6978e0.066007 -0.264028t t 0.464667 = 20 时，解得： t 

42、60;= 0.0387, t  = 9.7731（小时）在，并且同时进行着酒精代谢。这时大李从喝第 2 瓶酒后的 t 时刻，血液中的酒精含量 x (t) 应满足：2ïìx (t ) = At 0.464667e-0.264028tí 2îï x2 (0.25) = x(6.25) + 15其中由（9-5）式算

43、出 x(6.25) = 19.847 ，从而解出常数 A = 66.3625。因此大李从喝第 2 瓶酒后的 t 时刻，血液中的酒精含量x (t ) = 66.3625t 0.464667 e0.066007-0.264028t（9-10）2大李在凌晨 2 点接受检查时，从喝第 2 瓶酒后已经过了 8 小时，将 t=8 带入（9-10）式，得x

44、60;(8) = 22.53712结果表明：此时血液中的酒精含量为 22.5371 毫克/百毫升，超过了 20 毫克/百毫升，所以检查出他是饮酒驾车。2问题 2 的求解当 3 瓶 啤 酒 是 在 较 短 的 时 间 内 喝 下 时 ， 此 时 n=3 ， 代 入 （ 9-7

45、60;） 式 ， 得 ：45 = A(3)0.250.464667 e-0.264028´0.25 。解得 A(3) = 85.6978 ，所以在短时间内喝完 3 瓶酒后血液中的酒精33312结果表明：如果在短时间内喝下 3 瓶啤酒，那么在酒后 0.0387 小时至 9.7731 小时血液中的酒精含量超过了 20%，即在这一段时间内驾车就会违反标准。讨论 3 

46、;瓶啤酒是在较长的时间内喝下的情况：如果在较短的时间内喝下 3 瓶啤酒就不需考虑喝酒的过程中酒精在体内的代谢，但此问题要求在较长的时间内喝下 3 瓶啤酒，所以在喝酒的过程中就需考虑酒精在体内的代谢。解决此问题时。我们将 2 小时以 0.25 小时为单位分成 8 个时间段，假设每次喝酒的量为 3/ 8 瓶，每隔 0.25 小时喝一次，喝 8 次。由（9-9）式求解得：当 k=8 时，即在 2

47、0;小时内喝完酒后 t 时刻血液中的酒精含量为x (t,2,8) = 248.01e0.066007 -0.264028t t 0.4646673计算结果表明：当 t £ 14.4911时血液中的酒精含量超过了 20%，也即说明，在 2 小时内喝完 3瓶酒后在 14.4911 小时内血液中的酒精含量超过了 20%，即在这一段时间内驾车就会违反标准。注：此模型只给出了大概的时间范围，如果给出一个比0.25&#

48、160;更小的单位来划分不同时刻，那么得出的时间范围会更为精确。问题 3 的求解：血液中的酒精含量何时达到峰值与饮酒方式有关，与饮酒量无关，因此不同的饮酒方式使得血液中的酒精含量达到峰值的时间不同。针对本问题我们只考虑喝一次酒后血液中的酒精含量达到峰值的时间。此时，问题可转化为求x(t ) 的最大值，根据模型一， x(t ) 的导数为：  dx(t)x(t)= (a - bt)dtt。= (a - bt)   

49、60;= 0 ，得 x(t ) 的唯一驻点 t  = ，又 x¢¢(t ) = -b  0    < 0 ，所以由求极值的tdt          t         

50、60;                b令0 0dx(t)        x(t) a x(t )0时 x(t ) 达到最大值。因此，在喝酒后血液中的酒精含量达到最大值的时刻为 。理论知，当 t = t =0a ab &

51、#160;                                                 &

52、#160;             b将数据带入 a=0.464667,b=0.264028，求得t = 1.769 （小时）即为血液中酒精含量达到最高的时0刻。计算结果表明：喝完酒后血液中的酒精含量基本上都在 t = 1.769 小时达到峰值，这与文献1中0给出了大多数饮酒者在饮完酒后 30120 分钟血液中的酒精浓度达到峰值结论是相符的。问题 4

53、0;的求解问题 4 要求我们用以上建立的模型论证：天天喝酒，是否还能开车。并未作出具体要求，但此问题的解决需要考虑到一天喝酒的次数和每次饮酒量。对此我们做以下详细分析。首先我们假设一天只喝一次酒并且在短时间内喝完，设喝下的量为 N 瓶。第一种情况：喝完酒后，一天中的每个时刻都能开车。也就是使 Nx(t) 的峰值小于 20。此时根据问题 3 所估算出的 x(t ) 达到峰值时的时刻 t ，将 t = t 代入方程

54、60;Nx(t ) £ 20 中，求得 N 的最大值为000.55 瓶（352 毫升），即当 0 £ N < 0.55 时，一天中的每个时刻都能开车。第二种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都不能开车。即在喝完酒后的 24 个小时内 Nx(t ) ³ 20 ，将 t = 24 代入方程 Nx(t 

55、;) ³ 20 ，求得 N 的最小值 8.57 瓶（5484.8 毫升）。即当 N ³ 8.57（5484.8 毫升）时，一天中的每个时刻都不能开车。第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车。此时 0.55 < N < 8.57 ，这时随着 N 的增加，可以开车的时间逐渐减少。其次假设一天喝二次酒，每次的量相同为 N ，且每次间隔时间也相同，为&

56、#160;24 / 2 = 12 小时。此时也可分为三种情况。第一种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都能开车。由假设可看出，每天血液中的酒精含量的峰值一定出现在第二次饮酒后，其时刻仍为上述的 t，此时将 t = t 代入方程00Nx(t + 12) + Nx(t ) = 20 ，求出 N = 0.5003 瓶（320.192 毫升）。即一天饮两次，且每次的量 

57、;0 £ N < 0.5003时，一天之内，各个时刻都能开车。第二种情况：喝完酒后，一天中的各个时刻都不能开车。根据假设，可以看出每天血液中的酒精含量最低值应在第 12 个小时。即第二次喝酒之前。些时将 t = 12 代入方程 Nx(t ) = 20 ，求出 N = 3.4（2176 毫升）。即当 N ³ 3.4 （2176 毫升）

58、时，一天之内每时刻都不能开车。第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车，此时 0.5 < N < 3.4 ，即随着 N 的增加，可以开车的时间逐渐减少。我们再讨论一天之内喝 n 次酒、每次饮酒量相同为 N 的情况，且每次饮酒间隔时间相同为 24 / n ，此时也可分为三种情况。第一种情况：喝完酒后，一天中的每个时刻都能开车。此时将上述的 t 代入方程：0Nx(t +  24(

59、n -1) + Nx(t +       ) + L + Nx(t) = 20 (其中24(n - 2)24(n -1)nnn为最后一次饮酒时刻)。于是可从方程中解中 N = N 。即当 0 £ N < N 时，一天之内，每时刻都能开车。11第二种情况：喝完酒后，一天中的各

60、个时刻都不能开车。可以看出每天酒精在血液中含量的最低值应在第二次饮酒之前的瞬时时刻，即 24/ n ，此时将 t = 24 / n 代入方程 Nx(t ) = 20 可求出 N = N 。2即当 N ³ N 时，一天之内，每一时刻都不能开车。2第三种情况：一天之内，有一段时间可以开车。此时 N £ N £ N 。当 N 增加时，可以开车的12时间逐渐减少。但此问题中的第三种情况并未考虑天与天之间酒精残留量的积累。若考虑，则随着115 / 10残留量的积累，终有一天各个时刻都将不能开车。9.6模型的评价1采用散点图方法拟合的模型一，简单、直观，易于接受和掌握；2根据酒精在人体内变化的弹性系数成线性下降的趋势建立的微分方程模型二，有较充分