控制系统的频域分析

1、 第五章 控制系统的频域分析§5-1 频率特性一、频率特性的定义：在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般用G(jw)表示。二、频率特性的性质1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法直接观察到这种稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出量与输入量具有相

2、同的频率当输入量频率w改变，则输出、输入量的幅值之比A（w）和它们的相位移j（w）也随之改变。所以 A（w）和j（w）都是w的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。三、频率特性的求取：1、根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。2、根据传递函数求取。即用s=jw代入系统的传递函数，即可得到。3、通过实验的方法直接测得。根据传递函数求取频率特性传递函数:频率特性A（w） 幅频特性；G（jw）的模，它等于稳态的输出分量与输入分量幅值之比. j（w） 相频特性；G（jw）的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。U（w）

3、 实频特性；G（jw）的实部。V（w） 虚频特性； G（jw）的虚部。它们都是w的函数，它们之间的关系用矢量图来表示例采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为频率特性。频率特性用于系统的分析与设计，根据： 一般周期性的输入信号可以分解为付立叶（富里哀）级数，它由一些不同频率、幅值的正弦分量组成，知道了各正弦分量的响应便知道全部的响应（迭加）数学基础：付立叶（富里哀）级数、复变函数、保角变换等频率响应法特点：是一种图解分析法，可以根据开环的频率特性去判断闭环性能；还可以指出改善性能的途径，并对系统进行校正；系统的频率特性很容易通过实验获得，用

4、S代替jw就成了传递函数，频率特性是一种广泛使用的工程方法。在控制理论中占有很重要的地位。幅相频率特性图 Nyquist图 极坐标图在极坐标复平面上画出w值由零变化到无穷大时的G(j w)矢量，把矢端边成曲线。实虚频图不同频率w时和实频特性和虚频特性。对数频率特性图 Bode图幅值相乘变为相加，简化作图， 对数幅频+对数相频拓宽图形所能表示的频率范围About Bode图Ø =0不可能在横坐标上表示出来；Ø 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；Ø 只标注的自然对数值。通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益用j()简记对数相频特性。§5

5、-2 典型环节的频率特性一、频率特性的几种表示方法例：极坐标表示方法直角坐标表示方法半对数坐标表示方法（Bode图）：两张图，对数幅频特性、相频特性二、典型环节的极坐标图 1.比例环节 G(j)=K=U+jV = 比例环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。伯德图（二） 积分环节 积分环节幅相频率特性（三） 惯性环节 对数幅频特性曲线通常用折线近似折线近似方法:绘制惯性环节的Bode图方法：对数幅频特性：找出 、的部分画0dB/dec线，延长至处斜率转折为-20dB/dec线，称为转折频率相频特性：在处为-45度、在2、5、10倍频处的幅角，如上表，连接画光滑曲线渐近线误差转角频率处：

6、低于渐近线3dB，低于或高于转角频率一倍频程处：低于渐近线1dB惯性环节极坐标图（四） 微分环节传递函数与积分环节互为倒数，它们的Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性环节对称。纯微分环节幅相频率特性（五） 振荡环节绘制半对数频率特性坐标图：由对数幅频特性：当 低频段0dB/dec线，过转折频率w1=1/t 后，斜率变为-40dB/dec直线振荡环节Bode 图：幅频特性精确曲线与z大小有关；相频特性曲线也与z大小有关；在w=1/t处幅频特性精确曲线和近似曲线误差最大：L(w)| w=1/t = - 20lg(2 z)因此，近似曲线应根据z值确定修正： z小渐近线误差振荡环节G(j)

7、（六）、一阶微分环节幅相频率特性一阶微分环节对数频率特性惯性环节一阶微分频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。（七）、二阶微分环节幅相频率特性二阶微分环节对数频率特性二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称（八）、延滞环节幅相频率特性、延滞环节对数频率特性§5-3 系统开环频率特性的绘制一 系统开环对数频率特性的绘制系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的前式两边取对数再乘20，得这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是典型 环节的对数幅频特性、相频特性相加

8、系统分为三个环节：一个比例环节、两个惯性环节低频为 0dB/dec直线，在w=1/T1处转折为 - 20dB/dec的直线低频为 0dB/dec直线，在w=1/T2处转折为 - 20dB/dec的直线分析：系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频 特性的近似特性由三段组成；转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（w=1/T）；经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频 特性的近似特性的斜率增加 -20dB/dec;三条相加如图中红的折线所示根据上述分析，绘制系统开环对数幅频特性的近似特性步骤如下：画高度为20lgK的直线，从0w®1（最小的转折频率）作为系统对数幅频 特性近似特性的低频段

9、在w>w1后，斜率变为-20dB/dec,因为该转折处频率是惯性环节的转折频率（振荡环节则-40dB/dec) ，随w的增加，每经过一个转折频率，幅频特性的斜率改变一次绘制系统相频特性曲线方法：根据系统相频特性表达式计算描点；计算特征点（0、转折频率）的值，需要的点再计算求值，再用光滑曲线连接。解：该系统由5个典型环节组成1、比例环节K=4，20lgK=12dB2、积分环节，幅频特性-20lgw 是一条过w=1，斜率-20dB/dec的直线，相频特性 -90°3、惯性环节 转折频率 w1=1/2=0.5(1/sec)幅频特性经过w1斜率增加-20dB/dec；相频特性 w：0&

10、#174; w1 ® ¥分别为0°, -45°,-90°4、一阶微分环节 转折频率 w2=1/0.5=2（1/sec），幅频特性经过w2斜率增加 +20dB/dec ；相频特性 w：0® w2 ® ¥分别为0°, +45°,+90°频率范围：最小 w1=0.5，最大 w3=8； 横坐标 w范围大约从0.05 到 80按w1 、w2 、w3 分w轴成三段过L(1)=12dB处画-20dB/dec斜率的直线作为低频段，直线经过w1 斜率增加-20dB/dec（= -40dB/dec）直线经

11、过w2 斜率增加 +20dB/dec（= -20dB/dec）直线经过w3 斜率增加 -40dB/dec（= -60dB/dec）相频特性如图5、振荡环节 转折频率 w3=1/0.125=8（1/sec） 幅频特性经过w3斜率增加 -40dB/dec相频特性 w：0® w2 ® ¥分别为0°, -90°, -180° 2zT=0.05® z =0.2幅频特性应修正 20lg2 z =8dBBode定理一 线性最小相位系统，L(w)与f(w)关系唯一Bode定理二 线性最小相位系统，L(w)的斜率与f(w)有对应关系：斜率为N

12、*(±20dB/dec)对应相角N*(±90°)；系统的相角当然由整个频率范围内的各斜率决定，但某频率下的相角主要由该频率下的斜率决定，其余斜率的影响越远越小。三 系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）的绘制典型环节频率特性极坐标图的大致走向系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制方法：按照各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。它是一条大致的曲线，需要准确的地方，如：和负实轴相交的地方， 才需要准确计算0型系统（v = 0）只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 I型系统（v = 1）只包含惯性环节的I型系统Nyquist图II型系统（v = 2）

13、只包含惯性环节的II型系统Nyquist图 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90°的无穷远处。系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：奈氏曲线在 w=0 到 0+ 的变化随系统的不同而差别很大：“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始1”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=处）开始， w=0+ 就转过-90°到负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限，“2”型系统：奈氏曲线也是从实轴（幅值=处）开始， w=0+ 就转过-180°到负实轴；是在第二或

14、第三象限，也是比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和，前者大则第三象限，否则第二象限奈氏曲线w =处是原点，切入方向根据零、极点确定,即：N(-90°) +M(90°)，求奈氏曲线与实轴的交点：令虚部为零，得到w代入实部而得系统开环频率特性的绘制小结：绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线） ：抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得绘制系统频率幅相图（尼柯尔斯图线） ：先画Bode图，再对应

15、描点绘制例题6：绘制的幅相曲线。例7：含迟后环节的极坐标图解： G(j)可写为： 其幅值与相角分别为：由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线 曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制§5-4 乃奎斯特稳定性判据和系统的相对稳定性一、幅角原理S1代入F(S) 得F(S1)， S2代入F(S)得F(S2)； S沿s连续变化一周（不穿过F(S) 的极点）， 则F(S)沿 封闭曲线F连续变化一周 s包围一个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角积 累 -2,或者说， F顺时针绕F平面零点一周s不包围F(s)的零点，当S1沿s顺时针

16、连续变化一周，(S-Zi)不积累角度s包围 Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相角积 累Z * (-2) ，或者说， F顺时针绕F平面零点Z圈如果：s包围一个F(s)的极点，当S1沿s顺时针连续变化一周，因为Pi 映射到F(s)上是在无穷远，因此，F逆时针绕F平面零点一周；( S-Pi )的相角积累是2角度s包围P个F(s)的极点，当S1沿s顺时针连续变化一周，S-Pi 积累的相角为2*P，或者说， F逆时针绕F平面零点P周s包围P个F(s)的极点，又包围Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周后， F顺时针绕F平面零点（Z-P）周，或：F逆时针绕F平面

17、零点（P- Z ）=N周幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若在S平面上任选一条封闭曲线s ，并使它不通过F(s)的奇点，则 s 映射到F(s) 平面上仍为一条封闭曲线F ；当解析点S1沿s顺时针连续变化一周时，则从F平面原点指向F 上对应点的向量F(s1)按逆时针方向旋转周数N等于S包含F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即N=P-Z当P>Z则N>0， F逆时针包围零点N圈当P<Z则N<0 ，F顺时针包围零点N圈当P=Z则N=0 ，F不包围零点二、乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据思路根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性：如果根平面

18、的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定；在根平面上作一条闭合曲线包围整个右半面，根据幅角原理，在F(s)平面 上含有右半面零、极点个数的信息，利用乃氏曲线和开、闭环零、极点的关系就可以判定系统的稳定性这里要解决两个问题：1、包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？2、幅角原理只能判别 (P-Z) ,如何求出P?1、顺时针包围整个右半面曲线，S从0®jw ®j（正虚轴），然后，顺时针绕过p到 -j（负虚轴） ® -jw ® 0 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“ 包围 G(jw)平面的（-1，j0）点”例：画出乃氏曲线如图，负频特性以实轴对

19、称由于F(s)=1+G(s),所以，映射在F(s)平面上的曲线只要将纵坐标左移一个单位，如图所以，该封闭曲线就是包围S平面右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“ 包围 G(jw)平面的（-1，j0）点”在S从0®jw ®j变化时，F(s)|s=jw=F(jw)=1+G(jw)在S从0®jw ®j变化时，F(s)|s=jw=F(jw)=1+G(jw)将乃氏曲线偏移一个单位就成在S从-j ®-jw ® 0变化时，F(s)|s=-jw=F(jw)=1+G(-jw)，它与F(jw)共轭在S从j &#

20、174;-j 变化时， G(-jw)= G(jw)=0， 在F(jw)=1点上也就是幅角原理修改为：乃氏曲线当w 从- ® 0® 变化，按逆时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的极点数目P与零点数目Z之差，即N=P-Z在G(jw)图中，曲线没有包围（-1，j0）点， N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数相等。可见，F(s)的零点就是闭环极点，而F(s)的极点就是开环极点。所以，公式 N=P-Z 应用如下：1、根据系统开环传函，可知 P 值（在右半平面的开环极点个数）2、绘制乃氏曲线，w从-到+，判别逆时针包围（-1，j0）点的次数N也就知道包围零、极点个

21、数和(P-Z)3、公式 N=P-Z 求出Z，Z=0则系统稳定，否则不稳定上述结论无法判断系统的稳定情况。由闭环特征方程乃奎斯特稳定性判据闭环系统稳定的充要条件是：当w从- 到+变化时，系统的开环频率特性G(j w)H(j w)按逆时针方向包围（-1，j0）点P圈。若P=0（即，系统开环稳定）时，上述条件简化为 当w从-到+变化时，系统的开环频率特性G(j w)H(j w)不包围（-1，j0）点。比如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0）而频率特性不包围（-1,j0）点（N=0），N=P-Z得Z=0，所以该系统闭环稳定，如果：提高系统增益，曲线就可能包围(-1, j0)点(N0)， N=P-Z得

22、Z 0，所以该系统闭环变成不稳定三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定性判据虚轴上有开环极点时，S平面上做封闭曲线时通过了极点，映射到F(s)平面后曲线不会封闭，因此，应作修正：虚轴上有开环极点时，S平面上做一个小半圆绕过原点Ø Nyquist稳定判据穿越法穿越：指开环Nyquist曲线穿过 (-1, j0 ) 点左边实轴时的情况。正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1 -段实轴。正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围(-1, j0 )点一圈。负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1 -段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1, j0 )点一圈。半次

23、穿越：G(j)H (j) 轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴。四、乃氏曲线和Bode图的对应关系五、相对稳定性和稳定裕度例如：某最小相位系统的乃氏图如右：由图可知：1、 若P=0，则该系统是稳定的(N=0)1)在w=wc处，|G(jw)|=1,若系统稳定 q=180+f(jw)应>03、增加K值时，曲线往左扩张，K>Kf时包围（-1, j0）点，使系统不稳定4、在K=Kf时，曲线通过（-1, j0）点，这时系统处于临界稳定可见：曲线在（-1,j0）点右侧穿越负实轴，系统稳定，离该点越远，相对越稳定，相对稳定性问题相对稳定性用两个参数来衡量2)在w=wg处， f(jw) =

24、 -180,若系统稳定 Kg=1/A(w)应>1q称为相角稳定裕度（q越大相对稳定性越好），Kg称为幅值稳定裕度（ Kg越大相对稳定性越好）2、该系统最简的传函是：稳定系统正增益裕量正相位裕量正相位裕量正增益裕量不稳定系统负相位裕量负增益裕量负增益裕量负相位裕量由上述，相对稳定性是用两个参数来衡量的，也就是说，稳定性度大，必须两个参数都要大在Bode图中，稳定裕度描述如图：系统 g>0, GM>0,闭环是稳定的系统闭环不稳定：g<0, GM<0(A(w)>1 ，GM=20lgKg= -20lgA(w)<0)角裕度q用g表示。因为，在对数幅频特性图中，纵坐标是用增益刻度，所以，幅值稳定裕度Kg用GM= 20lg(1/A(w)来表示,因此，GM越大，则相对稳定裕度就越大例9：系统开环传递函数稳定性裕量Nyquist图与Bode图的对应关系原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()>0的部分；单位圆内部-L()<0的部分。Nyquist曲线的辅助线相连j(0+) +v 90°线，起始点j (0+) ，