导体棒在磁场中运动问题

1、间的摩擦。若用恒力 F 水平向右拉棒运动                               a    B导体棒在磁场中运动问题【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。往往一道试题包含多个知识点的综合

2、应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。1通电导体棒在磁场中运动：通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式 F =BILsin 来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和。由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡。【基本模型】说明基

3、本图v  t能量导体棒以初速度 v0 向右开始运动，定值电阻为动能  焦耳热R，其它电阻不计。导体棒受向右的恒力 Fv1.0 可编辑可修改别为 m1 和 m2，其它电阻不计。导体棒 1 受恒力 F 从静止开始向右运动，两棒                   

4、                  外力机械能 动能电阻分别为 R1 和 R2，质                         

5、;1 + 动能 2 + 焦耳量分别为 m1 和 m2，其它                         热电阻不计。如图 1 所示，在竖直向下磁感强度为 B 的匀强磁场中，有两根水平放置相距为 L 且足够长

6、Cb的平行金属导轨 AB、CD，导轨 AC 端连接一阻值为 R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属 DR棒 ab，质量为 m，不计导轨和金属棒的电阻及它们                            FA图1电路特点：金属棒

7、0;ab 切割磁感线，产生感应电动势相当于电源，b 为电源正极。当 ab 棒速度为 v 时，其产生感应电动势 EBLv。ab 棒的受力及运动情况：棒 ab 在恒力 F 作用下向从静止开始向右运动，外力机械能 动能右加速运动，切割磁感线，产生感应电动势，并形成感应电N定值电阻为 R，其它电+ 焦耳热阻不计。流，电流方向由 ab，从而使 ab 棒受到向左的安培力 F 安，对 ab 

8、棒进行受力分析如图 2 所示：                          F 安         FR  为运动的阻力导体棒 1 以初速度 v0 向右开

9、始运动，两棒电阻分别为 R1 和 R2，质量分动能 1 变化 动能2 变化 + 焦耳热竖直方向：重力 G 和支持力 N 平衡。GB2 L2v                          图2水平

10、方向：向左的安培力 F 安随 v 的增大而增大。1ab 棒受到的合外力 F  合F  B2 L2vab 棒受到的合外力 F  合F  B2 L2vR随速度 v 的增大而减小。ab 棒运动过程动态分析如下：随 ab 棒速度 v 感应电动势 E 感应电流 I ER安培力 F 安BIL 

11、;F 合( FF 安)ab 棒运动的加速度 a,当合外力 F 合减小到零时，加速度 a 减小到零，速度 v 达到最大 vmax，最后以 vmax 匀速运动。ab 棒的加速度、速度，R 上的电功率何时最大Rv1.0 可编辑可修改体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I，以水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在 xoy 平面

12、内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度 B。 若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。 若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度 B 的最小值。               y 试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。F  B2 L2v max刚开始运动时，ab 棒初速度 v0

13、，由知：此时合外力最大，加速度最大，a运动过程中，ab 棒先做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，即：FRR0 时，速度达到最大，最大速度 v max B 2 L2maxFm 。ab 棒的速度最大时，产生的感应电动势最大，电路中感应电流最大，R 上消耗的电功拓展 1物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。如图所示的就是著名的率最大，PmaxF 2 RB 2 L2 。电磁旋转实验。它的现象是：如果载流导线附近只有磁铁的一个极，

14、磁铁就会围绕导线旋转；反之，载流导线也会围绕单独b         cab 棒运动过程中，能量转化情况：稳定前，棒 ab 做加速度减小的加速运动，恒力 F 做的功一部分用于克服安培力做功转化成电能，这部分电能在电流通过电阻 R 时以焦耳热的形式放出，另一部分用来增加棒ab的动能。稳定后，ab 棒匀速运动，恒力 F 做的功全部转化为电路的电能，最后通过电阻 R 以焦耳热的形式放出。例

15、60;1如图所示在倾角为 300 的光滑斜面上垂直放置一根长为 L，质量为 m，的通电直导2的某一磁极旋转，这一装置实际上就是最早的电动机。图中的  a           da 是可动磁铁（上端为 N 极），b 是固定导线，c 是可动导线，d 是固定磁铁（上端为 N 极），图中黑色部分表示汞，下部接在电源上，则从上向下俯视时 a、c&#

16、160;的旋转情况是                （       ）Aa 顺时针，c 顺时针       Ba 逆时针，c 逆时针Ca 逆时针，c 顺时针       

17、Da 顺时针，c 逆时针例 2电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如右图所示，利用这种装置可以把质量I    F         BI  E为的弹体（包括金属杆 EF 的质量）加速到 6km/s，若这种装置的轨道宽为 2m，长为 100m，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少拓展 2质量为 m，长为 

18、;L 的金属棒 MN，通过柔软金属丝挂于 a、b 两点，ab 点间电压为U，电容为 C 的电容器与 a、b 相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场 B 中，接通 S，电容器瞬间放电后又断开 S，试求 MN 能摆起的最大高度是多少2导体棒在磁场中运动产生感应电动势：导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第

19、电磁感应定律 E = Blvsin，方向满足右手定则。由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况。【平动切割】处在磁场中的导体棒由于受到外力的作用而沿某一方向运动，外力必然要克服安培力做功，将其它形式的能转化成电能。例 3如图所示两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为 l = ，在导轨的一端接有阻值为 R =  的电阻，在 x  0 处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感应强3

20、v1.0 可编辑可修改度为 B = 。一质量为 m = 的金属直杆垂直放在导轨上，并以 v0 = 2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一个垂直于杆的水平外力 F 的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为 a = 2m/s2，方向与初速度方向相反。设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求： 电流为零时金属棒所处的位置 电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力 F 的大小和方向 保持其

21、它条件不变，而初速 v0 取不同的值，求开始时 F 的方向与初速 v0 取值的关系拓展3近期科学中文版的文章介绍了一种新技术航天飞缆，航天飞缆是用柔性缆索将两个物体连接起来在太空飞行的系统。飞缆系统在太空飞行中能为自身提供电能和拖曳力，它还能清理“太空垃圾”等。从1967年至1999年的17次试验中，飞缆系统试验已获得部分成功。该系统的工作原理可用物理学的基本定律来解释。图为飞缆系统的简化模型示意图，图中两个物体 P、Q的质量分别为 mp、mQ，柔性金属缆索长为 l，外有绝缘层，系统在近地轨道作圆周运动，

22、运动过程中 Q 距地面高为 h。设缆索总保持指向地心， P 的速度为 vp。已知地球半径为 R，地面的重力加速度为 g。 飞缆系统在地磁场中运动，地磁场在缆索所在处的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。设缆索中无电流，问缆索  P、Q 哪端电势高此问中可认为缆索各处的速度均近似等于 vp，求 P、Q 两端的电势差 设缆索的电阻为  R1，如果缆索两端物体 P、 Q通过周围的电离层放

23、电形成电流，相应的电阻为R2，求缆索所受的安培力多大 求缆索对 Q 的拉力 FQv1.0 可编辑可修改【导体棒的渐变运动】导体棒在切割磁感线运动时，由于有能量的转化，其运动速度可能会发生相应的变化，致使其切割时产生的感应电动势也随之而变，此时由于安培力发生变化使物体处于一种渐变运动状态。例 4如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为 l，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为 m 阻值为 r 的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接

24、一个定值电阻 R，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况拓展 4如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为 l，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平面垂直，一质量为 m 的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个电容为 C 的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为 h 处无初速释放，求棒落地的时间 t 是多少【双导体棒的切割运动】对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中的一棒在外力作用下获得一定速度时必然在

25、磁场中切割磁感线在该闭合电路中形成一定的感应电流，另一根导体棒在磁场中通电时就在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。例 5两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒 cd 静止，棒ab&

26、#160;有指向棒 cd 的初速度 v0，若两导体棒在运动中始终不接触，求： 在运动中产生的焦耳热量是多少。 当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时，cd 棒的加速度是多少拓展 5图中 a1b1c1d1 和 a2b2c2d2 为在同一竖直面内的金属导轨，处4在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的a1b1 段与 a2b2 段是竖直的，距离为 l

27、1；c1d1 段与 c2d2 段也是竖直的，距离为 l2。x1y1 与x2y2 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m1 和 m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为 R。F 为作用于金属杆 x1y1 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。v1.0 可编辑可修改拓展 2金属导轨 MN 和 

28、;PQ 平行，间距为 l，导轨左端接有一定值电阻 R，整个装置处在方向垂直于纸面向上的匀强磁场 B 中，另有一长为 2l 的金属 AC 垂直于导轨，A 端始终与 PQ 导轨接触，棒以 A 为轴紧靠着 MN 导轨沿顺时针方向转动 900，若除 R 以外的其余电阻均不计，试求此过程中通过电阻 R 的电量是多少【导体棒转动切割】导体棒在磁场中转动切割磁感线时，由于各点切割的线速度不同，不能直接

29、用 E = Blvsin 来计算，然导体棒绕定轴转动时依 v = r 可知各点的线速度随半径按线性规律变化，因此通常用中点的线速度来替代，即v = l/2，则 E =_。例 6如图所示，半径为 l 粗细均匀的金属圆环，其阻值为 R 处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，另有一长度为 l，电阻为 R/4 的金属棒 OA 可绕 O 轴在磁场中以

30、角速度 逆时针匀速转动，转动过程中金属棒的 A 端与金属圆环接触良好，一阻值为 R/2 的定值电阻分别与杆的 O 端和金属圆环边缘 C 连接，求电路中总电流的变化范围3练习与训练1两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，5磁感应强度为 B。设两导体

31、棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求： 在运动中产生的焦耳热最多是多少 当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时，cd 棒的加速度是多少v1.0 可编辑可修改3两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度 B = 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 l = m，两根质量均

32、为 m = kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为 R = 。在 t = 0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为的恒力 F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过 t = s，金属杆甲的加速度为 a = m/s2，求此时两金属杆的速度各为多少2如图所示，光滑导轨 EF、GH 等高平行放置，EG 间宽度为 

33、FH 间宽度的 3 倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd 是质量均为 m 的金属棒，现让 ab 从离水平轨道 h 高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： ab、cd 棒的最终速度； 全过程中感应电流产生的焦耳热。4如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒 a 和 b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放 b，当 b 

34、;的速度达到 10m/s 时，再释放 a，经过 1s 后，a 的速度达到 12m/s。求： 此时 b 的速度大小是多少 若导轨很长，a、b 棒最后的运动状态。6参考答案：例 1欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用v1.0 可编辑可修改mgsin300=B1IL，故磁场方向垂直斜面向上，大小为 B1 = mg/(2IL) 棒在重力、安培力和支持力作用下平衡，而重力 G 

35、;和弹力 N 的方向如图所示，欲使导体棒在斜面上保持静止，所施磁场力的方向应在图中两虚线所夹区域才能使其所受合外力为零，即 B 与 x 轴正方间的夹角为 00   <1500。拓展 1由电源的正负极可知对 b 而言电流竖直向上，对 c 是向下的，于是 a 在 b 的磁场中受安培力作用逆时针转，c 在 d 的磁场中受安培力的作用而顺时针转，故应选C 答案。例

36、60;2通电导体棒在磁场中受安培力的作用而对弹体加速，依功能关系原理可得 BILS =mv2/2，又功率满足 P=FV，当速度最大时其功率也最大，即 Pm=BILVm，代入数值可得 B=18T和 Pm=×106W。拓展 2电容器 C 对导体棒 MN 放电，由于 MN 处在磁场中必然在安培力的作用下开始摆动。设放电时间为 t，导体棒能摆起的最大高度为 h，则有：BILt = mv 和 mv2/2&#

37、160;= mgh，又电容器所容纳的电荷量为 Q = CU = It，联立解得 h = B2C2U2L2/(2m2g)。例 3导体棒在外力作用下切割磁感应线，产生电动势 E =Blv，由闭合电路欧姆定律得 I = E/R，故当 I = 0 时 v = 0，又棒做匀变速直线运动因此满足 x = v02/2a，于是可解得 x =&#

38、160;1m。 因棒匀减速运动，故初速最大，此时电流在最大 Im = Blvm/R，因此安培力为 F 安=BIml/2，代入数据得 F 安 = 。又根据运动的对称性可知，电流为最大值的一半时棒可能向左运动，也有可能向右运动。当棒向右运动时 F + F 安 = ma，得 F = ，方向与 x 轴相反；当棒向左运动时 F  F 安 =

39、0;ma，得 F = ，方向与 x 轴相反。下平衡。即：tan300 = BIL/mg，故磁场方向竖直向上，大小为 B 磁感应强度 B 最小时，安培力和重力的一个分力相平衡，满足3mg3ILy    N 开始时 F 安 = BIml = B2l2v0/R，且 F+ F 安=ma，故 F = ma  

40、B2l2v0/R，因此当 v0 < maR/B2l2= 10m/s 时，F > 0 方向与 x 轴相反；当 v0 > 10m/s 时，F < 0 方向与 x 轴相同；当7G   v0 = 10m/s 时，F = 0。拓展 3飞缆系统在地磁场中运动切割磁感应线时产生的电动势 E 

41、;= Blv0，由右手定则可知 P 点电势高，于是 P、Q 两点电势差为 UPQ = BlvP。 又缆索通过周围的电离层放电形成电流，依闭合电路欧姆定律得 I = E/(R1 + R2)v1.0 可编辑可修改Q=CE，依电流强度的定义可得 i =Q/t = CBlv/t = CBla，于是导体棒所受的安培力为 F = Bil = B2l2

42、Ca，由牛顿第二定律可得 mg  F = ma，整理上述各式得 a = mg/(m + B2l2C)，由 a 的表达式不难发现棒的下落过程是一种匀加速直线运动，=  BlvP/(R1  +  R2)；安培力大小为  FA  =  BIl =  B l vp/  (R1  

43、;+  R2)，且它所受安培力的a    =22于是 t =2h2h(m+ B2L2C )mg=  mQvQ2/  (R+h)，联立黄金代换式 g = G   M 解得  F   = m  Q( R +h)2  -R2( R+ h+l )2

44、方向与缆索垂直与其速度方向相反。 设 Q 的速度设为 vQ，由 P、Q 绕地做圆周运动角速度相同得 vp/vQ = (R+h+l)/(R+h)，又 Q 受地球引力和缆索拉力 FQ 作用提供其圆周运动的向心力，故满足 GMmQ/(R+h)2  FQpgR 2( R +h)v2 Q例 4松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动，而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在

45、60;U 型框架中将形成逆时针方向的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用，因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直面内做变加速运动。设经 t 时间导体棒达到速度 v，此时导体棒的加速度为 a，则由法拉第电磁感应定律得E=Blv，依闭合电路欧姆定律得 I = E/(R+r)，于是导体棒所受的安培力为 F=BIl，依例 5（1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒 mv02 mv，而且系统损失的

46、动能全部用于生热，依能的转化和守恒律得该过程中产生的总热量 q = mv02/2  (2mv2)/2，即 Q = mv02/4。（2）设 ab 速度 3v0/4 时，cd 棒的速度为 v，则由动量守恒可知 m v0 = m(v0/4)m v，此时回路中的感应电动势为 E = Bl(3v0/4 - v )，感应电流为 I =

47、60;E/2R，此时 cd棒所受的安培力 F = BIl 于是 cd 棒的加速度为 a = F/m 联立可得 a = B2l2v0/4mR。拓展 5设杆向上运动的速度为 v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小为      E =B(l2l1)v，回路中的电流 I = 

48、;E/R 且电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆 x1y1 的安培力为 F1 = Bl1I 方向向上，作用于杆 x2y2 的安培力 F1 = Bl2I方向向下。当杆匀速运动时由牛顿第二定律得 F  m1g  m2g + F1  F2 = 0，解得B(l2 -l1 )  和 V =-l1

49、60; )2牛顿第二定律可得 mg  BIl = ma 联立诸式可得 a = g  B2l2v/m。观察 a 随 v 变化I = F -(m1 +m2 ) gF -(m1 +m2 ) gB2 (l2R ，于是重力的功率的大小为 P = (m + m )gv，电

50、阻1 2B2 (l2 -l1 )2   1B(l2 -l1 )的关系式不难发现：导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速度为 0 时，棒的加速度达最大值 g，当棒的加速度为 0 时，棒有最大速度 vm = mg/B2l2，整个运动过程中导体棒的 v  t 曲线如图所示。拓展 4棒在磁场中下落时，必然要切割磁感应线产生一定的感应电动势，又由于电容上的热功率为 Q=

51、I2R。联立解得 P = F -(m1 +m2 ) g (m + m ) gR 和 Q =  F -(m1+m2 ) g 2 R 。2例 6导体棒 OA 在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势 E = Bl(l/2)通过金属圆环对外电阻供电，且电流在外电路中顺时针循环。当棒转到 C 

52、点时，金属圆环被短路，外电阻最小 Rmin = R/2，此时加路中的电流最大；当棒转到 CO 的线长线上时，金器可以容纳电荷，因此在回路中就要形成一个充电电流，使棒受到一个竖直向上的安培力的作用。设在时间 t 内，棒的速度增加了 v，棒的平均加速度为 a，则 E=Blv，属圆环被一分为二，外电阻最大 Rmax = 3R/4，此时外电路中的电流M  C     D NB8R3R 

53、    。最小，依全电路欧姆定律可得电路中总电流的变化范围是 BL2w £ I £2R2BL2wv1.0 可编辑可修改（1）ab 自由下滑，机械能守恒：mgh = mv2/2  由于 ab、cd 串联在同一电路中，拓展 6导体棒在磁场中绕点 A 沿顺时针方向转动 900 的过程中，其有效切割长度 l 在不断的变化，将产生一个变化的电流对电阻

54、0;R 供电。由法拉第电磁感应定律得电动势为任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 lab = 3lcd，故磁场力为：Fab = 3Fcd 在磁场力作用下，ab、cd 各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当 Eab = Ecd 时，R  。当导线转到图中的 D 点时将使电路断开，虽切割E=BlV，在闭路形成的电流为 I =磁感应线但不对 R 供电。E电路中感应电流为零（I= 0），

55、安培力为零，ab、cd 运动趋于稳定，此时有：Blabvab =Blcdvcd 所以 vab = vcd/3   ab、cd 受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理设棒由 AC 转到 AB 所用的时间为 t 通过 R 的电量为 Q ，则有一般关系式 Q =代入解得 Q = Df =3BL2R2R【练习与训练】BlVRt = Df ，R得：Fabt = mv - mvab  Fcdt = mvcd   联立以上各式解得：，（2）根据系统的总能量守恒可得：1ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产