33Cauchy积分公式

1、3.3 Cauchy积分公式积分公式3.3.1.Cauchy积分公式积分公式3.3.2.解析函数的无穷可微性解析函数的无穷可微性3.3.3Cauchy积分公式的应用积分公式的应用定理3.11 设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在 =D+C上连续,则有：).()(21)(Dzdzfizfc这就是柯西积分公式.(3.15)D3.3.1 Cauchy积分公式积分公式Dz3.3.2解析函数的无穷可微性解析函数的无穷可微性定理定理3.13 设区域设区域D的边界是围线的边界是围线(或复围线或复围线)C,f(z)在在D内解析内解析,在在 =D+C上连续上连续,则函数则函数f(z)在区域

2、在区域D内存在各阶导数内存在各阶导数,并且有并且有), 2 , 1)()()(2!)(1)(nDzdzfinzfcnnD定理3.14 设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区D内解析.证 设z0为D内任一点,将定理3.13应用于以z0为心的充分小的圆内(只要这个必圆全含于D内),即知f(z)它在此圆内有个阶导数.特别来说,f(z)在点z0有各阶导数.由于z0的任意性,所以f(z)在D内有各阶导数. 这样,由函数在D内解析(注意:仅只假设其导数在D内存在!),就推出了其各阶导数在D内存在且连 续:而数学分析中区间上的解析函数,在此区间上不一定有二阶导数,更谈不上有

3、高阶导数了. 借助解析函数的无穷可微性,我们现在来判断函数f(z)在区域D内解析的一个充分条件-定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理:定理定理3.15 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内内解析的充要条件是解析的充要条件是 (1) ux,uy,vx,vy在在D内连续内连续; (2) u(x,y),v(x,y)在在D内满足内满足C.-R.条件条件.证 充分性： 即定理2.5. 必要性： 条件(2)的必要性以由定理2.1得出.现在,由于解析函数f(z)的无穷可微性,f(z)必在D内连续,因而ux,uy,vx,vy必在D内连续.3.3.3 Chauchy公式的

4、应用公式的应用 柯西不等式 设f(z)在区域D内解析,a为D内一点,以a为心作圆周:|-a|=R,只要及其内部K均含于D,则有 ,)(!| )(|)(nnRRMnaf其中M(R)=max|f(z)|,n=1,2,.|z-a|=R证 应用定理3.13于K上,则有.)(!2 .)(.2!|)()(2!| )(|11)(nnnnRRMnRRRMndafinaf 刘维尔定理 有界整函数f(z)必为常数. 证 设|f(z)|的上界为M,则在柯西不等式中,对无论什么样的R,均有M(R)M.于是n=1有上式对一切R均成立,让R+,即知f”(a)=0.而a是z平面上任意一点,故f(z)在z平面上的导函数为零.

5、由第二张习题(一)6(1)知f(z)必为常数.,RM| )( |af代数学基本定理 在z平面上,n次多项式至少有一个零点.)0()(0110 aazazazpnnn 证 反证法,设p(z)在z平面上无零点.由于p(z)在z平面上是解析的,1/p(z)在z平面上也必解析. 下面我们证明1/p(z)在z平面上有界.由于 , 0)(1lim,)(lim)(lim10 zpzazaazzpznnnzz 故存在充分大的正数R,使当|z|R时,|1/p(z)|1.又因1/p(z)在必圆|z|R上连续,故可设|1/p(z)|M(M为正常数),从而,在z平面上|1/p(z)|M+1,于是,1/p(z)在z平面

6、上是解析且有界的.由刘维尔定理,1/p(z)必为常数,即p(z)必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证.摩勒拉(Morera)定理 定理3.16 若函数f(z)在单连通区域D内连续,且对D内 任一围线C,有则f(z)在D内解析.cdzzf, 0)(证 在假设条件下,根据定理3.7即知)()()(00DzdfzFzz在D内解析,且F(z)=f(z)(zD).但解析函数F(z)的导数F(z)还是解析的.即是说f(z)在D内解析.定理3.17 f(z)在区域G内解析的充要条件是: (1)f(z)在G内连续; (2)对任一围线C,只要C及其内部全含于G内, 就有cdzzf. 0)( 证 必要性可由柯西定理3.3导出.