函数最值与导数实用教案

1、aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习(fx):一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.0)( xf)(xf设函数y=f(x) 在 某个(mu )区间 内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数(hnsh)第1页/共24页第一页，共25页。二、函数的极值(j zh)定义设函数f(x)在点x0附近(fjn)有定义，如果对X0附近(fjn)的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点第2页/共24

2、页第二页，共25页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形(txng),你能找出函数的极值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x第3页/共24页第三页，共25页。 求解函数极值的一般步骤(bzhu)： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f(x) （3）求方程f(x)=0的根 （4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这

3、个根处取极值的情况第4页/共24页第四页，共25页。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益(jn j xio y)，常常遇到如何能使用料最省、产，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值数极值(j zh)关系如何？关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数(hnsh)值与它附近点

4、的函数(hnsh)值比较是最大或最小,并不意味着它在函数(hnsh)的整个的定义域内最大或最小。第5页/共24页第五页，共25页。知识知识(zh shi)回回顾顾 一般(ybn)地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 1最大值: : （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在(cnzi)x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2最小值: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 第6页/共24页第六页，共

5、25页。观察下列图形(txng),你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内的连续函数不一定(ydng)有最大值与最小值. 在闭区间在闭区间(q jin)(q jin)上上的连续函数的连续函数必有最大值必有最大值与最小值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)第7页/共24页第七页，共25页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何(rh)求出函数在a,b上的最值？一般的如果(rgu)在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不

6、断的曲线，那么它必有最大值和最小值。第8页/共24页第八页，共25页。 观察(gunch)右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有(mi yu)给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)第9页/共24页第九页，共25页。 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较(bjio),其中最

7、大的一个为最大值，最小其中最大的一个为最大值，最小的的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在闭区间在闭区间(q jin)a,b上的最值的步上的最值的步骤：骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(q jin)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.第10页/共24页第十页，共25页。典型(dinxng)例题 231233,30,22(2)22( 2)10(3)15,( 3)3( )6 123310.fxxxfxxxfffff xxx 解：令解得：或又，所以函数在，上的最大值为22，最小值为1、求出

8、所有(suyu)导数为0的点；2、计算(j sun)；3、比较确定最值。例例1 1、3( )6123 3f xxx求函数在， 上的最大值与最小值.1 1、第11页/共24页第十一页，共25页。动手(dng shu)试试求下列函数(hnsh)在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42,2x第12页/共24页第十二页，共25页。典型(dinxng)例题 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例题 ：已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最

9、大值。反思：本题属于(shy)逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 21()612()002(240,(0),(2)840373(2)(1)()2, 2fxxxfxxxfafafaaafx 解 ： （ ）令解 得或又）由 已 知 得解 得由知在的 最 大 值 为 3.第13页/共24页第十三页，共25页。拓展(tu zhn)提高1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数(hnsh)y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 如下图：不一定(ydng

10、)2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。第14页/共24页第十四页，共25页。有两个(lin )极值点时，函数有无最值情况不定。第15页/共24页第十五页，共25页。21x402fxx3讨论函数（ ）=4x在， 的最值情况。动手(dng shu)试试第16页/共24页第十六页，共25页。第17页/共24页第十七页，共25页。 4 4 、 函数函数(hnsh)y=x3-3x2(hnsh)y=x3-3x2，在，在2 2，4 4上的最大值为上的最大值为( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4

11、B.0 C.16 D.20D.20C C第18页/共24页第十八页，共25页。1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间(q jin)1，5内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用(lyng)二次函数单调性处理选做题：第19页/共24页第十九页，共25页。1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间(q jin)1，5内的极值与最值 故函数(hnsh)f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 解法(ji f)二、 f (x)=2x-4令f (x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112第20页/共24页

12、第二十页，共25页。2 2、1 1求求f(x)xsinxf(x)xsinx在在区区间间00，2 2 上上的的最最值值. .2 2最小值是0.最小值是0.是,是,函数f(x)的最大值函数f(x)的最大值xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0第21页/共24页第二十一页，共25页。 应用应用( 2009年天津(tin jn)（文）21T )处的切线的斜率；设函数 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1, 1 f（2）求

13、函数 的单调区间与极值。 xf答:（1）斜率(xil)为1; .1 ,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf ;313223mmxf极小 313223mmxf极大(2)第22页/共24页第二十二页，共25页。一一. .是利用是利用(lyng)(lyng)函数性函数性质质二二. .是利用是利用(lyng)(lyng)不等式不等式三三. .是利用是利用(lyng)(lyng)导数导数 求函数最值的一般求函数最值的一般(ybn)方方法法小结(xioji)：第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结a。第4页/共24页。（1）