九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习

1、圆周角定理及其推论一、知识点总结1圆心角：顶点在圆心的角注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数2 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB为O的弦，点C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD分别交O于点E、F，试证明弧AE=弧BF分析：“弧AE=弧BF”“_=_”把证弧相等转化为证_证明：例2 如图，点O是BPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D求证：AB=CD分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等例3如图所示，已知AB为

2、O的直径，CD是弦，且ABCD于点E，连接AC、 OC、BC(1)求证：ACO=BCD(2)若EB=8cm，CD=24cm，求O的直径分析：(1)ACO=_，而_=_(2)在Rt_中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在ABC中，AD，BD分别平分BAC和ABC，延长AD交ABC的外接圆于E，连接BE求证：BE=DE分析：把证BE=DE转化为证_=_1.如图1，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的 14圆周，C点是BE上的任意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、 已知 AB、 CD是同圆

3、的两段弧，且 AB=2CD，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、 AB=2CD B、AB2CD C、AB2CD D、不能确定 4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 5、 在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（ ）6、 有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等；圆中90°角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等其中正确的有（ ）7、如图3，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC=4

4、5°，给出下列五个结论：EBC=22.5°；BD=DC；AE=2EC；劣弧AE是劣孤DE的2倍；AE=BC其中正确结论的序号是（ ） 图1图2 图38. 如图所示，O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD（1）P是 CAD上一点（不与C、D重合），求证：CPD=COB；（2）点P在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CPD与COB有什么数量关系？请证明你的结论3圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半1.如图1，A是O的圆周角，且A35&#

5、176;,则OBC=_.2.如图2，圆心角AOB=100°，则ACB=3：如图3，是O的直径，点都在O上，若，则 º4：如图4，O的直径过弦的中点，则 OABC图3EFCDGO图4BOCA 图2 图14圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题考点2：圆周角定理1、 如图，ABC中，A=60°，BC为定长，以BC为直径的O分别交AB，AC于点D，E连接DE，已知DE=EC下列结论：BC=2DE；BD+CE=2DE其中一定正确的有（ ）2.一个

6、圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）3.如图AB是O的直径， AC所对的圆心角为60°， BE所对的圆心角为20°，且AFC=BFD，AGD=BGE，则FDG的度数为（）4. 如图，AB是O的直径，C，D两点在O上，若C=40°，则ABD的度数为（）1题图2题3题4题5：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30°，则CAD=_._D_C_B_A_O 6：已知O中，则O的半径为7.已知：如图等边内接于O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，

7、如图，请你判断是什么三角形？并说明理由AOCDPB图AOCDPB图（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？8. 如图AB是圆O的直径，C是圆O 上的一点，若AC=8，AB=10，ODBC于点D，求BD的长9.如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40°，APD=65°（1）求B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长10.11.如图，AB、CD是O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是 12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OCBD于点M，CFAB于点F交BD于点

8、E，BD=8，CM=2（1）求O的半径；（2）求证：CE=BE13.5. 圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6. 圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，AOC=100°，则ABC等于（ ） A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A第块B第块 C第块D第

9、块BEDAC8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心这个三角形叫做圆的内接三角形。直角三角形的外心在斜边上BACDO1.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；2. 如图，已知：ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则O的直径等于 。3.如图，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。ACBDE（1）求证：ACAE；（2）

10、求ACD外接圆的半径。 思维导图如下：综合练习一1 选择题1. 如图，在O中，若圆心角AOB=100°，C是上一点，则ACB等于( )A80°B100°C130°D140°2已知，如图, AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC45°。给出以下五个结论：EBC22.5°；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确的有( )个A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第1题图 第2题图 第3题图3如图，设O的半径为r，弦的长为a，弦与圆心的距离为d，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h，下面说

11、法或等式： 已知r、a、d、h中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是( ) A仅 B C D4如图，在O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形5如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 第4题图 第5题图 第6题图 6如图所示，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30°，O的半径为cm，则弦CD的长为( )Acm B3cm Ccm D9cm二、填空题7.如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE

12、=3，则弦CE=_. 第7题 第9题8半径为2a的O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是_.9如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,则AED= °. 10如图所示，AB、CD是O的两条互相垂直的弦，圆心角AOC130°，AD、CB的延长线相交于P，则P_°11.如图所示，在半径为3的O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BDAB，连接AC、BC、CD，如果AB2，那么CD_ NPMOAB（第12题图） （第10题图） （第11题图）12如图，MN是O的直径，MN2，点A在O上，AMN30°，点B为中点，P直径MN上

13、的一个动点，则PAPB的最小值是 .13已知O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，则BAC的度数为_三、解答题14.如图，在O中，OB，OC分别交AC，BD于、，求证15如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交O于G，求证： 16如图所示，AB是O的直径，C为的中点，CDAB于D，交AE于F，连接AC，求证：AFCF17.如图所示，O的直径AB长为6，弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D，求四边形ADBC的面积综合练习二一、选择题1、如图1，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的

14、长是（ ）A4 B6 C7 D82、如图2，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A2 B3 C4 D5 图1 图2 图33、过O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）A9cm B6cm C3cm D4、如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A12个单位 B10个单位 C1个单位 D15个单位5、如图4，的直径垂直弦于，且是半径的中点，则直径的长是（）A B C D

15、 如图4 如图5 如图66下列命题中，正确的是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A5米 B8米 C7米 D5米 8、有4个命题，直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最长的弦是通过圆心的弦；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是( )A B C D9、在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离

16、是( )A7cm B1cm C5cm D7cm或1cm10、 如图6，EF是O直径，OE=5cm，弦AB=8cm，EF两点到MN的距离之和等于( )A12cm B6cm C8cm D3cm二，填空题1、 A、B是半径为2的O上不同两点，则AB的取值范围是_2、在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成_个部分3、如图，AB是O直径，弦CD与AB交于E，若_，则CE=DE(只需填写一个)；4、某圆半径为4cm，一弦中点到所对劣弧中点的距离为2cm，则此弦长为_；5、直径30cm的O中有两平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，则AB与CD

17、的距_；6、如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范 ；7、如图，在半径为6cm的O中，两弦ABCD于E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB=_；8、如图，C是O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角度数为 40°，则所对圆心角度数为_；9、半径为1的圆中，长度等于的弦所对圆心角是_度；10、圆的一条弦分圆为4：5两部分，则其中优弧所对圆心角为_度11、已知AB是O的直径，弦CDAB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=_12、过O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于 cm13、在半径为10的圆中有一条长为16

18、的弦，那么这条弦的弦心距等于 三解答题1、 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB，CD。 （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径。 2、已知：如图，P是AOB的角平分线OC上的一点，P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论3、如图，MN为半圆O的直径，半径OAMN，D为OA中点，过D作弦BCMN，求证：四边形ABOC为菱形 4、直径为1Om的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是多少？5、已知：如图，AB、CD是O的两条直径，弦AE