圆锥曲线综合练习题

1、曲线方程及圆锥曲线典型例题解析.知识要点1.曲线方程(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:步 骤含义说明1、“建”：建立坐标 系；“设”：设动点坐 标。建立适当的直角坐标 系,用(x,y)表小曲线上任 点M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐 标系。2、现(PM)：由限制条 件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重U步，应仔细分析 题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M),列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为取间

2、 形式。要注意向解变形。5、证明证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根， 应在所得方程中删去或补上 (即要注意方程 变量的取值范围)。这五个步骤(不包唐证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2)求曲线方程的常见方法:直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参

3、数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2.圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义， 结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注 意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 C： f(x, y)=0与直线l ： y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(

4、x2，y2)两点，则弦长| AB|为：(1)1 AB |= Jl + k，忸 i 一时 |=+ 1 瓯 十向4 4耨1 盯或1AB尸1% -力尸U * Jd+%> -4%.若弦AB过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断 方法。(3)实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入， 同时

5、课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系(4)知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、区分度的综合题。二.典例解析题型1:求轨迹方程例1.(1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切, 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。推理知识结合到一块出现部分有较强同时与圆x22y 6x 91 0 内切,2(2)双曲线 y2 1有动点P,

6、 F1, F2是曲线的两个焦点, 9求 PF1F2的重心M的轨迹方程。解析：(1)(法一)设动圆圆心为M (x, y),半径为R,设已知圆的圆心分别为01、02, 将圆方程分别配方得：(x 当0M与001相切时，有当©M与口02相切时，有3)2101M2_ 2y 4, (x 3)| R 2102M | 10 R将两式的两边分别相加，得y2 100,0101M | 102M | 12 ,PO02即(x 3)2 y2(x 3)2移项再两边分别平方得：122.'(x 3)2 y2两边再平方得：12 x223x 4y1080,2整理得36 27所以，动圆圆心的轨迹方程是2x362y

7、1 ,轨迹是椭圆。27(法二)由解法一可得方程J(x 3)2 y2J(x 3)2 y2 12,由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点01( 3,0)和。2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为 01( 3,0)、。2(3,0),长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x轴上， 2c 6, 2a 12, . c 3, a 6,2 b2 36 9 27 ,22.圆心轨迹方程为 - -y- 1 o 36 27(2)如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1), M(x, y), 在已知双曲线方程中a 3,b 1,c9- 、. 10 已知双曲线两焦点为F1( jro,0),

8、f2(m,0), PF1F2存在，y10x1 ( .10),10x 由三角形重心坐标公式有3,即y1 0 0y - y10 , , y 0。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有x1 3xy1 3y(3x)29(3y)21(y 0)即所求重心 M的轨迹方程为：x2 9y2 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;1(y 0)。“转移法”求轨迹方程的方法。2x例2. (2001上海，3)设P为双曲线一4y2= 1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点 M的轨迹方程是 解析：(1)答案：x2-4y2=1设 P (x0, y0)M (x, y)x0 y2，yVo2，2x=x0,

9、 2y=y。4x2cc c-4y2= 1x2 4y2= 14点评：利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。题型2:圆锥曲线中最值和范围问题2 x3. ( 1 )设AB是过椭圆 1 a2yI 1(a b 0)中心的弦，椭圆的左焦点为 bF1( c,0),则A F1AB的面积最大为(A. bcB. abC. acD. b2(2)已知双曲线22x2 < 1(a 0, b 0)的左右焦点分别为F1,E,点P在双曲线a b的右支上，且IPFil4IPF2I ,则此双曲线的离心率的最大值是(4A.一35B.3C. 27D.2(3)已知A (32)、B ( 40)P是椭圆252y1上一点，

10、则|PA| 十 |PB|的最9大值为(A. 10B.10C. 10D.102.5解析:(1)如图,由椭圆对称性知道。为AB的中点，则4 FQB的面积为 RAB面积的一半。又IOF1I c F1OB边OF1上的高为yB ,而yB的最大值是 b,所以 F1OB的面积最大值为cbo1 ,-cb 。所以 F1AB的面积最大值为20A点评：抓住 F1AB中|OF1| c为定值，以及椭圆是中心对称图形。(2)解析：由双曲线的定义,得：|PF1 |PF2| 2a,又 IPF1I 4|PF2|,所以 3|PF2| 2a,从而 IPF2I 2a3由双曲线的第二定义可得吟2ax -c所以xx3ca,即5a23c5

11、一。故选B。3点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键,也是不等关系5aa成立3c的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。(3)解析：易知 A (3, 2)在椭圆内，B ( 4, 0)是椭圆的左焦点(如图)，则右焦 点为F (4, 0)。连PB, PF。由椭圆的定义知：|PB| |PF| 10,所以 |PB| 10 |PF|,所以 |PA| |PB| |PA| 10 |PF| 10 (|PA|PF|)。由平面几何知识，11PAi |PF| |AF|,即(|PA| |PB|)min 10 |AF|,而 |AF| &3 4)2 (2 0)2V5,所以(|

12、PA| |PB|)min 10 75。点评：由 PAF成立的条件|PA| |PF| |AF|,再延伸到特殊情形 P、A、F共线，从而得出|PA| |PF| |AF|这一关键结论。2例4. (1) (06全国1文，21)设P是椭圆 占 y2 1 a 1短轴的一个端点，Q为椭a圆上的一个动点，求 PQ的最大值。(2) (06上海文，21)已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点,左焦点为F( 60)，右顶点为D(2,0)，设点A 1,1 . 2求该椭圆的标准方程；若P是椭圆上的动点，求线段 PA中点M的轨迹方程;过原点。的直线交椭圆于点 B,C ,求 ABC面积的最大值。(3) (

13、06山东文，21)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 I。(I )求椭圆的方程；(n)直线I过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点，当A AOB面积取得最大值时，求直 线I的方程。解析：(1)依题意可设P(0,1), Q(x,y),则|PQ|=x2+(y_i)2 ,又因为Q在椭圆上,所以，x2=a2(1 - y2),|PQ| 2= a2(1 -y2)+y2-2y+1=(1 -a2)y2-2y+1+a2,“2、，1=(1 a )(y 1 _a2c1c)一=a2+1+a。1因为“不/1,右a"则1Tzp呼1,1一 a

14、2 (02 1当y彳工时，|PQ|取最大值仔下 ,若1<a<#,则当y= 1时，|PQ|取最大值2。(2)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= 73则半短轴b=1,2又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为 y21o4设线段PA的中点为M(x,y)，点 P 的坐标是(xo,yo),x=xo 122x- 1< y=1 y022yo=12y 一 一2由，点P在椭圆上，得(2x 1)4(2y.线段PA中点M的轨迹方程是(x1X21 2.2)4(y 4)1。当直线BC垂直于当直线BC不垂直于x轴时,BC=2,因此 ABC的面积S；aabc=1。2x轴时，说该直线方程为y=kx,代入人

15、y214解得 B( 2, , 2k )，C - , 2， , 2k ),4k2 14k2 1 4k2 14k2 1则BC46£,又点A到直线BC的距离,1 4kk2d12，,1 k22k 1<1 4k2.1 一, ABC 的面积 Sbabc= AB d2曰 Q _ 4k2 4k 1於ABC=",4k21,4k、口一 一由 z > 一 1,得 SaABCW4k2 1J2,其中，当k=1时，等号成立。2-1 Sa ABC的最大值是 22 。(3)解：设椭圆方程为2y1(ab c)2a(I)由已知得 -ac2.2a b2 ab22 c21所求椭圆方程为2n )解法由题

16、意知的斜率存在，设y kx2, A(Xi, y。Bd, y2)y kx 2,消去y得关于x的方程:1(1 2k2)x2 8kx 6由直线l与椭圆相交于A、B两点,64k2 24(12k2)又由韦达定理得XiX2XiX28k1 2k26_ 2k2y21。直线l的方0,0 ,解得k2| AB | .1 k2 |X1X2|1 k2 % (X1 x2)2 4xi 天1 2k24。原点O到直线l的距离 i彳 SAOB1-| AB | d2.16k2 24212.2k2 3解法1 ：对S1 2k21 2k216k2 241 2k2两边平方整理得:_2 4_22 _2 _4S k 4(S4)k S 24 0

17、 (*),2222i6(S2 4)2 4 4S2(S2 24) 0,4 S2S2S2 244S2此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为:解法2 ：令m2 .2m当且仅当m42_4k 28k49.14x 2y,2k2 3(m2 2、242m m4一即m m2时,所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线设直线i的方程为y则直线l与X轴的交点由解法一知k23且2解法 i ： S|'| AOB,整理得：s2 1 。2的最大值为S0。20),则 2kSJ max2yi的斜率存在且不为零。kxD(XiXii - 2IODI=1 Xi3。此时T4o22, A(Xi,yi), B(x2, y2)2,

18、0), kX2X2|yiX2 |8ki 2k26i 2k2x2)2 4xix2kX2 2|J6k2 24i 2k2卜同解法2.2,2k2 31 2k2c11解法 2： SAOBSFOBSPOA22 |X2 | |X| %Xi |1 2k2下同解法一。点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型3:证明问题和对称问题例5. (1) (06浙江理，19)如图，椭圆过点A (2, 0) B(0,1)的直线有且只有一个公共点22 X-2 aT,(I )求椭圆方程;(n )设FF2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF/勺

19、中点,求证：ZATM= / AF 1TO(2) (06湖北理，20)设A,B分别为椭圆0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x 4为它的右准线。(I )、求椭圆的方程;(n)、设P为右准线上不同于点(4, 0)的任意一点，若直线AP, BP分别与椭圆相2*1b有惟一解,k 12交于异于A,B的点M、N ,证明点B在以MN为直径的圆内。(3) (06上海理，20)在平面直角坐标系 xOy中，直线l与抛物线y2 = 2X相交于A、 B两点。求证：“如果直线l过点T (3, 0),那么OA OB=3”是真命题；写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解析：(1) (I

20、)过点A、B的直线方程为-y 1.22 X 2 因为由题意得 ay即(b21 2、2-a )x 42. 2a2b2 0有惟一解,所以2； / 2a b (a4b24)0(ab0),故 a2 4b2 40.又因为b2-2 aa2 4b2.从而得 a22,b2故所求的椭圆方程为1.(II)由(I)得、.6三,故E(、6、6” 一),从而 M(1、670).2y21，解得x1X21,所以1T”因为tanAFTTAMTMF2 ,6,得 tan ATM1,因止匕ATMAFT .椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、 本思想方法和综合解题能力。(2) (I)依题意得a

21、= 2c,a-= 4,解得 ca= 2,c= 1,从而X2故椭圆的方程为一4(n)解法1 ：由(I)A ( 2, 0), B(2,0).设 M (x0, 3_M 点在椭圆上，y0=一 (4x。2).4又点M异于顶点 A、B,一 2<xo<2,由P、A、 三点共线可以得P".从而 BM = (xo-2, y。)，2cc(x。4+ 3y。).xo 22BM . BP =2xo-4+ y0xo 2将代入，化简得BM - BP=|（2 x。）.12-Xo>0,BM BP>0,则/ MBP 为锐角，从而/ MBN 为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。N (x2, y2)

22、,解法 2:由（I）得 A （2,。），B （2,。）.设 M （xi, yi）则一2<x1<2, - 2<x2<2,又MN的中点 Q的坐标为（x-2依题意，计算点 B到圆心Q的距离与半径的差八21BQ MN =(J22) 2+ (比1)222 - - (xi - x2)2 + (yi - y2)24=(xi 2) (x2 2)+yiyi又直线AP的方程为y= /xi（x 2）,直线BP的方程为y= 2y2 (x 2),x22而点两直线AP与BP的交点 P在准线x=4上,6y1x1 2“即 y2=x223X22)yixi24(4X12)22又点M在椭圆上，则江 i,即

23、243于是将、代入，化简后可得|BQ2；25 ,MN = (2 x1)(x2 2) 0. 4从而，点B在以MN为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。(3)证明：设过点 T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(xi,yi)、B(xi2,y2).当直线l的钟率下存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于 A(3, J6卜B(3,乔)，. OA OB =3。当直线l的钟率存在时，设直线l的方程为y=k(x3)，其中kw0.y2=2x* y=k(x 得 ky22y 6k=0,贝U yiy2=

24、- 6.-3)又. xi = 1y；, x2=1y2, 22K 二12一 OA OB =xix2+yiy2= (y1y2)y1 y2 =3.4综上所述，命题如果直线l过点T(3,0)，那么OA OB=3”是真命题.逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OA OB =3,那么该直线过点T(3,0). 该命题是假命题.1例如：取抛物线上的点 A(2,2),B(,1)，此时OA OB =3,2直线AB的方程为Y=2(X+1)，而T(3,0)不在直线AB上.3点评：由抛物线 y2=2x上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA OB =3,可得 y1y2=6。或 y1y2=

25、2, 如果y1y2=6,可证得直线 AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线 AB过点(1,0)，而不过点 (3,0)。22例6. (1) (06北京文，19)椭圆C:?2 A 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2,点P在 a b4 14椭圆 C上，且 PFiF1F2JPF1 | 4,|PF2| 14.33(I)求椭圆C的方程；(n)若直线l过圆x，y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆 C于A, B两点，且A、B关于点M对 称，求直线l的方程。(2) (06 江苏，17)已知三点 P (5, 2)、F1 (6, 0)、F2 (6, 0)。(I)求以Fi、F2为焦点且过点 P的椭圆的标准

26、方程;(n)设点P、F2关于直线y=x的对称点分别为 P、F；、F2,求以F；、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程。解析：(1)解法一：(I)因为点P在椭圆C上，所以2aPF1PF2 6, a=3.一222L在RtPFiF2中，Fi F2JPF2I|PFi|2寸5,故椭圆的半焦22距c=J5,从而b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为 =1o 94(n)设 A, B 的坐标分别为(xi,yi)、(X2,y2)。已知圆的方程为(x+2) 2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1).从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)

27、x+36k2+36k 27=0.因为A, B关于点M对称.所以x1 x2一 2 一18k 9k4 9k2解得k 8 ,98 .所以直线l的方程为y -(x 2) 1,9即 8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意)解法二：(I )同解法一.(II)已知圆的方程为(x+2) 2+(y1)2=5所以圆心M的坐标为(一2, 1) 设A, B的坐标分别为(x1,y)，(x2,y2).由题意x1x2且2 x192422x2y2941,由一得:(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y y2)094因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2。代入得 也一丝=8 ,即

28、直线l的斜率为8 ,所以直线l的方程为y-1=- (x+2),x1x2999即 8x9y+25=0。(经检验，所求直线方程符合题意.)2y 1 (a>b>0),其半焦距 b2c=6, 2aPF1 PF2 J112 2222675a 3强,b 2=a2-c 2=9。一 1 ( 一 、一x2所以所求椭圆的标准方程为一452y9点 P(5,2)、Fi(-6,0)、F2(6,0)关于直线 (0, 6)。y=x的对称点分别为点P (2, 5)、Fi (0, -6)、F222设所求双曲线的标准方程为与丫2ab11(ai0心 0)。由题意知，半焦距 C1=6, 2al IPFiPF2112 22

29、2X(2)由题意可设所求椭圆的标准方程为_2 a22x y20 16几何性质等基础知识和基a12 J5,b 12=C12-a 12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、本运算能力。题型4:知识交汇题2_一例7.(06辽宁,20)已知点人函，%)由,丫2)(玉*2 0)是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点，0是坐标原点，向量.设圆C的方程为22x y (xi X2)x (y1 y2)y 0(I)证明线段 AB是圆C的直径;2-. 5 (II)当圆C的圆心到直线 X-2Y=0的距离的最小值为 一丁 时，求P的值。解析：(I)证明1:

30、,oA oB .oA 0B, (oA 0B)2 (0A 0B)oa 2oA oB oB2 oA2 20A oB oB2整理得：X X2y1 y2 0设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点 即(x Xi)(x X2) (y y1)(y 粗)022整理得：xy (x1 x2)x (y1 y2)y 0故线段AB是圆C F直径，,证明2:|OA OBi ioa oB, (0A oB)2 (oA oB) oa 20A oB oB2 oA2 20A oB oB整理得：oA OBxi X2 yi y2 0 .二设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即 y_y2 y_y11(x x1,x x2)x

31、x2 x x1去分母得:(x xi)(x x2)(y yi)(y y) 0点(xi, yi),(xi, y2),( x2, yi)(x2, y?)满足上方程，展开并将(1)代入得：22x y (xi x2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径证明3:QA 2oA oB oB2 QA2 2QA QB oB2整理得：oA oBxi x2 yi y2 0 以线段AB为直径的圆的方程为(x x2)2 (y yi 2 y2 )2 ;(xi x2)2 (yi y2)2展开并将(i)代入得：22x y(xi x2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径(II)解法i:设圆C的圆心为C(x,

32、y),则xi X2x 2yyiy22彳I 22i yi2 pxi, y22 px2(p 0)22yi y2X1X24p2又因 x1 x2y1 y20x1 x2yi y2yi y222V y24p2xi x20,yi y202yi y2 4pxiX2i 22(yi y2 )4pi41(yi2y2 2y1y2)YiY24pi 22一(y 2p)p所以圆心的轨迹方程为y2px 2p2设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则|x 2y|5i 22I (y 2p) p、52y|2_2|y 2py 2p |5pI(y p)2 P2IJ5p当y=p时,d有最小值%,由题设得 P 25.555p 2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则Xx22yiy22222pxi, y22 Px?(p 0)4p2又因xi x2yi y20X1 x2yi y2yi y222V y24p2. Xi X20,yi y2yi y24p2XiX2x 24p(yi22 y24p(yi22y1y2y2 2y1y2)- 4pi 22一(y 2p)p所以圆心的轨迹方程为px 2p2设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为 25则5m 222因为x-2y+2=0与y px 2 P无公共点，所以当x-2y-2=0与y2 px 2p2仅有一个公共点