函数的泰勒级数实用教案

1、一、泰勒(ti l)(Taylor)级数上节例题(lt)给出 f (x) , 是否存在(cnzi)幂级数在其收敛域内以 f (x)为和函数，即：问题问题:1.如果能展开, an 是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第1页/共40页第一页，共41页。其中(qz(qzhng)hng)( ( 在 x 与 x0 之间) )称为(chn wi)(chn wi)拉格朗日余项 . .若函数 f (x) f (x) 在 x0 x0 的某邻域内具有(jyu) n + 1 (jyu) n + 1 阶导数, , 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒(Taylor)公式 ,则在该邻域内有 :

2、 :回顾：第2页/共40页第二页，共41页。问题(wnt) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f (x)?不一定(ydng).定义 如果f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 称为f (x)在点 x = x0 的泰勒级数. nnnxxnxf)(!)(000)( 称为 f (x)在点 x = 0 的麦克劳林级数. nnnxnf 0)(!)0()(xf?Kxxxnxfnnn )(!)(000)(第3页/共40页第三页，共41页。可见(kjin)在x=0点任意(rny)可导,第4页/共40页第四页，共41页。第5页/共40页第五页，共41页。第6页/共40页第六页，共41页。充分性证明证明(zhngm

3、ng)必要性第7页/共40页第七页，共41页。 )(xRn第8页/共40页第八页，共41页。第9页/共40页第九页，共41页。第10页/共40页第十页，共41页。泰勒(ti l)系数是唯一的,逐项求导任意(rny)次,得泰勒(ti l)系数证明证明第11页/共40页第十一页，共41页。二、函数展开成幂级数的方法1、直接展开法(泰勒(ti l)级数法)若 f (x)在点 x = 0 处各阶导数存在, 将 f (x)展为 x 的幂级数步骤(bzhu)如下:第12页/共40页第十二页，共41页。例例1例例2第13页/共40页第十三页，共41页。例例3牛顿(ni dn)二项式展开式注意(zh y)(z

4、h y)第14页/共40页第十四页，共41页。常见函数(hnsh)的关于x的幂级数展开式第15页/共40页第十五页，共41页。2、幂级数的间接、幂级数的间接(jin ji)展开法展开法根据唯一性，从常见展开式出发，通过变量(binling)代换、四则运算、 恒等变形、 逐项求导、 逐项积分等方法 ，求出给定函数展开式的方法.例如(lr)第16页/共40页第十六页，共41页。213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn ),( x)1, 1( x常见函数(hnsh)的关于x的幂级数展开式第17页/共40页第十七页，共41页。常见(chn jin)函数的关于x的幂级数展开式第18页

5、/共40页第十八页，共41页。例例1 1 将下列函数将下列函数(hnsh)(hnsh)展开成展开成 x x 的幂的幂级数级数. . (2) f (x)=arctan x(3) f (x)=ln(1+ x)(4) f (x)=ln(a+ x) (a0)第19页/共40页第十九页，共41页。常见函数(hnsh)的关于x的幂级数展开式210(3) sin( 1)(,);(21)!nnnxxxn ,第20页/共40页第二十页，共41页。第21页/共40页第二十一页，共41页。第22页/共40页第二十二页，共41页。第23页/共40页第二十三页，共41页。第24页/共40页第二十四页，共41页。例例7第

6、25页/共40页第二十五页，共41页。第26页/共40页第二十六页，共41页。常用(chn yn)函数的幂级数展开式课本(kbn) Page 264 (8)(15)式),( x),( x第27页/共40页第二十七页，共41页。)1, 1( x)1, 1( x第28页/共40页第二十八页，共41页。常见函数(hnsh)的关于x的幂级数展开式210(3) sin( 1)(,);(21)!nnnxxxn ,01(1)( 1),( 1,1);1nnnxxx 0(2)(,);!nxnxexn 1101(6) ln(1)( 1)( 1)( 1,1.1nnnnnnxxxxnn 第29页/共40页第二十九页，

7、共41页。常用(chn yn)已知和函数的幂级数第30页/共40页第三十页，共41页。三、欧拉公式(gngsh)(gngsh)复数复数(fsh)项级数项级数:第31页/共40页第三十一页，共41页。复数项级数绝对收敛复数项级数绝对收敛(shulin)的概念的概念三个基本三个基本(jbn)展开式展开式第32页/共40页第三十二页，共41页。第33页/共40页第三十三页，共41页。 揭示了三角函数和复变数指数函数揭示了三角函数和复变数指数函数(zh sh (zh sh hn sh)hn sh)之间的一种关系之间的一种关系. .欧拉公式欧拉公式第34页/共40页第三十四页，共41页。第35页/共40

8、页第三十五页，共41页。三、小结(xioji)1、如何(rh)求函数的泰勒级数;2、泰勒级数收敛于函数(hnsh)的条件;3、函数展开成泰勒级数的方法.函数展开成幂级数的间接展开法.两类问题: : 在收敛域内和函数 s (x)nnnxa 0幂级数幂级数求 和展 开第36页/共40页第三十六页，共41页。练练 习习 题题第37页/共40页第三十七页，共41页。练习题答案练习题答案(d n)第38页/共40页第三十八页，共41页。第39页/共40页第三十九页，共41页。感谢您的观看(gunkn)！第40页/共40页第四十页，共41页。NoImage内容(nirng)总结一、泰勒(Taylor)级数。1.如果能展开, an 是什么(shn me)。( 在 x 与 x0 之间)。若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数