《立体几何》测试及答案

1、立体几何测试及答案（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .已知平而。内的一条直线1及平而£,则'3_L£”是“ a_L£”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 解析根据直线与平面垂直的判定定理，由lu "”可证得“a_L£”，即充分性是 成立的.反之由“ a工B,ka”不一定得到“AL£”，即必要性不成立.所以是 “。J_ £ ”的充分不必要条件.故选B.答案B

2、72 .已知圆锥的顶点为凡母线州，所所成角的余弦值为石，以与圆锥底面所成角为45° ,若 O为5的面积为5仃，则该圆锥的侧面积为（）A. 40（72 +1） nB. 402 hC.8（4i5 + 5） nD. 8710 n解析设。为圆锥底而圆的圆心，设底而圆的半径为r.以与圆锥底而所成角为45° ,即/80=45°.所以以=小厂77母线闩1,所所成角的余弦值为5即cosN川沙=小 oo贝I sinN川哈、=S8 7、J15由 S=PA jsinZJj=|x2?X=5J15. A?=40, ，2o v故 S 秘侧=n r PA n r 2r=y2 n y = 4(h

3、/2 n .答案B3 .如图，在正四棱柱物/一儿RG中，底而边长为2,直线。乙与平而月以所成角的正弦值 为今则该正四棱柱的高为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析以为坐标系原点，DA, DC、弧所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系。一 xyz,如图所示，设正四棱柱的高为方，则。（0, 0，0）,月（2, 0, 0）,。（0, 2, 0）, （0, 0,血，4（0, 2,a），五=（0, 0,方），赤=（-2, 2, 0）,遨=（0, -2,方）.设平而月曲的法n m2乂+2%=0,向量为=（%，必，）,则j 令二=2,则必=方，&=方，A=（/b h,.n 速=-2%+

4、方冬=0,2）为平面月四的一个法向量.又直线CG与平面月8所成角的正弦值为所以cos " CG）2h",解得=4,故选C.答案C4 .设三棱柱 四。一46G的侧棱垂直于底而，AB=AC=2, ZBAC=9Q° , A4i = 3，L且三棱柱的所有顶点都在同一球而上，则该球的表而积是（） 解析 依题意，三棱柱月比46G的外接球是底面为正方形（边长为2）、高为3隹的长方体 的外接球，其直径为长方体的体对角线.设球的半径为斤，则有（2而二=2'+2二+（3班尸=26, 故三棱柱板一46G外接球的表面枳为4 3i芯=26 Ji ,故选C.A. 24 nB. 18

5、nC. 26 nD. 16 n答案C5 .在正方体月中，点尸，。分别为，始，力?的中点，过点，作平而使区9平而U，40平而明若直线属 A平面a =M则普的值为（）解析 如图，取&的中点3 G的中点区 连接龙，EF, DF.易知艮PDF, 40龙，则 平面郎就是平面'与相交于点M连接4G,与84相交于点0,易证点M是0 的中点.又。是笈的中点，所以饕=9,故选B.Hft o答案B6 .已知正四棱柱/崎一434的底而边长为1,高为2,"为6G的中点，过点必作平面a 平行于平面A出若平面“把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为 ()A-lB，16c吉D，48

6、解析设N为4的中点，尸为M的中点，连接孙.仍AE C民,如图,在四棱柱曲- 4民G中，46整夹，四边形4为平行四边形绥为3C的中点，户为 CG的中点，:3 E,，觊必，的平面&BD, DAC平面4.BD,，眇平而A.BD.同理 可证A尸平面4劭，.仍GAP=P,，平而必产平面4劭，即平面小产为平而。.，体积较小的几何体为三棱锥P C.MN, VP-QMN= 1 G.”&NG产1=之.故选C. J NO Z Z答案C7 .如图，四面体为正四而体，AB=L点、&尸分别是月，6。的中点.若用一个与直线 断垂直，且与四而体的每一个面都相交的平面”去截该四面体，由此得到一个多边形

7、截而， 则该多边形截而面积最大值为()AED. 1解析 将正四而体补成正方体，如图,由图可知截而为平行四边形MVEZ,可得¥+以=1.又KL/BC, KN/AD,且"_1_60, :.KN工KL.可得S四边杉小口=KV应二="（当且仅当KN =此时取等号）,故选A.答案A8 .已知46是半径为2小的球面上的两点，过相作互相垂直的两个平面“，£,若叫 8 截该球所得的两个截面的面积之和为16丸，则线段的长度是（）A. 2B. 2C.2巾D.4解析 如图，设过相所作的互相垂直的平面“，万截球。所得的圆分别为圆Q,圆a,点。 为球心，点月，6在球而上，所以球。

8、的半径如=2，5,圆a,圆Q的半径分别为Q6和26, 且OC B,约:_L a ,因为两个截面的面积之和为16兀，所以na方+九a厅=16 n,即（XB口?=面一 3+ 2=16.在RtZ0a6和Rt微6中，.两式相加得，刀+。=20一（口方03 05 as,+ 2郎=24 16=8.设"的中点为必，贝lj< 。.一两式相加得，2囱/=（S+a历BM=a”oa,一（。4+口力=168 = 8,所以罚/=2,则由5=4.故选D.答案D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分

9、.A.若a * 。万，则&6B.若 a£,3 丫，则/C.若 a_L a , 6_L ，贝lj a/bD.若 a J_ y, £_L y,则"J_ £9 ,已知a, 6为两条不同的直线，a, 6, 7为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）解析 *a“ a , £，则a月或水=£,故a不一定平行于£, A错误：若。 £, B 产,则“ 7, B正确：若al. * b± a,则"6, C正确；若81丫,则a与 尸相交或“ D错误,故选BC.答案BC10.如图，8垂直于以超为直径的圆所在的平

10、面，点。为圆上异于点乩5的任意一点，则 下列关系正确的是（）A. PALBCB. ACLPBC.5UL 平面 PACD. PCLPB解析 由题意，知aL平面月5c ;优t平而月60, ：.PA±BC. A正确.:/月%为直径居所 对的圆周角，月UL比:又C4?=月，PA.月0<=平而RJC,，6UL平面用1。，C1E确,假设47 ，密平面月60, C.PALAC. ACLBC. AC工PB,且 PBCBC=B, PB, 3Gz 平面加0,， HUL平面用。，则月UL尸£与假设矛盾，B错误.由6aL平面以。，得6UL尸。，则尸3为直 角三角形，.尸UL加不成立，D错误.

11、故选AC.答案AC11.如图，正三棱柱胆46£的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2, D, E分别是 庭，月。的中点，则下列结论成立的是（）A.直线。与6G是异而直线B,直线房与平面4平行C.直线月。与直线4所成角的余弦值为芈D.直线与平面胡心。所成角的余弦值为半解析 直线与6G在同一平面643内，不是异而直线，A错误.连接月G，记4G的 交点为0,连接0E,勿，则OE/CQ. OE/BD.又OE=：CCkBD,所以四边形 如比是平行四边形，所以应少.因为网平而儿以，口七平面4s 所以直线比与平面4a?平行，B正 确.因为AC/A.G,所以直线月0与直线4。所成的角就是直线4a与

12、直线4。所成的角.连接在4G。中，易知4G由余弦定理可得cos /以4=二；寺=坐, 所以直线月。与直线儿。所成角的余弦值为平，C正确.由题意可得平而44CCL平面J5a交 4线为月G BE工AC,弧z平面。，根据面而垂直的性质可得玩L平而用心&又用勿，所 以a?_L平面AA.GC,所以直线以与平而出C。所成的角就是N2G0.在直角三角形如。中, g卷 C0=阵,所以直线以与平面山CC所成角的余弦值为潺续 D正确.故选BCD.乙CZ/答案BCD12.已知菱形型Z?中，ZBAD=6QQ ,月C与初相交于点0,将板沿切折起，使顶点，至 点M在折起的过程中，下列结论正确的是（）A. BDLC

13、MB.存在一个位置，使QW为等边三角形C. 5。不可能垂直D.直线“与平面灰刀所成的角的最大值为60,解析 画出示意图如图.对于A,因为菱形皿中，月C与加相交于点0,所以月被CO_L也将曲沿勿折起，使顶点月至点”的过程中，月。始终与即垂直，所以加_L被又C0±BD. MOC C0=0. MO. COz 平而 CMO,所以初L平而 CMO.又 Clfc 平面 CW,所以 BDLCY, A正确.设菱形?15（力的边长为2.因为N阴Z=60° ,所以月。=8=必2=/，60=勿=1,对于B, 因为在折起的过程中，四边的长度不变，所以必=若为等边三角形，则Ct=CD=2,当二面角J

14、U劭一。的余弦值为上寸，XCDV.lfa+ca-CJf 3+3-41cos /M0C 丁= 之 产=T2Mo CO 2XaJ3X/3 3为等边三角形，B正确.对于C,而=而一方D,瓦=应一宓,由A选项，知MOLE。, C0LBD.所以办源而立 0,所以而=（诵一命加一宓）=扇北+砺於3cos ZM0C 一1,显然当cos NWr=5寸，诙友=0,即忆SC, C错误.对于D,由几何体的直观图可 知，当皿L平而9时，直线V与平而用力所成的角最大，为NJ欣?，易知此时NM矽=60° , D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .正三棱柱板'

15、;一儿民G中，AB=2,也,=2蛆，点。为棱4民的中点，则异面直线/1P与: 所成角的大小为.解析 如图，取月5的中点反连接CE.则出? 密，所以异面直线切与圆的夹角即为 N/E在正三棱柱 曲4万，中，AB=2, M = 2a/2,所以出=6+成=4+（2#尸=12, 质=防+丽= 1+（2也尸=9.又为正三角形，所以怎=小.在ACEA中,由余弦定理, 得cos NCB.E=C%三=:3-苕,所以N电八30° .所以异面直线段与出 2C& E82X机2X3 2所成角的大小为30。.答案30。14 .已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底而垂直的棱柱称为直棱柱）的所有顶点都在球0

16、 的表而上，若球。的表面积为28 n,则该三棱柱的侧面积为.解析如图，设球。的半径为兄直三棱柱的棱长为a,取等边三角形的重心（三边中 线的交点）为点a.由重心是中线的三等分点，得月。=衣圾=£ 根据几何关系，可以确定上、下底面三角形重心的连线的中点为球心0,即%=*S球=4无收=28五，则芯=7.在Rt440Q中，#=4d + 06i,即7=惇，+（9,解得/=12.所以该三棱柱的侧面积5保= 3a 5=3X12 = 36.答案3615 .如图，住棱长为1的正方体ABCD-A.G.a中，点.”是也?的中点，动点尸在底而ABCD内（不包括边界），若后产平面46M则GF的最小值是.解析如

17、图，取6。的中点M连接氏V, DN,作aZlV交V,于点0,连接4Q易知必.周 氏V儿必且MCI员V=A；如04%=必，所以平而3V平面儿囱4所以动点产 在底面月皿内的轨迹为线段¥（不含端点）.又生_L平而皿，所以当点尸与点。重合时，1G尸取得最小值.因为/vC0=4%AG所以。6=2=幸，所以（G0w=Gg，S+3=22亚 5'216.在四棱锥尸一四中，*_L平而月5S月P=2,点W是矩形四仪?内（含边界）的动点，且AB=1, 4=3,直线期与平面月角力所成的角为:.记点.”的轨迹长度为，则tan】=:当三棱锥一四"的体积最小时，三棱锥产一四”的外接球的表面积为.

18、（本 小题第一空2分，第二空3分） 解析 如图，因为月1_L平面月6G？,垂足为月，所以N月明为直线用/与平面必力所成的角， 所以/加=：因为月P=2,所以义仁2,所以点W位于底面矩形月5Q?内的以点力为圆心，2为半径的圆弧 上.记点.”的轨迹为圆弧防 连接"，则" =2.因为在Rt曲中，月5=1, AF=2,所以NAFB= Z.FAE=y所以弧所的长度a=K乂2=彳，所以tan a =小.连接尸尸,则当点"与 oo oy点尸重合时，三棱锥产一月团的体枳最小.因为平而ABCD, BFu平面ABCD,所以PAA.BF.又 ABA-BF. APHAB=A, AP, A

19、5tz 平而 ABP,所以步L平而 ABP.所以 BFLPB.所以W 为直角三角形，所以点5到线段方的中点的距离为此时三棱锥产一叱的外接球的球心 为线段中的中点.因为为=42'+2二=2口,所以三棱锥尸一曲的外接球的表而积S=4 n X （第好=8八，即三棱锥产一四1/的体积最小时，其外接球的表而积为8n.答案右8 n四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在三棱柱的一4&G中，ABLAC, 5。_1_平面的 E,尸分别是月。，8c的中点.（D求证："平面也a；（2）求证：平而必C_L平而Afia.证明（1

20、）因为瓦尸分别是月G的中点，所以牙物.又比Q平面曲G, 9u平而月所以以H平而3G（2）因为£C_L平面地G止平面所以6aL相,又平而曲G月平面曲G B,CCAC=C.所以月6,平而曲C又因为月氏平面月微，所以平而必CL平而18.（本小题满分12分）（2020 长沙雅礼中学质检）如图，在四棱锥尸一月6”?中，平而PCD、AD/BC. ABLBC, AP= AB= BC=AD,5为出?的中点，月。与比相交于点Q(1)证明：产平面制力：(2)若必=1,求点。到平而痴的距离.(1)证明平面 PCD, ：.APLCD.,: ADBC, BC=aD.,四边形6侬为平行四边形，: BE"

21、; CD, ：.APVBE.又： AB1BC, AB=BC=AD,且万为四的中点，四边形加丝为正方形，反L"又？ipn月。=4平面月尸G WlJ BEVPO._L 平而也?，：.APLPC,又 AC=iAB=WAP, .州。为等腰直角三角形，。为斜边月。上的中点, ，尸。_1_月。且 ACO BE= 0,：.尸0J_ 平面 ABCD.(2)解/ 08= 1, /.FA=PB=AB=2.设。到平而府的距离为a由分-神=% W得京乎X(X4恳X(小)叹1,J 1J /AZjZg 23解传d- 3 19.(本小题满分12分)在三棱锥月一灰刀中，已知CB=CD=下,BD=2.。为 劭的中点，

22、A0 ，平面比。，A0=2.5为月。的中点.(1)求直线也与龙所成角的余弦值：若点尸在左上，满足5尸=加设二而角尸一龙一。的大小为。，求sin"的值.解(1)如图，连接/，因为=。?，0为物的中点，所以。0J_6E又HOL平面用力，OB, 0&z平面及力，所以月0_L纺，AOLOC.以原OC.瓦为基底，建立空间直角坐标系0才以.因为劭=2, CB=CD=g AO=29所以 5(1, 0, 0), Z?(-L 0, 0), C(0, 2, 0), J(0, 0, 2).因为E为月。的中点，所以凤0, 1, 1),所以石=(1, 0, 一2),那(1, 1, 1),所以cos(茄

23、，扇_ 京应_ 1 + 0_2 _在AB DE 乖 X 木10 因此，直线池与龙所成角的余弦值为空.(2)因为点尸在以上，5中,BC=(-19 2, 0), 所以际=；诙=(一；,0又砺=(2, 0, 0),故宓=疡+际=(%0设立=(乂，必，为)为平面庞尸的一个法向量,则* o = 0,% + %+zi=0,7, 1 八彳七十万必=0，取 m=2,得必=-7,二=5, 所以 “=(2, -7, 5).设m=(用,生+於+三=0,*+2 心=0,必，三)为平面，区的一个法向量，又比=(1, 2, 0),DE.店=0, 即，、&. m=0,取赴=2,得g=1,备=一1,所以乙=(2, L

24、 1).故 cos ° =n-. , Th 4 + 7 - 5I13n： Th 柢又水13 ,所以 sin °= 21 cos: 0 =今塔. 1 o20.(本小题满分12分)如图，四边形板P为正方形，E,尸分别为出?，6。的中点，以以为 折痕把，尸。折起，使点。到达点尸的位置，且PFLBE(1)证明：平而田平面四股(2)求以与平面月房叨所成角的正弦值.(1)证明 由已知可得，BFLPF, BFLEF,又PFCEF=尸,PF,瓦心平而尸£E所以不L平而PEF.又5也平面ABFD,所以平面阳北平面四叨(2)解悴PHLEF,垂足为凡由得，加L平面物叨以，为坐标原点，分

25、别以丽，声,麻勺方向为王轴、y轴、z轴的正方向，济为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得，DE工PE.又 DP=2, DE=L 所以 PE=.又 PF=1, EF=2, 故）=4+方，所以产ELPE ”曰 小 3 可得用 =?- EH=- 则 4(0, 0, 0),彳0, 0,半)，T，一提 0).徐=(1, *坐)，=(), 0,阴为平而四叨的一个法向量.设分与平而出Z?所成角为0,则 sin =赤DPHP DP所以分与平而 丽所成角的正弦值为半.2L (本小题满分12分)如图(D,在等腰梯形月5仪?中，AB/ CD, DA=AB=BC=2, CD=, E 为缈的中

26、点，将困沿熊折到国的位置，如图(2).(1)证明:AE工以B；(2)当折叠过程中所得四棱锥以一儿减体积取最大值时，求直线方与平面曲所成角的正 弦值.(1)证明 如图在梯形月比P中，连接跖DB,设仍交熊于点五由已知，得四边形印为菱形，所以月反L施.在立体图形中，连接2尸，BF,如图(2) .则丝_1_尸，AELBF.因为D.FCBF=F, 尸，职=平面用，所以也平面D.FB.因为以氏平而见际所以也L万.(2)解 要使四棱锥一皿体枳最大，则需要平而%武垂直于底而的1，此时尸L平面ABCE.故以点尸为坐标原点，FE, FB,网所在直线分别为y轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系, 如图(3),则 4(-1, 0, 0), 5(0, 6 0), £(1, 0, 0), 以(0, 0,小),所以办'=(1, 0, 一木),而=（1, 0,小）,曲=（0, 一木,y3）. 设平面月被的