2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理

1、1 / 14 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供理科考生使用） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1a为正实数，i为虚数单位，2=+iia，则=a a2 b3

2、 c2 d1 2已知 m，n为集合 i的非空真子集，且 m，n不相等，若n=mi，则=nm am bn ci d 3已知 f 是抛物线 y2=x 的焦点，a，b 是该抛物线上的两点，=3afbf+，则线段 ab的中点到 y 轴的距离为 a34 b1 c54 d74 4abc 的三个内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，asinasinb+bcos2a=a2，则2 / 14 =ab a2 3 b2 2 c3 d2 5从 1，2，3，4，5中任取 2各不同的数，事件 a=“取到的 2 个数之和 为偶数”，事件 b=“取到的 2个数均为偶数”，则 p（ba）= a18 b14 c25 d12

3、 6执行右面的程序框图，如果输入的 n是 4，则输出的 p是 a8 b5 c3 d2 7设 sin1+=43（），则sin2= a79 b19 c19 d79 8如图，四棱锥 sabcd的底面为正方形，sd底面 abcd， 则下列结论中不正确的是 aacsb bab平面 scd csa与平面 sbd 所成的角等于 sc 与平面 sbd所成的角 dab 与 sc 所成的角等于 dc与 sa所成的角 9设函数=1,log11,2)(21xxxxfx，则满足2)(xf的 x的取值范围是 a1，2 b0，2 c1，+ d0，+ 3 / 14 10若a，b，c均为单位向量，且0=ba，0)()(cbca

4、，则|cba+的最大值为 a12 b1 c2 d2 11函数)(xf的定义域为r，2) 1(=f，对任意rx，2)( xf，则42)(+ xxf的解集为 a（1，1） b（1，+） c（，1） d （，+） 12已知球的直径 sc=4，a，b 是该球球面上的两点，ab=3，30=bscasc，则棱锥 sabc 的体积为 a33 b32 c3 d1 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题-第 24题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分 13已知点（2，3）在双曲线 c：)0, 0( 12222=

5、+babyax上，c 的焦距为 4，则它的离心率为 14调查了某地若干户家庭的年收入 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：321. 0254. 0+=xy由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加_万元 15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 4 / 14 16已知函数)(xf=atan（x+）（2| , 0），y=)(xf 的部分图像如下图，则=)24(f 三、解答题：解答

6、应写文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分） 已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10 （i）求数列an的通项公式； （ii）求数列12nna的前 n项和 18（本小题满分 12分） 如图，四边形 abcd 为正方形，pd平面 abcd，pdqa，qa=ab=12p d （i）证明：平面 pqc平面 dcq； （ii）求二面角 qbpc的余弦值 5 / 14 19（本小题满分 12分） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n小块地种植品种甲，另外

7、 n 小块地种植品种乙 （i）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 x，求 x 的分布列和数学期望； （ii）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据nxxx,21 的的样本方差)()()(1222212xxxxxxnsn+ +=，其中x为

8、样本平均数 20（本小题满分 12分） 如图，已知椭圆 c1的中心在原点 o，长轴左、右端点 m，n 在 x 轴上，椭圆 c2的短轴为 mn，且 c1，c2的离心率都为 e，直线 lmn，l与 c1交于两点，与 c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 a，b，c，d （i）设12e =，求bc与ad的比值； （ii）当 e变化时，是否存在直线 l，使得 boan，并说明理由 21（本小题满分 12分） 6 / 14 已知函数xaaxxxf)2(ln)(2+= （i）讨论)(xf的单调性； （ii）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf+； （iii）若函数)(xfy =的图像

9、与 x 轴交于 a，b 两点，线段 ab 中点的横坐标为 x0，证明：f （x0）0 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22（本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，a，b，c，d 四点在同一圆上，ad 的延长线与 bc 的延长线交于 e 点，且ec=ed （i）证明：cd/ab； （ii）延长 cd到 f，延长 dc到 g，使得 ef=eg，证明：a，b，g，f 四点共圆 23（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c

10、1的参数方程为=sincosyx（为参数），曲线c2的参数方程为=sincosbyax（0 ba，为参数），在以 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=与 c1，c2各有一个交点当=0 时，这两个交点间的距离为 2，当=2时，这两个交点重合 （i）分别说明 c1，c2是什么曲线，并求出 a 与 b的值； （ii）设当=4时，l 与 c1，c2的交点分别为 a1，b1，当=4时，l 与 c1，c2的交点为 a2，b2，求四边形 a1a2b2b1的面积 7 / 14 24（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数)(xf=|x-2|x-5| （i）证明：3)(xf

11、3； （ii）求不等式)(xfx28x+15的解集 参考答案 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题 15 bacdb 610 caddb 1112 bc 二、填空题 132 140.254

12、 152 3 163 三、解答题 17解： 8 / 14 （i）设等差数列na的公差为 d，由已知条件可得110,21210,adad+=+= 解得11,1.ad= 故数列na的通项公式为2.nan= 5分 （ii）设数列12nnnans的前 项和为，即2111,122nnnaasas=+=故， 12.2242nnnsaaa=+ 所以，当1n 时， 1211111222211121()2422121(1)22nnnnnnnnnnsaaaaaann=+= += .2nn 所以1.2nnns= 9 / 14 综上，数列11.22nnnnanns=的前 项和 12分 18解： 如图，以 d 为坐标原

13、点，线段 da 的长为单位长，射线 da 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 dxyz. （i）依题意有 q（1，1，0），c（0，0，1），p（0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1, 1,0).dqdcpq= 所以0,0.pq dqpq dc= 即 pqdq，pqdc. 故 pq平面 dcq. 又 pq平面 pqc，所以平面 pqc平面 dcq. 6 分 （ii）依题意有 b（1，0，1），(1,0,0),( 1,2, 1).cbbp= 设( , , )nx y z=是平面 pbc的法向量，则0,0,20.0,n cbxxyzn bp= +=即 因此可取(0, 1, 2)

14、.n = 设 m是平面 pbq 的法向量，则0,0.m bpm pq= 可取15(1,1,1).cos,.5mm n= 所以 故二面角 qbpc 的余弦值为15.5 12分 19解： （i）x可能的取值为 0，1，2，3，4，且 10 / 14 481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70p xcc cp xcc cp xcc cp xcp xc= 即 x 的分布列为 4 分 x的数学期望为 181881()012342.7035353570e x =+ + += 6 分 （ii）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方

15、差分别为： 222222221(403397390404388400412406)400,81(3( 3)( 10)4( 12)0126 )57.25.8xs=+=+ + + +=甲甲 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222222221(419403412418408423400413)412,81(7( 9)06( 4)11( 12)1 )56.8xs=+=+ + + +=乙乙 10 分 11 / 14 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20解：（i）因为 c1，c2的离心率相同，故依

16、题意可设 22222122242:1,:1,(0)xyb yxccababaa+=+= 设直线:(| |)l xtta=，分别与 c1，c2的方程联立，求得 2222( ,), ( ,).aba tatb tatba 4分 当13,22abebayy=时分别用表示 a，b 的纵坐标，可知 222|3|:|.2|4baybbcadya= 6分 （ii）t=0时的 l不符合题意.0t 时，bo/an 当且仅当 bo的斜率 kbo与 an 的斜率 kan-相等，即 2222,baatatabtta= 解得222221.abetaabe= = 因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得

17、 所以当202e时，不存在直线 l，使得 bo/an； 当212e时，存在直线 l使得 bo/an. 12 分 21解： 12 / 14 （i）( )(0,),f x+的定义域为 1(21)(1)( )2(2).xaxfxaxaxx+=+= （i）若0,( )0,( )(0,)afxf x+则所以在单调增加. （ii）若10,( )0,afxxa=则由得 且当11(0,),( )0,( )0.xfxxfxaa时当时 所以1( )(0,)f xa在单调增加，在1(,)a+单调减少. 4 分 （ii）设函数11( )()(),g xfxfxaa=+则 3222( )ln(1)ln(1)2,2( )

18、2.111g xaxaxaxaaa xg xaaxaxa x=+=+=+ 当10,( )0,(0)0,( )0 xg xgg xa=时而所以. 故当10 xa时，11()().fxfxaa+ 8 分 （iii）由（i）可得，当0,( )ayf x=时 函数的图像与 x 轴至多有一个交点， 故0a ，从而( )f x的最大值为11( ),( )0.ffaa且 不妨设1212121(,0), (,0),0,0.a xb xxxxxa则 由（ii）得111211()()()0.fxfxf xaaa=+= 从而1221021,.2xxxxxaa+=于是 由（i）知，0()0.fx 12分 13 / 14 22解： （i）因为 ec=ed，所以edc=ecd. 因为 a，b，c，d 四点在同一圆上，所以edc=eba. 故ecd=eba， 所以 cd/ab. 5分 （ii）由（i）知，ae=be，因为 ef=fg，故efd=egc 从而fed=gec. 连结 af，bg，则efaegb，故fae=g