2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理 (2)

1、1 / 9 北京理科北京理科 1.(2012 北京,理 1)已知集合 a=xr|3x+20,b=xr|(x+1)(x-3)0,则 ab=( ). a.(-,-1) b.21,-3 c.2,33 d.(3,+) d 由题意得,a=2x|x3 ,b=x|x3, 所以 ab=(3,+). 2.(2012 北京,理 2)设不等式组0 x2,0y2表示的平面区域为 d.在区域 d内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ). a.4 b.22 c.6 d.44 d 由题意知此概型为几何概型,设所求事件为 a,如图所示,边长为 2 的正方形区域为总度量 ,满足事件 a的是阴影部分区域 a

2、,故由几何概型的概率公式得:p(a)=22212242=44. 3.(2012 北京,理 3)设 a,br,“a=0”是“复数 a+bi是纯虚数”的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 b 由已知得,“a+bi是纯虚数”“a=0”,但“a=0”“复数 a+bi是纯虚数”,因此“a=0”是“复数 a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件. 4.(2012 北京,理 4)执行如图所示的程序框图,输出的 s值为( ). a.2 b.4 c.8 d.16 c 初始:k=0,s=1, 第一次循环:由 03,得 s=1 20=1,k=1; 第二次循环

3、:由 13,得 s=1 21=2,k=2; 第三次循环:由 23,得 s=2 22=8,k=3. 经判断此时要跳出循环,因此输出的 s 值为 8. 2 / 9 5.(2012 北京,理 5)如图,acb=90,cdab 于点 d,以 bd为直径的圆与 bc交于点 e,则( ). a.ce cb=ad db b.ce cb=ad ab c.ad ab=cd2 d.ce eb=cd2 a 由切割线定理得,cd2=ce cb, 又在 rtcab 中,acdcbd, cd2=ad db,ce cb=ad db. 6.(2012 北京,理 6)从 0,2中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无

4、重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ). a.24 b.18 c.12 d.6 b 先分成两类:(一)从 0,2中选数字 2,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23c 4=12; (二)从 0,2 中选数字 0,从 1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23c 2=6. 故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18. 7.(2012 北京,理 7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ). a.28+65 b.30+65 c.56+125 d.60+125 b 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为: 此几何体为一个底面为直角

5、三角形,高为 4 的三棱锥,因此表面积为s=12 (2+3) 4+12 4 5+12 4 (2+3)+12 2541 5=30+65. 8.(2012 北京,理 8)某棵果树前 n年的总产量 sn与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m年的年平均产量最高,m值为( ). a.5 b.7 3 / 9 c.9 d.11 c 结合 sn与 n的关系图象可知,前 2 年的产量均为 0,显然2s2=0 为最小,在第 3年第 9 年期间,sn的增长呈现持续稳定性,但在第 9年之后,sn的增速骤然降低.因为当 n=9时,9s9的值为最大,故 m值为 9. 9.(2012 北京,理 9)直线x2

6、t,y1 t=+= (t为参数)与曲线x3y3cossin=( 为参数)的交点个数为 . 2 由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为 x+y-1=0,x2+y2=9,进而求出圆心(0,0)到直线 x+y-1=0的距离 d=12=223,交点个数为 2. 10.(2012 北京,理 10)已知an为等差数列,sn为其前 n项和.若 a1=12,s2=a3,则a2= ,sn= . 1 14(n2+n) 由 a1=12,s2=a3得,a1+a2=a3,即 a3-a2=12, an是一个以 a1=12为首项,以12为公差的等差数列. an=12+(n-1)12=12n. a2=1,sn=n2(a1+a

7、n)=14n2+14n=14(n2+n). 11.(2012 北京,理 11)在abc 中,若 a=2,b+c=7,cos b=-14,则 b= . 4 由余弦定理得,cos b=222acb2ac+=224(7b)b2 2 (7b)+ =-14,解得 b=4. 12.(2012 北京,理 12)在直角坐标系 xoy中,直线 l过抛物线 y2=4x 的焦点 f,且与该抛物线相交于 a,b两点,其中点 a在 x轴上方.若直线 l的倾斜角为 60,则oaf 的面积为 . 3 由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线 l的方程为 y=tan 60(x-1),即 y=3x-3, 联立得2y3x3,y

8、4x.= 由得 x=33y+1, 将代入并整理得 y2-4 33y-4=0, 解得 y1=23或 y2=-233. 又点 a在 x 轴上方,a(3,23). soaf=12 |of| |y1|=12 1 23=3. 13.(2012 北京,理 13)已知正方形 abcd的边长为 1,点 e是 ab边上的动点,则decb的值为 ,dedc的最大值为 . 1 1 decb=(da+ae)cb=(cb+ae)cb=|cb|2+aecb. 因为aecb,所以aecb=0. 所以decb=12+0=1. dedc=(da+ae)dc=dadc+aedc=|dc|2(01), dedc的最大值为 1. 1

9、4.(2012 北京,理 14)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: xr,f(x)0 或 g(x)0; x(-,-4),f(x)g(x)0. 4 / 9 则 m的取值范围是 . (-4,-2) (一)由题意可知,m0时不能保证对xr,f(x)0或 g(x)0成立. (1)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,此时显然满足条件; (2)当-1m-(m+3),要使其满足条件, 则需1m0,2m1, 解得-1m0; (3)当 m2m,要使其满足条件, 则需m1,-(m3)1, +解得-4m-1. 因此满足条件的 m的取值范围为

10、(-4,0). (二)在满足条件的前提下,再探讨满足条件的 m的取值范围. (1)当 m=-1 时,在(-,-4)上,f(x)与 g(x)均小于 0,不合题意; (2)当 m-1 时,则需 2m-4,即 m-2,所以-4m-2; (3)当-1m0 时,则需-(m+3)1,此时无解. 综上所述满足两个条件的 m的取值范围为(-4,-2). 15.(2012 北京,理 15)已知函数 f(x)=(xx)2xxsincossinsin. (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由 sin x0 得 xk(kz), 故 f(x)的定义域为xr|xk,kz

11、. 因为 f(x)=(xx)2xxsincossinsin =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 =2sin2x4-1, 所以 f(x)的最小正周期 t=22=. (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为2k,2k22+(kz). 由 2k-22x-42k+2,xk(kz), 得 k-8xk+38,xk(kz). 所以 f(x)的单调递增区间为k,k8和3k ,k8+(kz). 16.(2012 北京,理 16)如图 1,在 rtabc中,c=90,bc=3,ac=6.d,e分别是 ac,ab 上的点,且 debc,de=2,将ade沿 de折起到a1

12、de 的位置,使 a1ccd,如图 2. 图 1 5 / 9 图 2 (1)求证:a1c平面 bcde; (2)若 m是 a1d 的中点,求 cm与平面 a1be所成角的大小; (3)线段 bc 上是否存在点 p,使平面 a1dp与平面 a1be垂直?说明理由. 解:(1)因为 acbc,debc, 所以 deac.所以 dea1d,decd. 所以 de平面 a1dc. 所以 dea1c. 又因为 a1ccd,所以 a1c平面 bcde. (2)如图,以 c 为坐标原点,建立空间直角坐标系 c-xyz, 则 a1(0,0,23),d(0,2,0),m(0,1,3),b(3,0,0),e(2,

13、2,0). 设平面 a1be的法向量为 n=(x,y,z), 则 n1a b=0,nbe=0. 又1a b=(3,0,-23),be=(-1,2,0), 所以3x2 3z0,x2y0.= += 令 y=1,则 x=2,z=3. 所以 n=(2,1,3). 设 cm 与平面 a1be 所成的角为 . 因为cm=(0,1,3), 所以 sin =|cos|=n?|n|cmcm=484=22, 所以 cm与平面 a1be所成角的大小为4. (3)线段 bc 上不存在点 p,使平面 a1dp 与平面 a1be垂直. 理由如下: 假设这样的点 p 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p0,3. 设平面

14、 a1dp 的法向量为 m=(x,y,z), 则 m1a d=0,mdp=0. 又1a d=(0,2,-23),dp=(p,-2,0), 所以2y2 3z0,px2y0.= 令 x=2,则 y=p,z=p3. 所以 m=p2,p,3. 平面 a1dp平面 a1be,当且仅当 m n=0, 即 4+p+p=0. 解得 p=-2,与 p0,3矛盾. 所以线段 bc 上不存在点 p,使平面 a1dp 与平面 a1be垂直. 6 / 9 17.(2012 北京,理 17)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分

15、类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000吨生活垃圾.数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c,其中a0,a+b+c=600,当数据 a,b,c 的方差 s2最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明),并求此时 s2的值. (求:s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)

16、2,其中x为数据 x1,x2,xn的平均数) 解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “”厨余垃圾 箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=400400 100 100+=23. (2)设生活垃圾投放错误为事件 a,则事件a表示生活垃圾投放正确. 事件a的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量, 即 p(a)约为400240601000+=0.7, 所以 p(a)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2取得最大值. 因为x=13(a+b+c)=200, 所以 s2=13 (600-200)2+(0-200

17、)2+(0-200)2=80 000. 18.(2012 北京,理 18)已知函数 f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b的值; (2)当 a2=4b时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值. 解:(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 所以 f(1)=g(1),且 f(1)=g(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3. (2)记 h

18、(x)=f(x)+g(x), 当 b=14a2时,h(x)=x3+ax2+14a2x+1, h(x)=3x2+2ax+14a2. 令 h(x)=0,得 x1=-a2,x2=-a6. a0 时,h(x)与 h(x)的情况如下: x ,-2a -2a ,-26aa -6a ,6a+ h(x) + 0 - 0 + h(x) 7 / 9 所以函数 h(x)的单调递增区间为a,-2和a,6+; 单调递减区间为aa,-26. 当-a2-1,即 0a2 时, 函数 h(x)在区间(-,-1上单调递增,h(x)在区间(-,-1上的最大值为 h(-1)=a-14a2. 当-a2-1,且-a6-1,即 2a6时,

19、 函数 h(x)在区间a,-2内单调递增,在区间a,-12上单调递减,h(x)在区间(-,-1上的最大值为ha2=1. 当-a66时, 函数 h(x)在区间a,-2内单调递增,在区间aa,-26内单调递减,在区间a,-16上单调递增, 又因为 ha2-h(-1)=1-a+14a2=14(a-2)20, 所以 h(x)在区间(-,-1上的最大值为 ha2=1. 19.(2012 北京,理 19)已知曲线 c:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mr). (1)若曲线 c 是焦点在 x轴上的椭圆,求 m的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y轴的交点为 a,b(点 a 位于点 b的上方),

20、直线 y=kx+4与曲线 c 交于不同的两点 m,n,直线 y=1 与直线 bm 交于点 g.求证:a,g,n 三点共线. 解:(1)曲线 c是焦点在 x轴上的椭圆, 当且仅当5m0,m20,88,5mm2 解得72m0,即 k232. 设点 m,n的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, x1+x2=216k12k+,x1x2=22412k+. 直线 bm的方程为 y+2=11y2x+x,点 g 的坐标为113x,1y2+. 因为直线 an和直线 ag的斜率分别为 kan=22y2x,kag=-11y23x+, 8 / 9 所以 kan-kag=

21、22y2x+11y23x+=22kx2x+11kx63x+=43k+12122(xx )x x+=43k+2216k212k2412k+=0, 即 kan=kag. 故 a,g,n三点共线. 20.(2012 北京,理 20)设 a 是由 m n个实数组成的 m行 n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于 1,且所有数的和为零.记 s(m,n)为所有这样的数表构成的集合. 对于 as(m,n),记 ri(a)为 a的第 i行各数之和(1im),cj(a)为 a 的第 j列各数之和(1jn); 记 k(a)为|r1(a)|,|r2(a)|,|rm(a)|,|c1(a)|,|c2(a)|,|cn(a)|中的最小值. (1)对如下数表 a,求 k(a)的值; 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 (2)设数表 as(2,3)形如 1 1 c a b -1 求 k(a)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 as(2,2t+1),求 k(a)的最大值. 解:(1)因为 r1(a)=1.2,r2(a)=-1.2,c1(a)=1.1,