2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理 (2)

1、1 / 12 大纲全国理科大纲全国理科 1.(2012 大纲全国,理 1)复数1 3i1 i +=( ). a.2+i b.2-i c.1+2i d.1-2i c 1 3i1 i +=(-1 3i)(1 i)(1 i)(1 i)+=21 i3i3i2 + + =24i2+=1+2i. 2.(2012 大纲全国,理 2)已知集合 a=1,3,m,b=1,m,ab=a,则 m=( ). a.0 或3 b.0或 3 c.1或3 d.1 或 3 b a=1,3,m,b=1,m,ab=a, m=3 或 m=m. m=3 或 m=0或 m=1. 当 m=1 时,与集合中元素的互异性不符,故选 b. 3.(

2、2012 大纲全国,理 3)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆的方程为( ). a.216x+212y=1 b.212x+28y=1 c.28x+24y=1 d.212x+24y=1 c 焦距为 4,即 2c=4,c=2. 又准线 x=-4,-2ac=-4. a2=8.b2=a2-c2=8-4=4. 椭圆的方程为28x+24y=1,故选 c. 4.(2012 大纲全国,理 4)已知正四棱柱 abcd-a1b1c1d1中,ab=2,cc1=22,e 为 cc1的中点,则直线ac1与平面 bed的距离为( ). a.2 b.3 c.2 d.1 2 / 12 d 连结 ac

3、交 bd于点 o,连结 oe, ab=2,ac=22. 又 cc1=22,则 ac=cc1. 作 chac1于点 h,交 oe于点 m. 由 oe为acc1的中位线知,cmoe,m 为 ch的中点. 由 bdac,ecbd 知,bd面 eoc, cmbd. cm面 bde. hm 为直线 ac1到平面 bde 的距离. 又acc1为等腰直角三角形,ch=2.hm=1. 5.(2012 大纲全国,理 5)已知等差数列an的前 n 项和为 sn,a5=5,s5=15,则数列11nna a+的前 100 项和为( ). a.100101 b.99101 c.99100 d.101100 a s5=1

4、55()2aa+=15(5)2a +=15,a1=1. d=515 1aa=5 15 1=1. an=1+(n-1) 1=n. 11nna a+=1(1)n n+. 设11nna a+的前 n项和为 tn, 则 t100=11 2+12 3+1100 101 =1-12+12-13+1100-1101 =1-1101=100101. 6.(2012 大纲全国,理 6)abc 中,ab 边的高为 cd.若cb=a,ca=b,a b=0,|a|=1,|b|=2,则ad=( ). a.13a-13b b.23a-23b c.35a-35b d.45a-45b 3 / 12 d a b=0,ab. 又

5、|a|=1,|b|=2, |ab|=5. |cd|=1 25=2 55. |ad|=222 525=4 55. ad=4 55ab5=4ab5=45(a-b)=45a-45b. 7.(2012 大纲全国,理 7)已知 为第二象限角,sin +cos =33,则 cos 2=( ). a.-53 b.-59 c.59 d.53 a sin +cos =33,且 为第二象限角, 32k,2k24+(kz). 234k,4k2+(kz). 由(sin +cos )2=1+sin 2=13, sin 2=-23.cos 2=-2213 =-53. 8.(2012 大纲全国,理 8)已知 f1,f2为双

6、曲线 c:x2-y2=2 的左、右焦点,点 p在 c上,|pf1|=2|pf2|,则 cosf1pf2=( ). a.14 b.35 c.34 d.45 c 设|pf2|=m,则|pf1|=2m,由双曲线定义:|pf1|-|pf2|=2a, 2m-m=22.m=22. 又 2c=222ab+=4, 由余弦定理可得 cosf1pf2=2221212|pf |pf |4c2|pf|pf |+=34. 9.(2012 大纲全国,理 9)已知 x=ln ,y=log52,z=12e,则( ). a.xyz b.zxy 4 / 12 c.zyx d.yz1,y=log52log55=12, z=12e=

7、1e14=12,且12ee0=1,yz0时,x1; 当 y0时,-1x1. 函数的递增区间为(-,-1)和(1,+),递减区间为(-1,1). x=-1 时,取得极大值;x=1时,取得极小值. 要使函数图象与 x轴恰有两个公共点,只需: f(-1)=0或 f(1)=0,即(-1)3-3 (-1)+c=0或 13-3 1+c=0, c=-2 或 c=2. 11.(2012 大纲全国,理 11)将字母 a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( ). a.12 种 b.18 种 c.24 种 d.36 种 a 当第一行为 a b 时,有

8、abbccb和abcabc两种情况, 当第一行为 a,b时,共有 4 种情况. 同理当第一行为 a,c时,共有 4种情况; 当第一行为 b,c 时,共有 4种情况; 不同的排列方法共有 12种. 12.(2012 大纲全国,理 12)正方形 abcd的边长为 1,点 e在边 ab上,点 f在边 bc上,ae=bf=37.动点p 从 e出发沿直线向 f运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点 p第一次碰到 e 时,p与正方形的边碰撞的次数为( ). a.16 b.14 c.12 d.10 b 结合已知中的点 e,f的位置,由反射与对称的关系,可将点 p的运动路线展开成直线,如

9、图. 5 / 12 当点 p 碰到 e时,m为偶数,且m33n77+=34,即 4m=3n. 故 m的最小值为 6.n=8,线段 pe 与网格线交点的个数为(除 e 点外)6+8=14 个. (pe的方程为:y=34x-928,即 4y=3x-97,x,y不能同时为整数,所以 pe 不过网格交点) 13.(2012 大纲全国,理 13)若 x,y 满足约束条件xy 10,xy30,x3y30,+ +则 z=3x-y 的最小值为 . -1 由题意画出可行域,由 z=3x-y 得 y=3x-z,要使 z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过 a(0,1)时,z最小. zmin=3 0-1=-1.

10、14.(2012 大纲全国,理 14)当函数 y=sin x-3cos x(0 x2)取得最大值时,x= . 56 y=sin x-3cos x=213xx22sincos=2sinx3. 当 y取最大值时,x-3=2k+2, x=2k+56. 又0 x0, 8 / 12 则 p(0,0,2),e4 22,0,33,b(2,-b,0). 于是pc=(22,0,-2),be=22,b,33,de=22,-b,33, 从而pcbe=0,pcde=0, 故 pcbe,pcde. 又 bede=e,所以 pc平面 bde. (2)ap=(0,0,2),ab=(2,-b,0). 设 m=(x,y,z)为

11、平面 pab 的法向量, 则 map=0,mab=0, 即 2z=0且2x-by=0, 令 x=b,则 m=(b,2,0). 设 n=(p,q,r)为平面 pbc 的法向量, 则 npc=0,nbe=0, 即 22p-2r=0且2p3+bq+23r=0, 令 p=1,则 r=2,q=-2b,n=21,-, 2b. 因为面 pab面 pbc,故 m n=0,即 b-2b=0,故 b=2, 于是 n=(1,-1,2),dp=(-2,-2,2), cos=n?|n|dp|dp=12,=60. 因为 pd与平面 pbc所成角和互余,故 pd 与平面 pbc 所成的角为 30. 19.(2012 大纲全

12、国,理 19)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10平前,一方连续发球 2次后,对方再连续发球 2次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2的概率; (2) 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望. 解:记 ai表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i分,i=0,1,2; a表示事件:第 3次发球,甲得 1分; b表示事件:开始第 4次发球时,甲、乙的比分为 1比 2. (1)b

13、=a0 a+a1a, p(a)=0.4,p(a0)=0.42=0.16,p(a1)=2 0.6 0.4=0.48, p(b)=p(a0 a+a1a) =p(a0 a)+p(a1a) =p(a0)p(a)+p(a1)p(a) =0.16 0.4+0.48 (1-0.4)=0.352. 9 / 12 (2)p(a2)=0.62=0.36. 的可能取值为 0,1,2,3. p(=0)=p(a2 a)=p(a2)p(a)=0.36 0.4=0.144, p(=2)=p(b)=0.352, p(=3)=p(a0a)=p(a0)p(a)=0.16 0.6=0.096, p(=1)=1-p(=0)-p(=2

14、)-p(=3) =1-0.144-0.352-0.096=0.408. e()=0 p(=0)+1 p(=1)+2 p(=2)+3 p(=3) =0.408+2 0.352+3 0.096=1.400. 20.(2012 大纲全国,理 20)设函数 f(x)=ax+cos x,x0,. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 f(x)1+sin x,求 a的取值范围. 解:(1)f(x)=a-sin x. 当 a1时,f(x)0,且仅当 a=1,x=2时,f(x)=0,所以 f(x)在0,是增函数; 当 a0时,f(x)0,且仅当 a=0,x=0或 x=时,f(x)=0, 所以 f(x)在0

15、,是减函数; 当 0a1 时,由 f(x)=0解得 x1=arcsin a,x2=-arcsin a. 当 x0,x1)时,sin x0,f(x)是增函数; 当 x(x1,x2)时,sin xa,f(x)0,f(x)是减函数; 当 x(x2,时,sin x0,f(x)是增函数. (2)由 f(x)1+sin x 得 f()1,a-11, 所以 a2. 令 g(x)=sin x-20 x2x, 则 g(x)=cos x-2. 当 x20,arccos时,g(x)0, 当 x2,2arccos时,g(x)0)有一个公共点 a,且在a处两曲线的切线为同一直线 l. (1)求 r; (2)设 m,n是

16、异于 l且与 c及 m都相切的两条直线,m,n 的交点为 d,求 d到 l的距离. 解:(1)设 a(x0,(x0+1)2),对 y=(x+1)2求导得 y=2(x+1), 故 l的斜率 k=2(x0+1). 当 x0=1时,不合题意,所以 x01. 圆心为 m11,2,ma的斜率 k=2001(x1)2x1+. 由 lma知 k k=-1, 即 2(x0+1)2001(x1)2x1+=-1, 解得 x0=0,故 a(0,1), r=|ma|=221(1 0)12+=52,即 r=52. (2)设(t,(t+1)2)为 c 上一点,则在该点处的切线方程为 y-(t+1)2=2(t+1)(x-t

17、), 即 y=2(t+1)x-t2+1. 若该直线与圆 m 相切,则圆心 m到该切线的距离为52, 即22212(t1) 1t122(t1)(-1)+ +=52, 化简得 t2(t2-4t-6)=0, 解得 t0=0,t1=2+10,t2=2-10. 抛物线 c 在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为 l,m,n,其方程分别为 y=2x+1, y=2(t1+1)x-21t+1, y=2(t2+1)x-22t+1, -得 x=12tt2+=2. 11 / 12 将 x=2代入得 y=-1,故 d(2,-1). 所以 d到 l的距离 d=22|2 2-(-1) 1|2(-1)

18、+=6 55. 22.(2012 大纲全国,理 22)函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点 p(4,5),qn(xn,f(xn)的直线 pqn与 x 轴交点的横坐标. (1)证明:2xnxn+13; (2)求数列xn的通项公式. 解:(1)用数学归纳法证明:2xnxn+13. 当 n=1 时,x1=2,直线 pq1的方程为 y-5=f(2)-524(x-4), 令 y=0,解得 x2=114,所以 2x1x23. 假设当 n=k 时,结论成立,即 2xkxk+13. 直线 pqk+1的方程为 y-5=k 1k 1f(x)-5x4+(x-4), 令 y=0,解得 xk+2=k 1k