2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷) (2)

1、1 / 13 江苏江苏 数学试题 参考公式: 样本数据 x1,x2,xn的方差 s2=1=1(xi-)2,其中 =1=1xi.棱锥的体积公式:v=13sh,其中 s 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:v=sh,其中 s是柱体的底面积,h为高. 一、填空题:本大题共 14小题,每小题 5分,共计 70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(2013 江苏,1)函数 y=3sin(2 +4)的最小正周期为 . 答案: 解析:函数 y=3sin(2 +4)的最小正周期 t=22=. 2.(2013 江苏,2)设 z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数 z的模为 . 答案:5 解析:|z

2、|=|(2-i)2|=|4-4i+i2|=|3-4i|=32+ (-4)2=5. 3.(2013 江苏,3)双曲线21629=1 的两条渐近线的方程为 . 答案:y=34x 解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为 y=34x. 4.(2013 江苏,4)集合-1,0,1共有 个子集. 答案:8 解析:由于集合-1,0,1有 3个元素,故其子集个数为 23=8. 5.(2013 江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的 n的值是 . 答案:3 解析:第一次循环后:a8,n2; 2 / 13 第二次循环后:a26,n3; 由于 2620,跳出循环, 输出 n=3. 6.(2013 江苏,6)抽

3、样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 答案:2 解析:由题中数据可得甲=90,乙=90. 于是甲2=15(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2=4,乙2=15(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2=2, 由甲2 乙2,可知乙运动员成绩稳定.故应填 2. 7.(2013 江苏,7)现有某类

4、病毒记作 xmyn,其中正整数 m,n(m7,n9)可以任意选取,则 m,n都取到奇数的概率为 . 答案:2063 解析:由题意知 m 的可能取值为 1,2,3,7;n的可能取值为 1,2,3,9.由于是任取 m,n:若 m=1 时,n可取 1,2,3,9,共 9 种情况;同理 m 取 2,3,7时,n 也各有 9种情况,故 m,n的取值情况共有 79=63种.若 m,n都取奇数,则 m的取值为 1,3,5,7,n的取值为 1,3,5,7,9,因此满足条件的情形有 45=20 种.故所求概率为2063. 8.(2013 江苏,8)如图,在三棱柱 a1b1c1-abc 中,d,e,f分别是 ab

5、,ac,aa1的中点,设三棱锥 f-ade的体积为 v1,三棱柱 a1b1c1-abc的体积为 v2,则 v1v2= . 答案:124 解析:由题意可知点 f 到面 abc的距离与点 a1到面 abc 的距离之比为 12,sadesabc=14. 因此 v1v2=13af2=124. 3 / 13 9.(2013 江苏,9)抛物线 y=x2在 x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 d(包含三角形内部和边界).若点 p(x,y)是区域 d内的任意一点,则 x+2y的取值范围是 . 答案:-2,12 解析:由题意可知抛物线 y=x2在 x=1 处的切线方程为 y=2x-1.该切线与两坐标轴围成

6、的区域如图中阴影部分所示: 当直线 x+2y=0 平移到过点 a(12,0)时,x+2y 取得最大值12. 当直线 x+2y=0 平移到过点 b(0,-1)时,x+2y 取得最小值-2. 因此所求的 x+2y 的取值范围为-2,12. 10.(2013 江苏,10)设 d,e分别是abc 的边 ab,bc上的点,ad=12ab,be=23bc.若 =1 +2 (1,2为实数),则 1+2的值为 . 答案:12 解析: 由题意作图如图.在abc中, = + =12 +23 =12 +23( )=-16 +23 =1 +2 ,1=-16,2=23. 故 1+2=12. 11.(2013 江苏,11

7、)已知 f(x)是定义在 r 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为 . 答案:(-5,0)(5,+) 解析:函数 f(x)为奇函数,且 x0时,f(x)=x2-4x,则 f(x)=x2-4x,x 0,0,x = 0,-x2-4x,x 0,x2-4x x,或x x. 4 / 13 由此可解得 x5或-5x0,b0),右焦点为 f,右准线为 l,短轴的一个端点为 b.设原点到直线 bf 的距离为 d1,f 到 l的距离为 d2.若 d2=6d1,则椭圆 c的离心率为 . 答案:33 解析:设椭圆 c的半焦距为 c,由题意可设直线 bf的方程为xc

8、+yb=1,即 bx+cy-bc=0.于是可知d1=bcb2+c2=bca,d2=a2c-c=a2-c2c=b2c. d2=6d1,b2c=6bca,即 ab=6c2. a2(a2-c2)=6c4.6e4+e2-1=0.e2=13. e=33. 13.(2013 江苏,13)在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 a(a,a),p是函数 y=1x(x0)图象上一动点.若点 p,a之间的最短距离为 22,则满足条件的实数 a 的所有值为 . 答案:-1,10 解析:设 p点的坐标为(x,1x),则|pa|2=(x-a)2+(1x-a)2= (x2+1x2)-2a(x +1x)+2a2.令 t=x+

9、1x2,则|pa|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t2). 结合题意可知 (1)当 a2,t=2时,|pa|2取得最小值.此时(2-a)2+a2-2=8,解得 a=-1,a=3(舍去). (2)当 a2,t=a 时,|pa|2取得最小值.此时 a2-2=8,解得 a=10,a=-10(舍去).故满足条件的实数 a的所有值为10,-1. 14.(2013 江苏,14)在正项等比数列an中,a5=12,a6+a7=3.则满足 a1+a2+ana1a2an的最大正整数 n的值为 . 答案:12 解析:设正项等比数列an的公比为 q,则由 a5=12,a6+a7=a5(q+q2)

10、=3可得 q=2,于是 an=2n-6, 则 a1+a2+an=132(1-2n)1-2=2n-5-132. 5 / 13 a5=12,q=2, a6=1,a1a11=a2a10=a62=1. a1a2a11=1.当 n 取 12时,a1+a2+a12=27-132a1a2a11a12=a12=26成立;当 n取 13时,a1+a2+a13=28-13213时,随着 n 增大 a1+a2+an将恒小于a1a2an.因此所求 n的最大值为 12. 二、解答题:本大题共 6小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(2013 江苏,15)(本

11、小题满分 14分)已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0. (1)若|a-b|=2,求证:ab; (2)设 c=(0,1),若 a-b=c,求 , 的值. (1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2ab=2,即 ab=0. 故 ab. (2)解:因为 a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以 + = 0, + = 1, 由此得 cos =cos(-).由 0,得 0-,又 0,所以 =56,=6. 16.(2013 江苏,16)(本小题满分 14

12、分)如图,在三棱锥 s-abc 中,平面 sab平面 sbc,abbc,as=ab.过 a 作 afsb,垂足为 f,点 e,g分别是棱 sa,sc的中点. 求证:(1)平面 efg平面 abc; (2)bcsa. 6 / 13 证明:(1)因为 as=ab,afsb,垂足为 f,所以 f 是 sb 的中点.又因为 e 是 sa 的中点,所以 efab. 因为 ef平面 abc,ab平面 abc, 所以 ef平面 abc. 同理 eg平面 abc.又 efeg=e, 所以平面 efg平面 abc. (2)因为平面 sab平面 sbc,且交线为 sb,又 af平面 sab,afsb,所以 af平

13、面 sbc.因为bc平面 sbc,所以 afbc. 又因为 abbc,afab=a,af,ab平面 sab,所以 bc平面 sab. 因为 sa平面 sab,所以 bcsa. 17.(2013 江苏,17)(本小题满分 14分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 a(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 c的半径为 1,圆心在 l上. (1)若圆心 c 也在直线 y=x-1 上,过点 a作圆 c 的切线,求切线的方程; (2)若圆 c上存在点 m,使 ma=2mo,求圆心 c 的横坐标 a的取值范围. 解:(1)由题设,圆心 c 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 c(

14、3,2),于是切线的斜率必存在. 设过 a(0,3)的圆 c的切线方程为 y=kx+3, 由题意,|3k+1|k2+1=1,解得 k=0或-34, 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4上,所以圆 c的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1. 设点 m(x,y),因为 ma=2mo, 所以x2+ (y-3)2=2x2+ y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 m 在以 d(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 7 / 13 由题意,点 m(x,y)在圆 c 上,所以圆 c 与圆 d有公共点,则|2-1|cd

15、2+1, 即 1a2+ (2a-3)23. 由 5a2-12a+80,得 ar; 由 5a2-12a0,得 0a125. 所以点 c 的横坐标 a的取值范围为0,125. 18.(2013 江苏,18)(本小题满分 16分) 如图,游客从某旅游景区的景点 a处下山至 c处有两种路径.一种是从 a 沿直线步行到 c,另一种是先从 a沿索道乘缆车到 b,然后从 b 沿直线步行到 c. 现有甲、乙两位游客从 a 处下山,甲沿 ac 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 a乘缆车到 b,在 b处停留 1 min后,再从 b 匀速步行到 c.假设缆车匀速直线运动的速度为 1

16、30 m/min,山路ac 长为 1 260 m,经测量,cos a=1213,cos c=35. (1)求索道 ab的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 解:(1)在abc 中,因为 cos a=1213,cos c=35,所以 sin a=513,sin c=45. 从而 sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=51335+121345=6365. 由正弦定理abc=acb,得 ab=acbsin c=1 26063654

17、5=1 040(m). 所以索道 ab 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 a 处 130t m, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2 130t (100+50t)1213=200(37t2-70t+50), 因 0t1 040130,即 0t8,故当 t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理bca=acb,得 bc=acbsin a=1 2606365513=500(m). 乙从 b出发时,甲已走了 50 (2+8+1)=550(m),还需走

18、710 m 才能到达 c. 8 / 13 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3500v710503,解得1 25043v62514,所以为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在1 25043,62514(单位:m/min)范围内. 19.(2013 江苏,19)(本小题满分 16分)设an是首项为 a,公差为 d的等差数列(d0),sn是其前 n 项和.记bn=nsnn2+c,nn*,其中 c 为实数. (1)若 c=0,且 b1,b2,b4成等比数列,证明:snk=n2sk(k,nn*); (2)若bn是等差数列,证明:c=0. 证明:由题设,s

19、n=na+n(n-1)2d. (1)由 c=0,得 bn=snn=a+n-12d.又因为 b1,b2,b4成等比数列,所以b22=b1b4, 即(a +d2)2=a(a +32d),化简得 d2-2ad=0.因为 d0,所以 d=2a. 因此,对于所有的 mn*,有 sm=m2a. 从而对于所有的 k,nn*,有 snk=(nk)2a=n2k2a=n2sk. (2)设数列bn的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即nsnn2+c=b1+(n-1)d1,nn*,代入 sn的表达式,整理得,对于所有的 nn*,有(d1-12d)n3+(b1-d1-a +12d)n2+cd1n=c(d1-

20、b1). 令 a=d1-12d,b=b1-d1-a+12d,d=c(d1-b1),则对于所有的 nn*,有 an3+bn2+cd1n=d.(*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 a+b+cd1=8a+4b+2cd1=27a+9b+3cd1=64a+16b+4cd1, 从而有7a + 3b + cd1= 0,19a + 5b + cd1= 0,21a + 5b + cd1= 0, 由,得 a=0,cd1=-5b,代入方程,得 b=0,从而 cd1=0. 即 d1-12d=0,b1-d1-a+12d=0,cd1=0. 若 d1=0,则由 d1-12d=0,得 d=0,与题设矛盾,所以

21、d10. 又因为 cd1=0,所以 c=0. 20.(2013 江苏,20)(本小题满分 16分)设函数 f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中 a 为实数. 9 / 13 (1)若 f(x)在(1,+)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+)上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g(x)在(-1,+)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)令 f(x)=1x-a=1-axx0,进而解得 xa-1,即 f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于 f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a

22、-1,+),从而a-11,即 a1.令 g(x)=ex-a=0,得 x=ln a.当 xln a时,g(x)ln a时,g(x)0.又 g(x)在(1,+)上有最小值,所以 ln a1,即 ae. 综上,有 a(e,+). (2)当 a0时,g(x)必为单调增函数;当 a0时,令 g(x)=ex-a0,解得 aln a. 因为 g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有 ln a-1,即 00,得 f(x)存在唯一的零点; 当 a0 时,由于 f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数 f(x)在ea,1上的图象不间断,所以 f(x)在(ea,1)上存在零点. 另外,当 x0时,

23、f(x)=1x-a0,故 f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点. 当 0ae-1时,令 f(x)=1x-a=0,解得 x=a-1.当 0 x0,当 xa-1时,f(x)0,即 0ae-1时,f(x)有两个零点. 实际上,对于 0ae-1,由于 f(e-1)=-1-ae-10,且函数 f(x)在e-1,a-1上的图象不间断,所以 f(x)在(e-1,a-1)上存在零点. 另外,当 x(0,a-1)时,f(x)=1x-a0,故 f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以 f(x)在(0,a-1)上只有一个零点. 下面考虑 f(x)在(a-1,+)上的情况.先证 f(ea

24、-1)=a(a-2-ea-1)e时,exx2.设 h(x)=ex-x2,则 h(x)=ex-2x,再设 l(x)=h(x)=ex-2x,则 l(x)=ex-2. 10 / 13 当 x1时,l(x)=ex-2e-20,所以 l(x)=h(x)在(1,+)上是单调增函数.故当 x2时,h(x)=ex-2xh(2)=e2-40, 从而 h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当 xe 时, h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当 xe时,exx2. 当 0ae时,f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)0,且函数 f(x)在a-1,ea-1上的图象不间断,所以 f(x)

25、在(a-1,ea-1)上存在零点.又当 xa-1时,f(x)=1x-a0,故 f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以 f(x)在(a-1,+)上只有一个零点. 综合,当 a0或 a=e-1时,f(x)的零点个数为 1, 当 0a0,求证:2a3-b32ab2-a2b. 证明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 ab0,所以 a-b0,a+b0,2a+b0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即 2a3-b32ab2-a2b. 【必做题】第 22题、第 23 题,每题 10 分

26、,共计 20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(2013 江苏,22)(本小题满分 10分)如图,在直三棱柱 a1b1c1-abc中,abac,ab=ac=2,a1a=4,点d是 bc 的中点. (1)求异面直线 a1b与 c1d 所成角的余弦值; (2)求平面 adc1与平面 aba1所成二面角的正弦值. 解:(1)以 a为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 a-xyz, 12 / 13 则 a(0,0,0),b(2,0,0),c(0,2,0),d(1,1,0),a1(0,0,4),c1(0,2,4), 所以a1b =(2,0,-4),c1d

27、 =(1,-1,-4). 因为 cos=a1b c1d |a1b |c1d | =182018=31010, 所以异面直线 a1b 与 c1d所成角的余弦值为31010. (2)设平面 adc1的法向量为 n1=(x,y,z),因为ad =(1,1,0),ac1 =(0,2,4),所以 n1ad =0,n1ac1 =0,即x+y=0且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面 adc1的一个法向量.取平面 aa1b的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 adc1与平面 aba1所成二面角的大小为 . 由|cos |=|n1n2|1|2| =291=23,得 sin =53. 因此,平面 adc1与平面 aba1所成二面角的正弦值为53. 23.(2013 江苏,23)(本小题满分 10分)设数列an:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,(-1)k-1k,(-1)k-1k k 个,即当(k-1)k2nk(k+1)2(kn*)时,an=(-1)k-1k.记 sn=a1+a2+an(nn*).对于 ln*,定义集合 pl=n|sn是 an的整数倍,nn*,且 1nl. (1)求集合 p11中元素的个数; (