2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文 (2)

1、1 / 14 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷辽宁卷) 数 学(供文科考生使用) 注意事项: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。 第卷 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(

2、2013 辽宁,文 1)已知集合 a=0,1,2,3,4,b=x|x|2,则 ab=( ). a.0 b.0,1 c.0,2 d.0,1,2 答案:b 解析:|x|2,x(-2,2),即 b=x|-2x0 的等差数列an的四个命题: p1:数列an是递增数列; p2:数列nan是递增数列; p3:数列是递增数列; p4:数列an+3nd是递增数列. 其中的真命题为( ). a.p1,p2 b.p3,p4 c.p2,p3 d.p1,p4 答案:d 解析:如数列-2,-1,0,1,2,则 1a1=2a2,排除 p2,如数列 1,2,3,则=1,排除 p3,故选 d. 5.(2013 辽宁,文 5)

3、某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60),60,80),80,100.若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( ). a.45 b.50 c.55 d.60 答案:b 解析:根据频率分布直方图,低于 60分的人所占频率为:(0.005+0.01)20=0.3,故该班的学生数为150.3=50,故选 b. 6.(2013 辽宁,文 6)在abc中,内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,若 asin bcos c+csin bcos a=12b,且 ab,则b=( ). a.6 b.3 c.23 d.56 答案:a 解析:根

4、据正弦定理 asin bcos c+csin bcos a=12b 等价于 sin acos c+sin ccos a=12, 即 sin(a+c)=12. 又 ab,所以 a+c=56,所以 b=6.故选 a. 3 / 14 7.(2013 辽宁,文 7)已知函数 f(x)=ln(1 + 92-3x)+1,则 f(lg 2)+f(lg12)=( ). a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:d 解析:f(x)=ln(1 + 92-3x)+1, f(-x)=ln(1 + 92+3x)+1, f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2, 又 lg12=-lg 2, f(lg 2)+f(lg12)

5、=2,故选 d. 8.(2013 辽宁,文 8)执行如图所示的程序框图,若输入 n=8,则输出 s=( ). a.49 b.67 c.89 d.1011 答案:a 解析:当 n=8时,输出的 s=0+122-1+142-1+162-1+182-1 =113+135+157+179 =12(11-13+13-15+15-17+17-19) =49, 故选 a. 9.(2013 辽宁,文 9)已知点 o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若oab 为直角三角形,则必有( ). a.b=a3 4 / 14 b.b=a3+1 c.(b-a3)(-3-1)=0 d.|b-a3|+|-3-1|=0

6、答案:c 解析:若oba为直角,则 =0, 即 a2+(a3-b)a3=0, 又 a0,故 b=a3+1; 若oab 为直角时, =0,即 b(a3-b)=0,得 b=a3; 若aob 为直角,则不可能.所以 b-a3-1=0 或 b-a3=0,故选 c. 10.(2013 辽宁,文 10)已知直三棱柱 abc-a1b1c1的 6个顶点都在球 o 的球面上.若ab=3,ac=4,abac,aa1=12,则球 o的半径为( ). a.3172 b.210 c.132 d.310 答案:c 解析:过 c,b分别作 ab,ac的平行线交于点 d,过 c1,b1分别作 a1b1,a1c1的平行线交于

7、d1,连接 dd1,则 abcd-a1b1c1d1恰为该球的内接长方体,故该球的半径 r=32+42+1222=132,故选 c. 11.(2013 辽宁,文 11)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的左焦点为 f,c与过原点的直线相交于 a,b 两点,连接 af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,则 c 的离心率为( ). a.35 b.57 c.45 d.67 答案:b 5 / 14 解析:如图所示,根据余弦定理,|af|2=|bf|2+|ab|2-2|bf|ab|cosabf,即|af|=6,又|of|2=|bf|2+|ob|2-2|ob|bf|cosabf,

8、即|of|=5.又根据椭圆的对称性,|af|+|bf|=2a=14,a=7,|of|=5=c,所以离心率为57,故选 b. 12.(2013 辽宁,文 12)已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设h1(x)=maxf(x),g(x),h2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示 p,q 中的较大值,minp,q表示 p,q中的较小值).记 h1(x)的最小值为 a,h2(x)的最大值为 b,则 a-b=( ). a.a2-2a-16 b.a2+2a-16 c.-16 d.16 答案:c 解析:f(x)-g(x)=2x2-4ax+

9、2a2-8 =2x-(a-2)x-(a+2), h1(x)=(),(-,-2,(),(-2, + 2),(), + 2, + ), h2(x)=(),(-,-2,(),(-2, + 2),(), + 2, + ), 可求得 h1(x)的最小值 a=f(a+2)=-4a-4,h2(x)的最大值 b=g(a-2)=-4a+12, a-b=-16.故选 c. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22题第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5分。 13.(2013 辽宁,文 13)某几何体的三视图如

10、图所示,则该几何体的体积是 . 6 / 14 答案:16-16 解析:由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为 2的正四棱柱,故体积为 224-224=16-16. 14.(2013 辽宁,文 14)已知等比数列an是递增数列,sn是an的前 n项和.若 a1,a3是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 s6= . 答案:63 解析:x2-5x+4=0 的两根为 1 和 4,又数列递增, 所以 a1=1,a3=4,q=2. 所以 s6=1(1-26)1-2=63. 15.(2013 辽宁,文 15)已知 f 为双曲线 c:29216=1的左焦点,p,

11、q为 c 上的点.若 pq 的长等于虚轴长的 2倍,点 a(5,0)在线段 pq 上,则pqf的周长为 . 答案:44 解析: 如图所示,设双曲线右焦点为 f1,则 f1与 a 重合,坐标为(5,0),则|pf|=|pf1|+2a,|qf|=|qf1|+2a,所以|pf|+|qf|=|pq|+4a=4b+4a=28,pqf 周长为 28+4b=44. 16.(2013 辽宁,文 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10 解析:设

12、 5 个班级的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则1+2+3+4+55=7, (1-7)2+ (2-7)2+ (3-7)2+ (4-7)2+ (5-7)25 7 / 14 =4, 即 5个整数平方和为 20,最大的数比 7 大不能超过 3,否则方差超过 4,故最大值为 10,最小值为 4. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(2013 辽宁,文 17)(本小题满分 12 分)设向量 a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a b,求 f(x)的最大值. 解:(

13、1)由|a|2=(3sin x)2+sin2x=4sin2x, |b|2=cos2x+sin2x=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. 又 x0,2,从而 sin x=12. 所以 x=6. (2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x =32sin 2x-12cos 2x+12 =sin(2x-6) +12. 当 x=3 0,2时,sin(2x-6)取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为32. 18.(2013 辽宁,文 18)(本小题满分 12 分)如图,ab 是圆 o 的直径,pa垂直圆 o所在的平面,c 是圆 o上的点. (1)求证:bc平面 pac; (2)设

14、 q 为 pa的中点,g 为aoc的重心,求证:qg平面 pbc. 证明:(1)由 ab是圆 o的直径,得 acbc. 由 pa平面 abc,bc平面 abc,得 pabc. 8 / 14 又 paac=a,pa平面 pac,ac平面 pac, 所以 bc平面 pac. (2)连 og并延长交 ac 于 m,连接 qm,qo,由 g为aoc 的重心,得 m 为 ac中点. 由 q 为 pa中点,得 qmpc. 又 o 为 ab中点,得 ombc. 因为 qmmo=m,qm平面 qmo, mo平面 qmo,bcpc=c, bc平面 pbc,pc平面 pbc, 所以平面 qmo平面 pbc. 因为

15、 qg平面 qmo, 所以 qg平面 pbc. 19.(2013 辽宁,文 19)(本小题满分 12 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2道题解答.试求: (1)所取的 2道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2道题不是同一类题的概率. 解:(1)将 4道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题,基本事件为:1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 a 表示“都是甲类题”这一事件,则 a包

16、含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6 个,所以 p(a)=615=25. 9 / 14 (2)基本事件同(1),用 b表示“不是同一类题”这一事件,则 b包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共 8 个,所以 p(b)=815. 20.(2013 辽宁,文 20)(本小题满分 12 分)如图,抛物线 c1:x2=4y,c2:x2=-2py(p0).点 m(x0,y0)在抛物线c2上,过 m 作 c1的切线,切点为 a,b(m为原点 o时,a,b重合于 o).当 x0=1-2时,切线 ma的斜率为-12. (1)求 p的值;

17、 (2)当 m在 c2上运动时,求线段 ab中点 n的轨迹方程(a,b重合于 o时,中点为 o). 解:(1)因为抛物线 c1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为 y=x2,且切线 ma的斜率为-12,所以 a点坐标为(-1,14),故切线 ma的方程为 y=-12(x+1)+14. 因为点 m(1-2,y0)在切线 ma及抛物线 c2上, 于是 y0=-12(2-2)+14=-3-224, y0=-(1-2)22p=-3-222p. 由得 p=2. (2)设 n(x,y),a(x1,x124),b(x2,x224),x1x2,由 n为线段 ab 中点知 x=x1+x22, y=x12

18、+x228. 切线 ma,mb的方程为 y=x12(x-x1)+x124, y=x22(x-x2)+x224. 由得 ma,mb的交点 m(x0,y0)的坐标为 x0=x1+x22,y0=x1x24. 因为点 m(x0,y0)在 c2上,即x02=-4y0, 所以 x1x2=-x12+x226. 10 / 14 由得 x2=43y,x0. 当 x1=x2时,a,b重合于原点 o,ab中点 n 为 o,坐标满足 x2=43y. 因此 ab中点 n的轨迹方程为 x2=43y. 21.(2013 辽宁,文 21)(本小题满分 12 分) (1)证明:当 x0,1时,22xsin xx; (2)若不等

19、式 ax+x2+x32+2(x+2)cos x4对 x0,1恒成立,求实数 a的取值范围. (1)证明:记 f(x)=sin x-22x,则 f(x)=cos x-22. 当 x(0,4)时,f(x)0,f(x)在0,4上是增函数; 当 x(4,1)时,f(x)0,所以当 x0,1时,f(x)0,即 sin x22x. 记 h(x)=sin x-x,则当 x(0,1)时,h(x)=cos x-1-2时, 不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cos x4 对 x0,1不恒成立. 因为当 x0,1时, ax+x2+x32+2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+x32-4(x+2)s

20、in2x2 (a+2)x+x2+x32-4(x+2)(x2)2 =(a+2)x-x2-x32 (a+2)x-32x2 =-32xx-23(a + 2). 所以存在 x0(0,1)(例如 x0取a+23和12中的较小值)满足 ax0+x02+x032+2(x0+2)cos x0-40, 即当 a-2时, 不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cos x-40 对 x0,1不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是(-,-2. 解法二:记 f(x)=ax+x2+x32+2(x+2)cos x-4,则 f(x)=a+2x+3x22+2cos x-2(x+2)sin x. 记 g(x)=f(x),则

21、g(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 当 x(0,1)时,cos x12,因此 g(x)2+3x-422x-(x+2) =(2-22)x0. 于是 f(x)在0,1上是减函数,因此,当 x(0,1)时,f(x)f(0)=a+2,故当 a-2时,f(x)-2时, 12 / 14 不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cos x4 对 x0,1不恒成立. 由于 f(x)在0,1上是减函数,且 f(0)=a+20,f(1)=a+72+2cos 1-6sin 1. 当 a6sin 1-2cos 1-72时,f(1)0,所以当 x(0,1)时,f(x)0,因此 f(x)在0,1上

22、是增函数,故 f(1)f(0)=0; 当-2a6sin 1-2cos 1-72时,f(1)0,故存在 x0(0,1)使 f(x0)=0,则当 0 xf(x0)=0.所以 f(x)在0,x0上是增函数,所以当 x(0,x0)时,f(x)f(0)=0. 所以,当 a-2时, 不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cos x4 对 x0,1不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是(-,-2. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22.(2013 辽宁,文 22)(本小题满分 10 分)选

23、修 4-1:几何证明选讲 如图,ab为o 直径,直线 cd 与o相切于 e,ad垂直 cd于 d,bc 垂直 cd 于 c,ef垂直 ab于 f,连接 ae,be.证明: (1)feb=ceb; (2)ef2=ad bc. 证明:(1)由直线 cd与o 相切,得ceb=eab. 由 ab为o的直径,得 aeeb, 从而 eab+ebf=2; 又 efab,得feb+ebf=2, 从而feb=eab. 13 / 14 故feb=ceb. (2)由 bcce,efab,feb=ceb,be是公共边, 得 rtbcertbfe,所以 bc=bf. 类似可证:rtadertafe,得 ad=af. 又在 rtaeb中,efab,故 ef2=afbf, 所以 ef2=adbc. 23.(2013 辽宁,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 c1,直线 c2的极坐标方程分别为 =4sin ,cos(-4)=22. (1)求 c1与 c2交点的极坐标; (2)设 p 为 c1的圆心,q 为 c