2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ卷)文 (2)

1、1 / 12 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国课标全国文科数学文科数学 注意事项: 1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第卷时,选出每小题答案后,用 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.

2、(2013 课标全国,文 1)已知集合 m=x|-3xb0)的左、右焦点分别为 f1,f2,p是 c上的点,pf2f1f2,pf1f2=30 ,则 c 的离心率为( ). a.36 b.13 c.12 d.33 答案:d 解析:如图所示,在 rtpf1f2中,|f1f2|=2c, 设|pf2|=x,则|pf1|=2x, 由 tan 30 =|2|12|=2=33,得 x=233c. 而由椭圆定义得,|pf1|+|pf2|=2a=3x, a=32x=3c,e=3c=33. 3 / 12 6.(2013 课标全国,文 6)已知 sin 2=23,则 cos2( +4)=( ). a.16 b.13

3、 c.12 d.23 答案:a 解析:由半角公式可得,cos2( +4) =1+cos(2+2)2=1-sin22=1-232=16. 7.(2013 课标全国,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 n=4,那么输出的 s=( ). a.1+12+13+14 b.1+12+132+1432 c.1+12+13+14+15 d.1+12+132+1432+15432 答案:b 解析:由程序框图依次可得,输入 n=4, t=1,s=1,k=2; t=12,s=1+12,k=3; t=132,s=1+12+132,k=4; t=1432,s=1+12+132+1432,k=5; 输出 s=1+12

4、+132+1432. 4 / 12 8.(2013 课标全国,文 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ). a.acb b.bca c.cba d.cab 答案:d 解析:log25log231,log2311log231log250,即 log231log32log520,cab. 9.(2013 课标全国,文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 o-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zox 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 答案:a 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐

5、标系 o-xyz 的图像为下图: 则它在平面 zox 的投影即正视图为,故选 a. 10.(2013 课标全国,文 10)设抛物线 c:y2=4x的焦点为 f,直线 l过 f且与 c交于 a,b两点.若|af|=3|bf|,则 l的方程为( ). a.y=x-1 或 y=-x+1 b.y=33(x-1)或 y=-33(x-1) c.y=3(x-1)或 y=-3(x-1) d.y=22(x-1)或 y=-22(x-1) 答案:c 解析:由题意可得抛物线焦点 f(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l的斜率大于 0 时,如图所示,过 a,b两点分别向准线 x=-1作垂线,垂足分别为 m,n,

6、则由抛物线定义可得,|am|=|af|,|bn|=|bf|. 5 / 12 设|am|=|af|=3t(t0),|bn|=|bf|=t,|bk|=x,而|gf|=2, 在amk 中,由|=|,得3=+4, 解得 x=2t,则 cosnbk=|=12, nbk=60 ,则gfk=60 ,即直线 ab的倾斜角为 60 . 斜率 k=tan 60 =3,故直线方程为 y=3(x-1). 当直线 l的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y=-3(x-1),故选 c. 11.(2013 课标全国,文 11)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ). a.x0r,f

7、(x0)=0 b.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 c.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-,x0)单调递减 d.若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 答案:c 解析:若 x0是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故 c 不正确. 12.(2013 课标全国,文 12)若存在正数 x使 2x(x-a)x-(12)(x0). 令 f(x)=x-(12),该函数在(0,+)上为增函数,可知 f(x)的值域为(-1,+),故 a-1时,存在正数 x使原不等式成立. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第

8、 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22题第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5分. 13.(2013 课标全国,文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 . 答案:0.2 解析:该事件基本事件空间 =(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有 10个,记a=“其和为 5”=(1,4),(2,3)有 2个,p(a)=210=0.2. 14.(2013 课标全国,文 14)已知正方形 abcd的边长为 2,e为 cd的中点,

9、则 = . 答案:2 解析:以 , 为基底,则 =0, 而 =12 + , = , = (12 + )( )=-12| |2+| |2=-1222+22=2. 15.(2013 课标全国,文 15)已知正四棱锥 o-abcd的体积为322,底面边长为3,则以 o为球心,oa为半径的球的表面积为 . 答案:24 解析:如图所示,在正四棱锥 o-abcd中,vo-abcd=13s正方形abcd|oo1|=13(3)2|oo1|=322, 7 / 12 |oo1|=322,|ao1|=62, 在 rtoo1a 中,oa=|1|2+ |a1|2=(322)2+ (62)2= 6,即 r=6, s球=4

10、r2=24. 16.(2013 课标全国,文 16)函数 y=cos(2x+)(-)的图像向右平移2个单位后,与函数 y=sin(2 +3)的图像重合,则 = . 答案:56 解析:y=cos(2x+)向右平移2个单位得,y=cos2(-2) + =cos(2x-+)=sin(2- + +2)=sin(2 + -2),而它与函数 y=sin(2 +3)的图像重合,令 2x+-2=2x+3+2k,kz, 得 =56+2k,kz. 又-,=56. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国,文 17)(本小题满分 12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=2

11、5,且 a1,a11,a13成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+a3n-2. 解:(1)设an的公差为 d. 由题意,112=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 sn=a1+a4+a7+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为 25,公差为-6的等差数列. 从而 sn=2(a1+a3n-2)=2(-6n+56)=-3n2+28n. 8 / 12 18.(2013 课标全国,文 18)(本小

12、题满分 12分)如图,直三棱柱 abc-a1b1c1中,d,e分别是 ab,bb1的中点. (1)证明:bc1平面 a1cd; (2)设 aa1=ac=cb=2,ab=22,求三棱锥 c-a1de的体积. 解:(1)连结 ac1交 a1c 于点 f,则 f 为 ac1中点. 又 d 是 ab 中点,连结 df,则 bc1df. 因为 df平面 a1cd,bc1平面 a1cd, 所以 bc1平面 a1cd. (2)因为 abc-a1b1c1是直三棱柱,所以 aa1cd. 由已知 ac=cb,d为 ab的中点,所以 cdab. 又 aa1ab=a,于是 cd平面 abb1a1. 由 aa1=ac=

13、cb=2,ab=22得acb=90 ,cd=2,a1d=6,de=3,a1e=3, 故 a1d2+de2=a1e2,即 dea1d. 所以-1de=1312 6 3 2=1. 19.(2013 课标全国,文 19)(本小题满分 12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t该产品获利润 500元,未售出的产品,每 1 t亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的9 / 12 频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t该农产品.以 x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,t(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品

14、的利润. (1)将 t表示为 x 的函数; (2)根据直方图估计利润 t不少于 57 000元的概率. 解:(1)当 x100,130)时,t=500x-300(130-x)=800x-39 000. 当 x130,150时,t=500130=65 000. 所以 t=800-39 000,100 130,65 000,130 150. (2)由(1)知利润 t 不少于 57 000元当且仅当 120x150. 由直方图知需求量 x120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 t不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20.(2013 课标全国,文 20)(本小题满分

15、 12分)在平面直角坐标系 xoy中,已知圆 p在 x轴上截得线段长为 22,在 y轴上截得线段长为 23. (1)求圆心 p 的轨迹方程; (2)若 p 点到直线 y=x的距离为22,求圆 p的方程. 解:(1)设 p(x,y),圆 p的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 p 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 p(x0,y0).由已知得|0-0|2=22. 又 p 点在双曲线 y2-x2=1 上, 从而得|0-0| = 1,02-02= 1. 由0-0= 1,02-02= 1得0= 0,0= -1. 此时,圆 p 的半径 r=3.

16、 10 / 12 由0-0= -1,02-02= 1得0= 0,0= 1. 此时,圆 p 的半径 r=3. 故圆 p的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 21.(2013 课标全国,文 21)(本小题满分 12分)已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l的斜率为负数时,求 l在 x 轴上截距的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-,+), f(x)=-e-xx(x-2). 当 x(-,0)或 x(2,+)时,f(x)0. 所以 f(x)在(-,0),(2,+)单调递减,在(0,2)单调递增. 故

17、当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; 当 x=2时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2. (2)设切点为(t,f(t), 则 l的方程为 y=f(t)(x-t)+f(t). 所以 l在 x轴上的截距为 m(t)=t-()()=t+-2=t-2+2-2+3. 由已知和得 t(-,0)(2,+). 令 h(x)=x+2(x0),则当 x(0,+)时,h(x)的取值范围为22,+); 当 x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3). 所以当 t(-,0)(2,+)时,m(t)的取值范围是(-,0)22+3,+). 综上,l在 x轴上的截距的取值范围是(-

18、,0)22+3,+). 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2b 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分. 22.(2013 课标全国,文 22)(本小题满分 10分)选修 41:几何证明选讲 如图,cd 为abc外接圆的切线,ab 的延长线交直线 cd 于点 d,e,f 分别为弦 ab与弦 ac 上的点,且bc ae=dc af,b,e,f,c 四点共圆. 11 / 12 (1)证明:ca是abc外接圆的直径; (2)若 db=be=ea,求过 b,e,f,c 四点的圆的面积与abc 外接圆面

19、积的比值. 解:(1)因为 cd为abc外接圆的切线, 所以dcb=a. 由题设知=, 故cdbaef,所以dbc=efa. 因为 b,e,f,c四点共圆, 所以cfe=dbc,故efa=cfe=90 . 所以cba=90 , 因此 ca 是abc 外接圆的直径. (2)连结 ce,因为cbe=90 , 所以过 b,e,f,c 四点的圆的直径为 ce, 由 db=be,有 ce=dc,又 bc2=dbba=2db2,所以 ca2=4db2+bc2=6db2. 而 dc2=dbda=3db2,故过 b,e,f,c 四点的圆的面积与abc 外接圆面积的比值为12. 23.(2013 课标全国,文 23)