2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)理 (2)

1、1 / 9 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 数学(理科) 第一部分(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2014 陕西,理 1)集合 m=x|x0,xr,n=x|x21,xr,则 mn=( ). a.0,1 b.0,1) c.(0,1 d.(0,1) 答案:b 解析:n=x|x21,xr=x|-1x1, mn=x|x0 x|-1x1 =x|0 x2,所以可取 n=3,则 a1=2 1=2,s=a1=2,i=1+1=2. 判断 23 是否满足?否,返回运算 a2=2s=4,i=

2、3,s=a2=4, 判断 33 是否满足?否,返回运算 a3=2s=8, 因此 a1=2,a2=4,a3=8,只有 c 选项符合. 5.(2014 陕西,理 5)已知底面边长为 1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ). a.323 b.4 c.2 d.43 答案:d 2 / 9 解析:依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径 r,则 2r=12+ 12+ (2)2=2,解得 r=1, 所以 v=43r3=43. 6.(2014 陕西,理 6)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

3、). a.15 b.25 c.35 d.45 答案:c 解析:从 5 个点取 2 个共有52=10 种取法,而不小于正方形边长的只有 4 条边与 2 条对角线,共 6 种, 所以 p=610=35. 7.(2014 陕西,理 7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ). a.f(x)=x12 b.f(x)=x3 c.f(x)=(12)x d.f(x)=3x 答案:d 解析:由于 axay=ax+y, 所以指数函数 f(x)=ax满足 f(x+y)=f(x)f(y), 且当 a1 时单调递增,0a1 时单调递减, 所以 f(x)=3x满足题意. 8.(2014

4、陕西,理 8)原命题为“若 z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ). a.真,假,真 b.假,假,真 c.真,真,假 d.假,假,假 答案:b 解析:易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真, 设 z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|, 但是 z1与 z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假. 9.(2014 陕西,理 9)设样本数据 x1,x2,x10的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为( ). a.1

5、+a,4 b.1+a,4+a c.1,4 d.1,4+a 答案:a 解析:y =x1+a+x2+a+x3+a+x10+a10 =10 x+10a10= x+a=1+a. s2= x1+a-(1+a)2+x2+a-(1+a)2+x10+a-(1+a)210 =(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)210 =4. 10.(2014 陕西,理 10)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 a 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( ). a.y=1125x3-35x b.y=2125x3-45x c.y=3125x3-x

6、d.y=-3125x3+15x 3 / 9 答案:a 解析:由图像可知函数在 x= 5 处切线平行于 x 轴,即 f(5)=0,f(-5)=0,只有 a选项 f(x)=35(x225-1)符合. 第二部分(共 100 分) 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.(2014 陕西,理 11)已知 4a=2,lg x=a,则 x= . 答案:10 解析:4a=2,a=log42=12. 由 lg x=12,得 x=1012= 10. 12.(2014 陕西,理 12)若圆 c 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x

7、 对称,则圆 c 的标准方程为 . 答案:x2+(y-1)2=1 解析:因为(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1),所以圆 c 是以(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,其方程为 x2+(y-1)2=1. 13.(2014 陕西,理 13)设 02,向量 a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若 ab,则 tan = . 答案:12 解析:由 ab,得 sin 2=cos2, 即 2sin cos =cos2,因为 02, 所以 cos 0,整理得 2sin =cos . 所以 tan =12. 14.(2014 陕西,理 14)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(f)

8、顶点数(v) 棱数(e) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 f,v,e 所满足的等式是 . 答案:f+v-e=2 解析:因为 5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2,故可猜想 f+v-e=2. 15.(2014 陕西,理 15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) a.(不等式选做题)设 a,b,m,nr,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+ n2的最小值为 . 答案:5 解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2, 即 5(m2+n2)25, m2+n25,当

9、且仅当 an=bm 时,等号成立. m2+ n2的最小值为5. b.(几何证明选做题)如图,abc 中,bc=6,以 bc 为直径的半圆分别交 ab,ac 于点 e,f,若 ac=2ae,则ef= . 答案:3 4 / 9 解析:由已知得四边形 bcfe 为圆的内接四边形,因此aef=acb,afe=abc,所以aefacb,于是有aeac=efcb,而 ac=2ae,bc=6,所以 ef=3. c.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2,6)到直线 sin(-6)=1 的距离是 . 答案:1 解析:sin(-6)=(6-6)=1, 因为在极坐标系中 cos =x,sin =y, 所以

10、直线可化为 x-3y+2=0. 同理点(2,6)可化为(3,1), 所以点到直线距离为 d=|3-3+2|3+1=1. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分). 16.(本小题满分 12 分)(2014 陕西,理 16)abc 的内角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin a+sin c=2sin(a+c); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos b 的最小值. 分析:在(1)问中结合等差数列性质,得出 a,b,c 之间关系,再利用正弦定理转化为角的关系,进而结合三角形内角和为 ,利用诱导

11、公式将角 b 转化为用角 a 和 c 来表示,从而达到证明目标等式.在(2)问利用等比数列基本性质,得出 a,b,c 之间关系,再结合余弦定理,表达出 cos b 的式子,依据基本不等式得出其范围,注意等号成立的条件. 解:(1)a,b,c 成等差数列,a+c=2b. 由正弦定理得 sin a+sin c=2sin b. sin b=sin-(a+c)=sin(a+c), sin a+sin c=2sin(a+c). (2)a,b,c 成等比数列,b2=ac. 由余弦定理得 cos b=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12, 当且仅当 a=c 时等号成立. c

12、os b 的最小值为12. 17.(本小题满分 12 分)(2014 陕西,理 17)四面体 abcd 及其三视图如图所示,过棱 ab 的中点 e作平行于 ad,bc的平面分别交四面体的棱 bd,dc,ca 于点 f,g,h. (1)证明:四边形 efgh 是矩形; (2)求直线 ab 与平面 efgh 夹角 的正弦值. 分析:在(1)问中,先证四边形 efgh 是平行四边形,利用线面平行得出线线平行,便可达到求证两组对边分别平行的目的,即可得证四边形 efgh 为平行四边形.再根据线线垂直得到线面垂直,从而得到平行四边形 efgh 中相邻两边垂直.最后证得 efgh 是矩形.(2)问中,建立

13、合理的空间直角坐标系,借助于空间向量来解决.线面角的正弦值,即为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.关键是求平面的法向量,要先设出法向量,再根据法向量和平面内的两个不共线向量的数量积分别为零求出法向量. (1)证明:由该四面体的三视图可知, bddc,bdad,addc,bd=dc=2,ad=1, 由题设,bc平面 efgh, 5 / 9 平面 efgh平面 bdc=fg, 平面 efgh平面 abc=eh, bcfg,bceh,fgeh. 同理 efad,hgad,efhg. 四边形 efgh 是平行四边形. 又addc,adbd,ad平面 bdc. adbc.effg. 四

14、边形 efgh 是矩形. (2)解法一:如图,以 d 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则 d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0), da =(0,0,1),bc =(-2,2,0),ba =(-2,0,1). 设平面 efgh 的法向量 n=(x,y,z), efad,fgbc, nda =0,nbc =0, 得z = 0,-2x + 2y = 0,取 n=(1,1,0). sin =|cos|=| n| |n| =252=105. 解法二:如图,以 d 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则 d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),

15、 e是 ab 的中点,f,g分别是 bd,dc 的中点,得 e(1,0,12),f(1,0,0),g(0,1,0). fe = (0,0,12),fg =(-1,1,0),ba =(-2,0,1). 设平面 efgh 的法向量 n=(x,y,z), 则 nfe =0,nfg =0. 得12z = 0,-x + y = 0,取 n=(1,1,0). sin =|cos|=| n| |n| =252=105. 18.(本小题满分 12 分)(2014 陕西,理 18)在直角坐标系 xoy 中,已知点 a(1,1),b(2,3),c(3,2),点 p(x,y)在abc 三边围成的区域(含边界)上.

16、(1)若pa + pb + pc =0,求|op |; (2)设op =mab +nac (m,nr),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. 分析:在(1)问中,解法一利用坐标运算,可求得 p 点坐标,进而结合向量模的运算,求得|op |.解法二结合向量的几何运算,把已知向量用oa ,ob ,oc 和op 来表示,进而利用oa ,ob ,oc 把op 表示出来,即可达到求|op |的目的.在(2)问中,结合题目要求,借助于向量运算,利用 y-x 将 m-n 表示出来,从而转化为线性规划问题,画出可行域可得出 m-n 的最大值. 解:(1)解法一:pa + pb + pc =0,

17、又pa + pb + pc =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 6-3x = 0,6-3y = 0,解得 x=2,y=2. 即op =(2,2),故|op |=22. 解法二:pa + pb + pc =0, 则(oa op )+(ob op )+(oc op )=0, op =13(oa + ob + oc )=(2,2), |op |=22. 6 / 9 (2)op =mab +nac , (x,y)=(m+2n,2m+n), x = m + 2n,y = 2m + n. 两式相减得 m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=

18、x+t过点 b(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1. 19.(本小题满分 12 分)(2014 陕西,理 19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1 000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)设 x 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 x 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于2 000 元的概率. 分析:在(1)问中,结合问题,先设

19、出基本事件,可知有四种可能,利用所给数据,结合独立事件的概率计算公式,可分别计算出结果,进而列出分布列.对于第(2)问,利用(1)问的结果,可求得每季利润不少于 2 000 元的概率,则 3 季利润至少有 2 季不少于 2 000 元可分为两类,一是 3 季利润均不少于 2 000 元,二是 3 季中有 2 季利润不少于 2 000元,分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率,相加便可得出结论. 解:(1)设 a 表示事件“作物产量为 300 kg”,b 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”, 由题设知 p(a)=0.5,p(b)=0.4, 利润=产量 市场价格-成本, x 所有可能的

20、取值为 500 10-1 000=4 000,500 6-1 000=2 000, 300 10-1 000=2 000,300 6-1 000=800. p(x=4 000)=p(a)p(b)=(1-0.5) (1-0.4)=0.3, p(x=2 000)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=(1-0.5) 0.4+0.5 (1-0.4)=0.5, p(x=800)=p(a)p(b)=0.5 0.4=0.2, 所以 x 的分布列为 x 4 000 2 000 800 p 0.3 0.5 0.2 (2)设 ci表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i=1,2,3), 由题意知 c1

21、,c2,c3相互独立,由(1)知, p(ci)=p(x=4 000)+p(x=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 p(c1c2c3)=p(c1)p(c2)p(c3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为 p(c1c2c3)+p(c1c2c3)+p(c1c2c3)=3 0.82 0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 7 / 9 20.(本小题满分 13 分)(2014 陕西,理 20)如图,曲线 c

22、 由上半椭圆 c1:y2a2+x2b2=1(ab0,y0)和部分抛物线 c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1与 c2的公共点为 a,b,其中 c1的离心率为32. (1)求 a,b 的值; (2)过点 b 的直线 l 与 c1,c2分别交于点 p,q(均异于点 a,b),若 apaq,求直线 l 的方程. 分析:在第(1)问中,利用公共点 a,b 是椭圆的两个顶点,可求出 b 的值,再结合离心率 e=ca的值,以及 a2-c2=b2关系式可求得 a 的值.对于第(2)问,结合第(1)问结论,可先设出直线 l 的方程,l 与 c1联立得出 p 的坐标,l 与 c2联立得出 q 的坐标,进而

23、利用 apaq,借助于ap aq =0 或 kapkaq=-1,可列出关于 k 的方程,从而求解得出 k 值,故可求得直线方程. 解:(1)在 c1,c2的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 a(-1,0),b(1,0)是上半椭圆 c1的左右顶点. 设 c1的半焦距为 c,由ca=32及 a2-c2=b2=1 得 a=2. a=2,b=1. (2)由(1)知,上半椭圆 c1的方程为y24+x2=1(y0). 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k0), 代入 c1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 p 的坐标为(xp,yp

24、), 直线 l 过点 b,x=1 是方程(*)的一个根. 由求根公式,得 xp=k2-4k2+4,从而 yp=-8kk2+4, 点 p 的坐标为(k2-4k2+4,-8kk2+4). 同理,由y = k(x-1)(k 0),y = -x2+ 1(y 0), 得点 q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). ap =2kk2+4(k,-4),aq =-k(1,k+2). apaq,ap aq =0, 即-2k2k2+4k-4(k+2)=0, k0,k-4(k+2)=0,解得 k=-83. 经检验,k=-83符合题意, 故直线 l 的方程为 y=-83(x-1). 21.(本小题满分 14 分)(2

25、014 陕西,理 21)设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中 f(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 nn+,比较 g(1)+g(2)+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明. 分析:对于(1)问,可利用其性质,先求 g1(x),再由 g1(x)求 g2(x),再由 g2(x)求 g3(x),由归纳推理得出 gn(x),再使用数学归纳法证明即可.对于(2)问恒成立问题,分析题目特点,选择适当的证明方法

26、:构造新函数大于等于 0 恒成立,即新函数的最小值大于 0,借助于导函数,研究其单调性,此时要注意参数范围的讨论,最后取其并集即可.第(3)问,可先对 n 进行赋值,总结出两者的大小关系,然后化简得到所证不等式.证明可用以下三种方法:一是所证不等式为关于 n 的命题,故可利用数学归纳法证明,证明过程注意(2)中结论的应用;二是根据所证不等式的结构特征,利用(2)中的结论通过赋值构造系列不等式,然后利用累加法证明;三是可根据不等式中各数代表的几何意义,并利用定积分的几何意义进行证明. 解:由题设得,g(x)=x1+x(x0). 8 / 9 (1)由已知,g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x)=x1+x1+x1+x=x1+2x, g3(x)=x1+3x,可得 gn(x)=x1+nx. 下面用数学归纳法证明. 当 n=1 时,g1(x)=x1+x,结论成立. 假设