2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷)

1、1 / 9 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 湖南文科数学 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 湖南,文 1)已知(1-i)2=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( ) a.1+i b.1-i c.-1+i d.-1-i 答案:d 解析:由已知得 z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i. 2.(2015 湖

2、南,文 2)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是( ) a.3 b.4 c.5 d.6 答案:b 解析:依题意,应将 35 名运动员的成绩由好到差排序后分为 7 组,每组 5 人.然后从每组中抽取 1 人,其中成绩在区间139,151上的运动员恰好是第 2,3,4,5 组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是 4. 3.(2015 湖南,文 3)设 xr,则“x1”是“x31”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件

3、d.既不充分也不必要条件 答案:c 解析:由 x1 能推得 x31,充分性成立. 由 x31 得(x-1)(x2+x+1)0, x2+x+10 恒成立,x1, “x1”是“x31”的充要条件.故选 c. 4.(2015 湖南,文 4)若变量 x,y满足约束条件 + 1,- 1, 1,则 z=2x-y 的最小值为( ) a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:a 2 / 9 解析:画出满足约束条件的平面区域如图. 作直线 y=2x,平移直线 y=2x,当 x=0,y=1,即直线过点 a(0,1)时,z 取得最小值,此时 zmin=20-1=-1.故选 a. 5.(2015 湖南,文 5)执行如图

4、所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 s=( ) a.67 b.37 c.89 d.49 答案:b 解析:由题意得,输出的 s 为数列1(2-1)(2+1)的前 3 项和,而1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1),即 sn=12(1-12+1) =2+1.故当输入 n=3 时,s=s3=37,故选 b. 6.(2015 湖南,文 6)若双曲线2222=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( ) a.73 b.54 c.43 d.53 答案:d 解析:双曲线的渐近线方程为 y=x,且过点(3,-4), -4=-3,=43. 离心率 e=1 + ()2=1 +

5、 (43)2=53,故选 d. 7.(2015 湖南,文 7)若实数 a,b满足1+2= ,则 ab 的最小值为( ) a.2 b.2 c.22 d.4 答案:c 解析:由已知1+2= ,可知 a,b 同号,且均大于 0. 3 / 9 由 =1+222,得 ab22. 即当且仅当1=2,即 b=2a 时等号成立,故选 c. 8.(2015 湖南,文 8)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( ) a.奇函数,且在(0,1)上是增函数 b.奇函数,且在(0,1)上是减函数 c.偶函数,且在(0,1)上是增函数 d.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案:a 解析:要使

6、函数有意义,应满足1 + 0,1- 0,解得-1x0)相交于 a,b两点,且aob=120 (o 为坐标原点),则r= . 答案:2 解析:如图所示,由题意知,圆心 o 到直线 3x-4y+5=0 的距离|oc|=532+(-4)2=1,故圆的半径 r=1cos60=2. 14.(2015 湖南,文 14)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 . 5 / 9 答案:(0,2) 解析: 函数 f(x)的零点个数即为函数 g(x)=|2x-2|=2-2, 1,2-2, 1的图象与直线 y=b 的交点个数. 如图,分别作出函数 y=g(x)与直线 y=a 的图象,

7、由图可知,当 0a0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则 = . 答案:2 解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象.a,b为符合条件的两交点. 则 a(4,2),b(-34,-2),由|ab|=23,得()2+ (22)2=23,解得=2,即 =2. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2015 湖南,文 16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有 2 个

8、红球 a1,a2和 1 个白球 b的甲箱与装有 2 个红球 a1,a2和 2 个白球 b1,b2的乙箱中,各随机摸出 1个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果. (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由. 解:(1)所有可能的摸出结果是a1,a1,a1,a2,a1,b1,a1,b2,a2,a1,a2,a2,a2,b1,a2,b2,b,a1,b,a2,b,b1,b,b2. (2)不正确.理由如下: 由(1)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为a1,a

9、1,a1,a2,a2,a1,a2,a2,共 4 种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为 1-13=2313.故这种说法不正确. 17.(本小题满分 12 分)(2015 湖南,文 17)设abc 的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c,a=btan a. (1)证明:sin b=cos a; (2)若 sin c-sin acos b=34,且 b 为钝角,求 a,b,c. 解:(1)由 a=btan a及正弦定理,得sincos=sinsin,所以 sin b=cos a. 6 / 9 (2)因为 sin c-sin acos b=sin180 -(a+b)-sin acos

10、 b=sin(a+b)-sin acos b=sin acos b+cos asin b-sin acos b=cos asin b,所以 cos asin b=34. 由(1)sin b=cos a,因此 sin2b=34. 又 b为钝角,所以 sin b=32,故 b=120 . 由 cos a=sin b=32知 a=30 .从而 c=180 -(a+b)=30 . 综上所述,a=30 ,b=120 ,c=30 . 18.(本小题满分 12 分)(2015 湖南,文 18)如图,直三棱柱 abc-a1b1c1的底面是边长为 2 的正三角形,e,f分别是bc,cc1的中点. (1)证明:平

11、面 aef平面 b1bcc1; (2)若直线 a1c 与平面 a1abb1所成的角为 45 ,求三棱锥 f-aec 的体积. 解: (1)证明:如图,因为三棱柱 abc-a1b1c1是直三棱柱,所以 aebb1. 又 e是正三角形 abc 的边 bc 的中点,所以 aebc. 因此,ae平面 b1bcc1. 而 ae平面 aef,所以,平面 aef平面 b1bcc1. (2)设 ab的中点为 d,连结 a1d,cd. 因为abc 是正三角形,所以 cdab. 又三棱柱 abc-a1b1c1是直三棱柱,所以 cdaa1. 因此 cd平面 a1abb1,于是ca1d 为直线 a1c 与平面 a1a

12、bb1所成的角. 由题设,ca1d=45 ,所以 a1d=cd=32ab=3. 在 rtaa1d 中,aa1=12-2= 3-1 = 2,所以 fc=12aa1=22. 7 / 9 故三棱锥 f-aec 的体积 v=13saec fc=133222=612. 19.(本小题满分 13 分)(2015 湖南,文 19)设数列an的前 n 项和为 sn,已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3sn-sn+1+3,nn*. (1)证明:an+2=3an; (2)求 sn. 解:(1)由条件,对任意 nn*,有 an+2=3sn-sn+1+3, 因而对任意 nn*,n2,有 an+1=3sn-1-s

13、n+3. 两式相减,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n2. 又 a1=1,a2=2,所以 a3=3s1-s2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故对一切 nn*,an+2=3an. (2)由(1)知,an0,所以+2=3,于是数列a2n-1是首项 a1=1,公比为 3 的等比数列;数列a2n是首项 a2=2,公比为 3 的等比数列. 因此 a2n-1=3n-1,a2n=23n-1. 于是 s2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=3(3-1)2,

14、从而 s2n-1=s2n-a2n=3(3-1)2-23n-1=32(53n-2-1). 综上所述,sn=32(5 3-22-1),当是奇数,32(32-1),当是偶数. 20.(本小题满分 13 分)(2015 湖南,文 20)已知抛物线 c1:x2=4y 的焦点 f也是椭圆 c2:22+22=1(ab0)的一个焦点.c1与 c2的公共弦的长为 26.过点 f的直线 l 与 c1相交于 a,b两点,与 c2相交于 c,d 两点,且 与 同向. (1)求 c2的方程; (2)若|ac|=|bd|,求直线 l 的斜率. 解:(1)由 c1:x2=4y 知其焦点 f 的坐标为(0,1). 因为 f也

15、是椭圆 c2的一个焦点,所以 a2-b2=1. 又 c1与 c2的公共弦的长为 26,c1与 c2都关于 y 轴对称,且 c1的方程为 x2=4y,由此易知 c1与 c2的公共点的坐标为(6,32),所以942+62=1. 联立,得 a2=9,b2=8,故 c2的方程为29+28=1. (2)如图,设 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4). 8 / 9 因 与 同向,且|ac|=|bd|,所以 = ,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4, 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方

16、程为 y=kx+1. 由 = + 1,2= 4,得 x2-4kx-4=0,而 x1,x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由 = + 1,28+29= 1得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而 x3,x4是这个方程的两根, 所以 x3+x4=-169+82,x3x4=-649+82. 将,代入,得 16(k2+1)=1622(9+82)2+464982,即 16(k2+1)=1629(2+1)(9+82)2,所以(9+8k2)2=169,解得 k=64,即直线 l 的斜率为64. 21.(本小题满分 13 分)(2015 湖南,文 21)已知 a0,函数 f(x)=aexcos x(x0,+).记 xn为 f(x)的从小到大的第 n(nn*)个极值点. (1)证明:数列f(xn)是等比数列; (2)若对一切 nn*,xn|f(xn)|恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=aexcos x-aexsin x=2aexcos( +4). 令 f(x)=0,由 x0,得 x+4=m-2, 即 x=m-34,mn*. 而对于 cos( +4),当 kz 时,若 2k-2x+42k+2,即 2k-34x0; 若