2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(重庆卷)

1、1 / 9 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 重庆文科数学 数学试题卷(文史类)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2b 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5

2、 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 重庆,文 1)已知集合 a=1,2,3,b=1,3,则 ab=( ) a.2 b.1,2 c.1,3 d.1,2,3 答案:c 解析:因为 a=1,2,3,b=1,3,所以 ab=1,3. 2.(2015 重庆,文 2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) a.充要条件 b.充分而不必要条件 c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件 答案:a 解析:当 x=1 时,x2-2x+1=12-21+1=0;当 x2-2x+1=0 时,有(x-1)2=0,即 x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=

3、0”的充要条件. 3.(2015 重庆,文 3)函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 ( ) a.-3,1 b.(-3,1) c.(-,-31,+) d.(-,-3)(1,+) 答案:d 解析:要使函数有意义,应满足 x2+2x-30,解得 x1 或 x0,b0)的右焦点是 f,左、右顶点分别是 a1,a2,过 f 作 a1a2的垂线与双曲线交于 b,c 两点.若 a1ba2c,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) a.12 b.22 c. 1 d. 2 答案:c 解析:依题意知 a1(-a,0),a2(a,0),f(c,0),不妨设点 b在点 f 的上方,点 c 在点 f的下方,

4、 则 b(,2),c(,-2), 因为 a1ba2c,所以12=-1. 而1=2-0-(-)=2(+),2=0-(-2)-=2(-),所以2(+)2(-)=-1,即42(2-2)=-1,所以 b4=a2b2,从而 b2=a2,即b=a,所以=1,故双曲线的渐近线的斜率为 1. 10.(2015 重庆,文 10)若不等式组 + -2 0, + 2-2 0,- + 2 0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则 m 的值为( ) a.-3 b.1 c.43 d.3 答案:b 解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式 x-y+2m0 表示的平面区域为直线 x-y+2m=0 下方的

5、区域,且-2m-1.这时平面区域为三角形 abc. 由 + -2 = 0, + 2-2 = 0,解得 = 2, = 0,则 a(2,0). 由 + -2 = 0,- + 2 = 0,解得 = 1-, = 1 + , 则 b(1-m,1+m). 同理 c(2-43,2+23),m(-2m,0). 4 / 9 因为 sabc=sabm-sacm=12(2+2m)(1 + )-2+23 =(+1)23,由已知得(+1)23=43,解得 m=1(m=-30,a+b=5,则 + 1 + + 3的最大值为 . 答案:32 解析:因为 a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令 x=a+1,y

6、=b+3,则 x+y=9(x1,y3),于是 + 1 + + 3 = +,而( + )2=x+y+2x+y+(x+y)=18,所以 + 32.此时 x=y,即 a+1=b+3,结合 a+b=5 可得a=3.5,b=1.5,故当 a=3.5,b=1.5时, + 1 + + 3的最大值为 32. 15.(2015 重庆,文 15)在区间0,5上随机地选择一个数 p,则方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根的概率为 . 答案:23 解析:当方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根 x1和 x2时,应有 = (2)2-4(3-2) 0,1+ 2= -2 0,0 5,解得 2 或 1, 0,

7、23,0 5, 所以23p1 或 2p5,即 p(23,12,5,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为(1-23)+(5-2)5=23. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,(2)小问 6 分) (2015 重庆,文 16)已知等差数列an满足 a3=2,前 3 项和 s3=92. (1)求an的通项公式; 5 / 9 (2)设等比数列bn满足 b1=a1,b4=a15,求bn的前 n 项和 tn. 解:(1)设an的公差为 d,则由已知条件得 a1+2d=2,3a1+322d=92, 化简

8、得 a1+2d=2,a1+d=32, 解得 a1=1,d=12, 故通项公式 an=1+-12,即 an=+12. (2)由(1)得 b1=1,b4=a15=15+12=8. 设bn的公比为 q,则 q3=41=8,从而 q=2, 故bn的前 n 项和 tn=1(1-)1-=1(1-2)1-2=2n-1. 17.(本小题满分 13 分,(1)小问 10 分,(2)小问 3 分) (2015 重庆,文 17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄

9、存款y(千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的回归方程= bt+; (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程= t+中,=1- =12-2,= . 解:(1)列表计算如下: i ti yi ti2 tiyi 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 15 36 55 120 这里 n=5, =1=1ti=155=3,y =1ni=1nyi=365=7.2. 6 / 9 又 ltt= =12-n2=55-532=10,lty= =1tiyi-n =120-53

10、7.2=12,从而=1210=1.2,= =7.2-1.23=3.6,故所求回归方程为=1.2t+3.6. (2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为=1.26+3.6=10.8(千亿元). 18.(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,(2)小问 6 分) (2015 重庆,文 18)已知函数 f(x)=12sin 2x-3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象.当 x2,时,求g(x)的值域. 解:(1)f(x)=12sin 2x-3cos

11、2x=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin(2-3) 32, 因此 f(x)的最小正周期为 ,最小值为-2+32. (2)由条件可知:g(x)=sin(-3) 32. 当 x2,时,有 x-3 6,23,从而 sin(-3)的值域为12,1,那么 sin(-3) 32的值域为1-32,2-32. 故 g(x)在区间2,上的值域是1-32,2-32. 19.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分) (2015 重庆,文 19)已知函数 f(x)=ax3+x2(ar)在 x=-43处取得极值. (1)确定 a 的值;

12、(2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 解:(1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax2+2x, 因为 f(x)在 x=-43处取得极值,所以 f(-43)=0, 即 3a169+2(-43) =16383=0,解得 a=12. (2)由(1)得 g(x)=(123+ 2)ex, 故 g(x)=(322+ 2)ex+(123+ 2)ex =(123+522+ 2)ex =12x(x+1)(x+4)ex. 令 g(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x-4 时,g(x)0,故 g(x)为减函数; 当-4x0,故 g(x)为增函数; 当-1x0 时,g(x)0

13、 时,g(x)0,故 g(x)为增函数. 综上知 g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数. 20.(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分) (2015 重庆,文 20)如图,三棱锥 p-abc 中,平面 pac平面 abc,abc=2,点 d,e在线段 ac 上,且ad=de=ec=2,pd=pc=4,点 f在线段 ab上,且 efbc. (1)证明:ab平面 pfe; (2)若四棱锥 p-dfbc 的体积为 7,求线段 bc 的长. (1)证明:如图,由 de=ec,pd=pc 知,e为等腰pdc 中 dc 边的中点,故

14、 peac. 又平面 pac平面 abc,平面 pac平面 abc=ac,pe平面 pac,peac,所以 pe平面 abc,从而 peab. 因abc=2,efbc,故 abef. 从而 ab与平面 pfe内两条相交直线 pe,ef都垂直,所以 ab平面 pfe. (2)解:设 bc=x,则在直角abc 中,ab=2-2= 36-2,从而 sabc=12abbc=1236-2. 由 efbc 知,=23,得afeabc,故= (23)2=49,即 safe=49sabc. 由 ad=12ae,safd=12safe=1249sabc=29sabc=1936-2,从而四边形 dfbc 的面积为

15、 sdfbc=sabc-safd=1236-21936-2=71836-2. 由(1)知,pe平面 abc,所以 pe为四棱锥 p-dfbc 的高.在直角pec 中,pe=2-2= 42-22=23. 体积 vp-dfbc=13sdfbcpe=1371836-223=7, 故得 x4-36x2+243=0,解得 x2=9 或 x2=27,由于 x0,可得 x=3或 x=33. 所以,bc=3 或 bc=33. 21.(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分) 8 / 9 (2015 重庆,文 21)如图,椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f1,f2,过 f2

16、的直线交椭圆于 p,q 两点,且pqpf1. (1)若|pf1|=2+2,|pf2|=2-2,求椭圆的标准方程; (2)若|pq|=|pf1|,且3443,试确定椭圆离心率 e 的取值范围. 解:(1)由椭圆的定义,2a=|pf1|+|pf2|=(2+2)+(2-2)=4,故 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 pf1pf2, 因此 2c=|f1f2|=|1|2+ |2|2=(2 + 2)2+ (2-2)2=23, 即 c=3,从而 b=2-2=1. 故所求椭圆的标准方程为24+y2=1. (2)如图,由 pf1pq,|pq|=|pf1|,得|qf1|=|1|2+ |2= 1 + 2|pf1|. 由椭圆的定义,|pf1|+|pf2|=2a,|qf1|+|qf2|=2a,进而|pf1|+|pq|+|qf1|=4a. 于是(1+1 + 2)|pf1|=4a, 解得|pf1|=41+1