2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第卷和第卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按

2、以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合a=x|x2-4x+3<0,b=x|2<x<4,则ab=()a.(1,3)b.(1,4)c.(2,3)d.(2,4)答案:c解析:a=x|x2-4x+3<0=x|1<x<3,b=x|2<x<4,结合数轴,知ab=x|2<x<3

3、.2.(2015山东,理2)若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则z=()a.1-ib.1+ic.-1-id.-1+i答案:a解析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x-3的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()a.向左平移12个单位b.向右平移12个单位c.向左平移3个单位d.向右平移3个单位答案:b解析:y=sin4x-3=sin4x-12,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形abcd的边长为a,abc=60°,则bd·cd=()

4、a.-32a2b.-34a2c.34a2d.32a2答案:d解析:如图设ba=a,bc=b.则bd·cd=(ba+bc)·ba=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+12a2=32a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()a.(-,4)b.(-,1)c.(1,4)d.(1,5)答案:a解析:当x1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6&

5、lt;2,解得1<x<4;当x5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()a.3b.2c.-2d.-3答案:b解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a1,即a-1时,l0过o(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当0-a<1,即-1<a0时,l0过b(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4

6、,a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过b(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,a=32(舍去);当-a-1,即a1时,l0过a(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形abcd中,abc=2,adbc,bc=2ad=2ab=2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()a.23b.43c.53d.2答案:c解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.v圆柱=×12×2=2,v圆锥=13××

7、12×1=3.v几何体=v圆柱-v圆锥=2-3=53.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布n(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布n(,2),则p(-<<+)=68.26%,p(-2<<+2)=95.44%.)a.4.56%b.13.59%c.27.18%d.31.74%答案:b解析:由正态分布n(0,32)可知,落在(3,6)内的概率为p(-2<<+2)-p(-<<+)2=95.44%-68.26%2=13.59%.9.(2015山东,

8、理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()a.-53或-35b.-32或-23c.-54或-45d.-43或-34答案:d解析:如图,作出点p(-2,-3)关于y轴的对称点p0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点p0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.圆心到直线的距离d=|-3k-2-2k-3|1+k2=1,解得k=-43或k=-34.10.(2015山东,理10)设函数f(x)=3x-1,x<1,2x,x1.则满足f(f(a)=2f(a)的a的取值范围是()a.

9、23,1b.0,1c.23,+d.1,+)答案:c解析:当a=2时,f(2)=4,f(f(2)=f(4)=24,显然f(f(2)=2f(2),故排除a,b.当a=23时,f23=3×23-1=1,ff23=f(1)=21=2.显然ff23=2f23.故排除d.综上,选c.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015山东,理11)观察下列各式:c10=40;c30+c31=41;c50+c51+c52=42;c70+c71+c72+c73=43;照此规律,当nn*时,c2n-10+c2n-11+c2n-12+c2n-1n-1=. 答案:

10、4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,n-1.所以第n个式子为c2n-10+c2n-11+c2n-12+c2n-1n-1=4n-1.12.(2015山东,理12)若“x0,4,tan xm”是真命题,则实数m的最小值为. 答案:1解析:由题意知m(tan x)max.x0,4,tan x0,1,m1.故m的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的t的值为. 答案:116解析:初始n=1,t=1.又01 xndx=1n+1xn+1|01

11、=1n+1,n=1<3,t=1+11+1=32,n=1+1=2;n=2<3,t=32+12+1=116,n=2+1=3;n=3,不满足“n<3”,执行“否”,输出t=116.14.(2015山东,理14)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=. 答案:-32解析:f(x)=ax+b是单调函数,当a>1时,f(x)是增函数,a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0<a<1时,f(x)是减函数,a-1+b=0,a0+b=-1,a=12,b=-2.综上,a+b=12+(-2)=-32.15.(2015山东

12、,理15)平面直角坐标系xoy中,双曲线c1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线c2:x2=2py(p>0)交于点o,a,b.若oab的垂心为c2的焦点,则c1的离心率为. 答案:32解析:双曲线的渐近线为y=±bax.由y=bax,x2=2py,得a2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得b-2bpa,2b2pa2.f0,p2为oab的垂心,kaf·kob=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分

13、.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若fa2=0,a=1,求abc面积的最大值.解:(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kz,可得-4+kx4+k,kz;由2+2k2x32+2k,kz,可得4+kx34+k,kz.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kz);单调递减区间是4+k,34+k(kz).(2)由fa2=sin a-12=0,

14、得sin a=12,由题意知a为锐角,所以cos a=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin a2+34.所以abc面积的最大值为2+34.17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台def-abc中,ab=2de,g,h分别为ac,bc的中点.(1)求证:bd平面fgh;(2)若cf平面abc,abbc,cf=de,bac=45°,求平面fgh与平面acfd所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接dg,cd,设cdgf=o,连接oh.在三棱台def-abc中,

15、ab=2de,g为ac的中点,可得dfgc,df=gc,所以四边形dfcg为平行四边形.则o为cd的中点,又h为bc的中点,所以ohbd,又oh平面fgh,bd平面fgh,所以bd平面fgh.证法二:在三棱台def-abc中,由bc=2ef,h为bc的中点,可得bhef,bh=ef,所以四边形bhfe为平行四边形.可得behf.在abc中,g为ac的中点,h为bc的中点,所以ghab.又ghhf=h,所以平面fgh平面abed.因为bd平面abed,所以bd平面fgh.(2)解法一:设ab=2,则cf=1.在三棱台def-abc中,g为ac的中点,由df=12ac=gc,可得四边形dgcf为平

16、行四边形,因此dgfc.又fc平面abc,所以dg平面abc.在abc中,由abbc,bac=45°,g是ac中点,所以ab=bc,gbgc,因此gb,gc,gd两两垂直.以g为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系g-xyz.所以g(0,0,0),b(2,0,0),c(0,2,0),d(0,0,1).可得h22,22,0,f(0,2,1),故gh=22,22,0,gf=(0,2,1).设n=(x,y,z)是平面fgh的一个法向量,则由n·gh=0,n·gf=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面fgh的一个法向量n=(1,-1,2).因为gb是平面acfd的

17、一个法向量,gb=(2,0,0),所以cos<gb,n>=gb·n|gb|·|n|=222=12.所以平面fgh与平面acfd所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作hmac于点m,作mngf于点n,连接nh.由fc平面abc,得hmfc,又fcac=c,所以hm平面acfd.因此gfnh,所以mnh即为所求的角.在bgc中,mhbg,mh=12bg=22,由gnmgcf,可得mnfc=gmgf,从而mn=66.由hm平面acfd,mn平面acfd,得hmmn,因此tanmnh=hmmn=3,所以mnh=60°.所以平面fgh与平面acfd所

18、成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列an的前n项和为sn .已知2sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和tn.解:(1)因为2sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2sn-1=3n-1+3,此时2an=2sn-2sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n>1.(2)因为anbn=log3an,所以b1=13,当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31

19、-n.所以t1=b1=13;当n>1时,tn=b1+b2+b3+bn=13+(1×3-1+2×3-2+(n-1)×31-n),所以3tn=1+(1×30+2×3-1+(n-1)×32-n),两式相减,得2tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)×31-n=136-6n+32×3n,所以tn=1312-6n+34×3n.经检验,n=1时也适合.综上可得tn=1312-6n+34×3n.19.(本小题满分12分)(

20、2015山东,理19)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分x的分布列和数学期望ex.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”

21、的个数为c93=84,随机变量x的取值为:0,-1,1,因此p(x=0)=c83c93=23,p(x=-1)=c42c93=114,p(x=1)=1-114-23=1142.所以x的分布列为x0-11p231141142则ex=0×23+(-1)×114+1×1142=421.20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,左、右焦点分别是f1,f2.以f1为圆心以3为半径的圆与以f2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程;(2)设椭圆e

22、:x24a2+y24b2=1,p为椭圆c上任意一点.过点p的直线y=kx+m交椭圆e于a,b两点,射线po交椭圆e于点q.求|oq|op|的值;求abq面积的最大值.解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又ca=32,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知椭圆e的方程为x216+y24=1.设p(x0,y0),|oq|op|=,由题意知q(-x0,-y0).因为x024+y02=1,又(-x0)216+(-y0)24=1,即24x024+y02=1,所以=2,即|oq|op|=2.设a(x1,y1),b(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆e的方程,

23、可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由>0,可得m2<4+16k2.则有x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2.所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以oab的面积s=12|m|x1-x2|=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.设m21+4k2=t.将y=kx+m代入椭圆c的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0<t1,因此s=2(4-t)t

24、=2-t2+4t.故s23,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.由知,abq面积为3s,所以abq面积的最大值为63.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中ar.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若x>0,f(x)0成立,求a的取值范围.解:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+),f'(x)=1x+1+a(2x-1)=2ax2+ax-a+1x+1.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+).当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;当a>0时,=a2-8a(1-a)=a(9a-8).当0<a89时,0,g(x)0,f'(x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;当a>89时,>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1<x2),因为x1+x2=-12,所以x1<-14,x2>-14.由g(-1)=1>0,可得-1<x