2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ卷)理

1、课标全国理科注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,理1)已知集合m=x|(x-1)2<4,xr,n=-1,0,1,2,3,则mn=().a.0,

2、1,2b.-1,0,1,2c.-1,0,2,3d.0,1,2,3答案:a解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即m=x|-1<x<3.而n=-1,0,1,2,3,所以mn=0,1,2,故选a.2.(2013课标全国,理2)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().a.-1+ib.-1-ic.1+id.1-i答案:a解析:z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i2=-1+i.3.(2013课标全国,理3)等比数列an的前n项和为sn.已知s3=a2+10a1,a5=9,则a1=().a.13b.-13c.19d.-19答案:c解析:

3、设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时s3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.q1时,s3=a1(1-q3)1-q=a1·q+10a1,1-q31-q=q+10,整理得q2=9.a5=a1·q4=9,即81a1=9,a1=19.4.(2013课标全国,理4)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则().a.且lb.且lc.与相交,且交线垂直于ld.与相交,且交线平行于l答案:d解析:因为m,lm,l,所以l.同理可得l.又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线.故选d.5.(2013课标

4、全国,理5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=().a.-4b.-3c.-2d.-1答案:d解析:因为(1+x)5的二项展开式的通项为c5rxr(0r5,rz),则含x2的项为c52x2+ax·c51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.6.(2013课标全国,理6)执行下面的程序框图,如果输入的n=10,那么输出的s=().a.1+12+13+110b.1+12!+13!+110!c.1+12+13+111d.1+12!+13!+111!答案:b解析:由程序框图知,当k=1,s=0,t=1时,t=1,s=1;当k=2时,t=12,s=1+1

5、2;当k=3时,t=12×3,s=1+12+12×3;当k=4时,t=12×3×4,s=1+12+12×3+12×3×4;当k=10时,t=12×3×4××10,s=1+12!+13!+110!,k增加1变为11,满足k>n,输出s,所以b正确.7.(2013课标全国,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系o-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zox平面为投影面,则得到的正视图可以为().答案:a解

6、析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系o-xyz的图像为下图:则它在平面zox上的投影即正视图为,故选a.8.(2013课标全国,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则().a.c>b>ab.b>c>ac.a>c>bd.a>b>c答案:d解析:根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3,即c<b<a.故选d.9.(2013课标全

7、国,理9)已知a>0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=().a.14b.12c.1d.2答案:b解析:由题意作出x1,x+y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.10.(2013课标全国,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().a.x0r,f(x0)=0b.函数y=f(x)的图像是中心对称图形c.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调

8、递减d.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0答案:c解析:x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故c不正确.11.(2013课标全国,理11)设抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为f,点m在c上,|mf|=5,若以mf为直径的圆过点(0,2),则c的方程为().a.y2=4x或y2=8xb.y2=2x或y2=8xc.y2=4x或y2=16xd.y2=2x或y2=16x答案:c解析:设点m的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|mf|=x0+p2=5,则x0=5-p2.又点f的坐标为p2,0,所以以mf为直径的圆的方

9、程为(x-x0)x-p2+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即y022-4y0+8=0,所以y0=4.由y02=2px0,得16=2p5-p2,解之得p=2,或p=8.所以c的方程为y2=4x或y2=16x.故选c.12.(2013课标全国,理12)已知点a(-1,0),b(1,0),c(0,1),直线y=ax+b(a>0)将abc分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是().a.(0,1)b.1-22,12c.1-22,13d.13,12答案:b第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题,

10、考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,理13)已知正方形abcd的边长为2,e为cd的中点,则ae·bd=. 答案:2解析:以ab所在直线为x轴,ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点a的坐标为(0,0),点b的坐标为(2,0),点d的坐标为(0,2),点e的坐标为(1,2),则ae=(1,2),bd=(-2,2),所以ae·bd=2.14.(2013课标全国,理14)从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=. 答案:8解析:从1,2,n中任取两

11、个不同的数共有cn2种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以2cn2=114,即2n(n-1)2=4n(n-1)=114,解得n=8.15.(2013课标全国,理15)设为第二象限角,若tan+4=12,则sin +cos =. 答案:-105解析:由tan+4=1+tan1-tan=12,得tan =-13,即sin =-13cos .将其代入sin2+cos2=1,得109cos2=1.因为为第二象限角,所以cos =-31010,sin =1010,sin +cos =-105.16.(2013课标全国,理16)等差数列an的前n项和为sn,已知s10=0,s1

12、5=25,则nsn的最小值为. 答案:-49解析:设数列an的首项为a1,公差为d,则s10=10a1+10×92d=10a1+45d=0,s15=15a1+15×142d=15a1+105d=25.联立,得a1=-3,d=23,所以sn=-3n+n(n-1)2×23=13n2-103n.令f(n)=nsn,则f(n)=13n3-103n2,f'(n)=n2-203n.令f'(n)=0,得n=0或n=203.当n>203时,f'(n)>0,0<n<203时,f'(n)<0,所以当n=203时,

13、f(n)取最小值,而nn+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,理17)(本小题满分12分)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=bcos c+csin b.(1)求b;(2)若b=2,求abc面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin a=sin bcos c+sin csin b.又a=-(b+c),故sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c.由,和c(0,)得sin b=cos b,又b(0,),所以b=4.(2)a

14、bc的面积s=12acsin b=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4.又a2+c22ac,故ac42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此abc面积的最大值为2+1.18.(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分别是ab,bb1的中点,aa1=ac=cb=22ab.(1)证明:bc1平面a1cd;(2)求二面角d-a1c-e的正弦值.解:(1)连结ac1交a1c于点f,则f为ac1中点.又d是ab中点,连结df,则bc1df.因为df平面a1cd,bc1平面a1cd,所以bc1平面a1cd.(2)由ac=cb=22a

15、b得,acbc.以c为坐标原点,ca的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz.设ca=2,则d(1,1,0),e(0,2,1),a1(2,0,2),cd=(1,1,0),ce=(0,2,1),ca1=(2,0,2).设n=(x1,y1,z1)是平面a1cd的法向量,则n·cd=0,n·ca1=0,即x1+y1=0,2x1+2z1=0.可取n=(1,-1,-1).同理,设m是平面a1ce的法向量,则m·ce=0,m·ca1=0.可取m=(2,1,-2).从而cos<n,m>=n·m|n|m|=33,故sin<n

16、,m>=63.即二面角d-a1c-e的正弦值为63.19.(2013课标全国,理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,t(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将t表示为x的函数;(2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值

17、,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量x100,110),则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求t的数学期望.解:(1)当x100,130)时,t=500x-300(130-x)=800x-39 000,当x130,150时,t=500×130=65 000.所以t=800x-39 000,100x<130,65 000,130x150.(2)由(1)知利润t不少于57 000元当且仅当120x150.由直方图知需求量x120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000元的概率的

18、估计值为0.7.(3)依题意可得t的分布列为t45 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以et=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.(2013课标全国,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy中,过椭圆m:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-3=0交m于a,b两点,p为ab的中点,且op的斜率为12.(1)求m的方程;(2)c,d为m上两点,若四边形acbd的对角线cdab,求四边形acbd面积的最大值.解:(

19、1)设a(x1,y1),b(x2,y2),p(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,m的右焦点为(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以m的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33,或x=0,y=3.因此|ab|=463.由题意可设直线cd的方程为y=x+n-533<n<3,设c(x3,

20、y3),d(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n±2(9-n2)3.因为直线cd的斜率为1,所以|cd|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四边形acbd的面积s=12|cd|·|ab|=8699-n2.当n=0时,s取得最大值,最大值为863.所以四边形acbd面积的最大值为863.21.(2013课标全国,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)>0.解:(1)f'(x

21、)=ex-1x+m.由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0,所以m=1.于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+),f'(x)=ex-1x+1.函数f'(x)=ex-1x+1在(-1,+)单调递增,且f'(0)=0.因此当x(-1,0)时,f'(x)<0;当x(0,+)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)当m2,x(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f'(x)=ex-1x+2在(-2,+)单调递

22、增.又f'(-1)<0,f'(0)>0,故f'(x)=0在(-2,+)有唯一实根x0,且x0(-1,0).当x(-2,x0)时,f'(x)<0;当x(x0,+)时,f'(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f'(x0)=0得ex0=1x0+2,ln(x0+2)=-x0,故f(x)f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2x0+2>0.综上,当m2时,f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国,理22)(本

23、小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,cd为abc外接圆的切线,ab的延长线交直线cd于点d,e,f分别为弦ab与弦ac上的点,且bc·ae=dc·af,b,e,f,c四点共圆.(1)证明:ca是abc外接圆的直径;(2)若db=be=ea,求过b,e,f,c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值.解:(1)因为cd为abc外接圆的切线,所以dcb=a,由题设知bcfa=dcea,故cdbaef,所以dbc=efa.因为b,e,f,c四点共圆,所以cfe=dbc,故efa=cfe=90°.所以cba=90°,因此ca是abc外接圆的直径.(2)连结ce,因为cbe=90°,所