2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷1至2页,第卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2b铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2015四川,理1)设集合a=x|(x+1)(x-2)<0,集合b=x|1<x<3,则ab=

2、()a.x|-1<x<3b.x|-1<x<1c.x|1<x<2d.x|2<x<3答案:a解析:由题意,得a=x|-1<x<2,b=x|1<x<3,所以ab=x|-1<x<3,故选a.2.(2015四川,理2)设i是虚数单位,则复数i3-2i=()a.-ib.-3ic.id.3i答案:c解析:i3-2i=i2·i-2ii2=-i+2i=i,故选c.3.(2015四川,理3)执行如图所示的程序框图,输出s的值为()a.-32b.32c.-12d.12答案:d解析:由程序框图,可知当k=5时,循环结束,所以

3、s=sin 56=12,故选d.4.(2015四川,理4)下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()a.y=cos2x+2b.y=sin2x+2c.y=sin2x+cos 2xd.y=sin x+cos x答案:a解析:因为y=cos 2x+2=-sin 2x,故t=22=.又因为-sin (-2x)=sin 2x,所以函数y=-sin 2x为奇函数,其图象关于原点对称,故选a.5.(2015四川,理5)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于a,b两点,则|ab|=()a.433b.23c.6d.43答案:d解析:双曲线x2-y23=1的两条渐

4、近线方程为y=±3x,右焦点为f(2,0)如图所示.根据题意,由y=3x,x=2,得a(2,23).同理可得b(2,-23).所以|ab|=43,故选d.6.(2015四川,理6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()a.144个b.120个c.96个d.72个答案:b解析:当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有c21a43个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有c31a43个.故满足条件的五位数共有c21a43+c31a43=(2+3)a43=5×4×3×2

5、5;1=120个.故选b.7.(2015四川,理7)设四边形abcd为平行四边形,|ab|=6,|ad|=4.若点m,n满足bm=3mc,dn=2nc,则am·nm=()a.20b.15c.9d.6答案:c解析:如图所示,在abcd中,|ab|=6,|ad|=4.ad=bc,bm=3mc,bm=34ad,cm=-14ad.又ab=dc,dn=2nc,nc=13ab.又nm=nc+cm=13ab-14ad,am=ab+bm=ab+34ad,am·nm=ab+34ad·13ab-14ad=13|ab|2-14ab·ad+34×13ad·a

6、b-34×14|ad|2=13|ab|2-316|ad|2=13×62-316×42=12-3=9.故选c.8.(2015四川,理8)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的()a.充要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件答案:b解析:3a>3b>3,a>b>1.log3a>log3b>0.1log3a<1log3b,即loga3<logb3.3a>3b>3是loga3<logb3的充分条件.当0<a<1

7、,b>1时,满足loga3<logb3,而由3a>3b>3,得a>b>1,所以由loga3<logb3不能推出3a>3b>3,所以3a>3b>3不是loga3<logb3的必要条件.所以3a>3b>3是loga3<logb3的充分不必要条件,故选b.9.(2015四川,理9)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为()a.16b.18c.25d.812答案:b解析:f'(x)=(m-2)x+(n-8),由于f(x)在12,2上

8、单调递减,所以f'(x)0在12,2上恒成立,即(m-2)x+(n-8)0在12,2上恒成立,于是(m-2)·12+n-80,(m-2)·2+n-80,即m+2n18,2m+n12.又m0,n0,所以m+2n18,2m+n12,m0,n0.画出满足上述不等式组的点(m,n)所对应的平面区域(如图).得b(0,9),c(6,0),由m+2n=18,2m+n=12,可得a(2,8).当0m2时,mnm18-m2=-12m2+9m=-12(m-9)2+812,当m=2时,mn取最大值16;当2<m6时,mnm(12-2m)=-2m2+12m=-2(m-3)2+18,

9、当m=3时,mn取最大值18.故mn的最大值为18.10.(2015四川,理10)设直线l与抛物线y2=4x相交于a,b两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点m,且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()a.(1,3)b.(1,4)c.(2,3)d.(2,4)答案:d解析:如图所示,设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x

10、1-x2),即k=2y0.由cmab,得kcm=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点m在抛物线内部,所以y02<4x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0<y02<12.因为点m在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4<r2<16,即2<r<4,故选d.第卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第卷共11小题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.1

11、1.(2015四川,理11)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案). 答案:-40解析:(2x-1)5的展开式的通项为tr+1=c5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rc5r25-rx5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)3c5325-3=-22c52=-40.12.(2015四川,理12)sin 15°+sin 75°的值是. 答案:62解析:sin 15°+sin 75°=sin (45°-30°)+sin (45°+30°)=s

12、in 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×22×32=62.13.(2015四川,理13)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时. 答案:24解析:由题意,得192=

13、eb,48=e22k+b,得e22k=48192,即(ek)22=14,所以(ek)11=12.当x=33 时,y=e33k+b=(ek)33·eb=(e11k)3·eb=123×192=24(小时).所以该食品在33 的保鲜时间是24小时.14.(2015四川,理14)如图,四边形abcd和adpq均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点m在线段pq上,e,f分别为ab,bc的中点.设异面直线em与af所成的角为,则cos 的最大值为. 答案:25解析:以a为坐标原点,射线ab,ad,aq分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方

14、形abcd和adpq的边长为2,则e(1,0,0),f(2,1,0),m(0,y,2)(0y2).所以af=(2,1,0),em=(-1,y,2).所以af·em=-2+y,|af|=5,|em|=5+y2.所以cos =|af·em|af|em|=|-2+y|5·5+y2=2-y5·5+y2.令2-y=t,则y=2-t,且t0,2.所以cos =t5·5+(2-t)2=t5·9-4t+t2.当t=0时,cos =0.当t0时,cos =15·9t2-4t+1=15·91t-292+59,由t0,2,得1t12,+

15、,所以91t-292+599×12-292+59=52.所以cos 25,即cos 的最大值为25.15.(2015四川,理15)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中ar).对于不相等的实数x1,x2,设m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2.现有如下命题:对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号). 答案:解析

16、:对于,因为函数f(x)=2x单调递增,所以m=f(x1)-f(x2)x1-x2>0,故该命题正确;对于,函数g(x)=x2+ax的对称轴为x=-a2,故函数在-,-a2上单调递减,在-a2,+上单调递增.所以当x1,x2-,-a2时,n=g(x1)-g(x2)x1-x2<0.所以该命题错误.对于,若存在不相等的实数x1,x2,使得m=n,即f(x1)-f(x2)x1-x2=g(x1)-g(x2)x1-x2,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),设函数h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的图象与平行于x轴的直线可能有两个交点

17、.h'(x)=2xln 2-2x-a,记p(x)=h'(x),则p'(x)=2x(ln 2)2-2,令p'(x)=0,解得2x=2(ln2)2,故x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),记为x0.当x(-,x0)时,p'(x)<0,函数单调递减;当x(x0,+)时,p'(x)>0,函数单调递增,所以p(x)p(x0).显然当p(x0)0时,h'(x)p(x0)0,此时函数h(x)在r上单调,函数h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的图象与平行于x轴的直线只有一个交点,即此时h(x)的图象与平行于x轴的

18、直线不可能有两个交点.所以该命题错误.对于,若存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n,即f(x1)-f(x2)x1-x2=-g(x1)-g(x2)x1-x2,整理得f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),设函数h(x)=f(x)+g(x),则q(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax的图象与平行于x轴的直线可能有两个交点.q'(x)=2xln 2+2x+a,显然q'(x)在r上单调,设q'(x)=0的解为t,则当x(-,t)时,q'(x)<0,函数q(x)单调递减,x(t,+)时,q'(x)>0,函数q(x)单调递增.所以函数q

19、(x)=2x+x2+ax的图象与平行于x轴的直线可能有两个交点.所以该命题正确.综上,正确的命题为.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015四川,理16)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和sn满足sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列1an的前n项和为tn,求使得|tn-1|<11 000成立的n的最小值.解:(1)由已知sn=2an-a1,有an=sn-sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4

20、a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.由|tn-1|<11 000,得1-12n-1<11 000,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n10.于是,使|tn-1|<11 000成立的n的最小值为10.17.(本小题满分12分)(2015四川,理17)某市a,b两所中学的学生组队

21、参加辩论赛,a中学推荐了3名男生、2名女生,b中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求a中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设x表示参赛的男生人数,求x的分布列和数学期望.解:(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从b中学抽取(等价于a中学没有学生入选代表队)的概率为c33c43c63c63=1100.因此,a中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,x的可能取值为1,2,3

22、.p(x=1)=c31c33c64=15,p(x=2)=c32c32c64=35,p(x=3)=c33c31c64=15.所以x的分布列为x123p153515因此,x的数学期望为e(x)=1×p(x=1)+2×p(x=2)+3×p(x=3)=1×15+2×35+3×15=2.18.(本小题满分12分)(2015四川,理18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设bc的中点为m,gh的中点为n.(1)请将字母f,g,h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)证明:直线mn平面bdh;(3)求二

23、面角a-eg-m的余弦值.(1)解:点f,g,h的位置如图所示.(2)证明:连接bd,设o为bd的中点.因为m,n分别是bc,gh的中点,所以omcd,且om=12cd,hncd,且hn=12cd.所以omhn,om=hn.所以mnho是平行四边形,从而mnoh.又mn平面bdh,oh平面bdh,所以mn平面bdh.(3)解法一:连接ac,过m作mpac于p.在正方体abcd-efgh中,aceg,所以mpeg.过p作pkeg于k,连接km,所以eg平面pkm,从而kmeg.所以pkm是二面角a-eg-m的平面角.设ad=2,则cm=1,pk=2.在rtcmp中,pm=cmsin 45

24、6;=22.在rtpkm中,km=pk2+pm2=322.所以cos pkm=pkkm=223.即二面角a-eg-m的余弦值为223.解法二:如图,以d为坐标原点,分别以da,dc,dh方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系dxyz.设ad=2,则m(1,2,0),g(0,2,2),e(2,0,2),o(1,1,0),所以,ge=(2,-2,0),mg=(-1,0,2).设平面egm的一个法向量为n1=(x,y,z),由n1·ge=0,n1·mg=0,得2x-2y=0,-x+2z=0,取x=2,得n1=(2,2,1).在正方体abcd-efgh中,do平面aegc,

25、则可取平面aeg的一个法向量为n2=do=(1,1,0),所以cos <n1,n2>=n1·n2|n1|·|n2|=2+2+04+4+1·1+1+0=223,故二面角a-eg-m的余弦值为223.19.(本小题满分12分)(2015四川,理19)如图,a,b,c,d为平面四边形abcd的四个内角.(1)证明:tan a2=1-cosasina;(2)若a+c=180°,ab=6,bc=3,cd=4,ad=5,求tan a2+tan b2+tan c2+tan d2的值.(1)证明:tan a2=sin a2cos a2=2sin2a22sin

26、 a2cos a2=1-cosasina.(2)解:由a+c=180°,得c=180°-a,d=180°-b.由(1),有tan a2+tan b2+tan c2+tan d2=1-cosasina+1-cosbsinb+1-cos(180°-a)sin(180°-a)+1-cos(180°-b)sin(180°-b)=2sina+2sinb.连接bd.在abd中,有bd2=ab2+ad2-2ab·adcos a,在bcd中,有bd2=bc2+cd2-2bc·cdcos c,所以ab2+ad2-2ab&#

27、183;adcos a=bc2+cd2+2bc·cdcos a,则cos a=ab2+ad2-bc2-cd22(ab·ad+bc·cd)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37.于是sin a=1-cos2a=1-372=2107.连接ac.同理可得cos b=ab2+bc2-ad2-cd22(ab·bc+ad·cd)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119,于是sin b=1-cos2b=1-1192=61019.所以,tan a2+tan b2+tan c2+tan d2=2si

28、na+2sinb=2×7210+2×19610=4103.20.(本小题满分13分)(2015四川,理20)如图,椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22,过点p(0,1)的动直线l与椭圆相交于a,b两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆e截得的线段长为22.(1)求椭圆e的方程;(2)在平面直角坐标系xoy中,是否存在与点p不同的定点q,使得|qa|qb|=|pa|pb|恒成立?若存在,求出点q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点(2,1)在椭圆e上.因此,2a2+1b2=1,a2-b2=c2,ca=22.解得a=2,b=2.

29、所以椭圆e方程为x24+y22=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于c,d两点.如果存在定点q满足条件,则有|qc|qd|=|pc|pd|=1,即|qc|=|qd|.所以q点在y轴上,可设q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于m,n两点,则m,n的坐标分别为(0,2),(0,-2).由|qm|qn|=|pm|pn|,有|y0-2|y0+2|=2-12+1,解得y0=1,或y0=2.所以,若存在不同于点p的定点q满足条件,则q点坐标只可能为(0,2).下面证明:对任意直线l,均有|qa|qb|=|pa|pb|.当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立x24+y22=1,y=kx+1,得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.因此1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k.易知,点b关于y轴对称的点b'的坐标为(-x2,y2).又kqa=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1,kqb'=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2=k-1x1,所以kqa=kqb',即q,a,