2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学丙卷 (2)

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共5页。2.答题前,考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并粘好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。3.答第卷时,选出每题答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在本试卷上无效。4.答第卷时,请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。答在本试卷上无效。5.第(22)、(23)、(24)小题为选考题,请按题目要求从中任选一题作答,并用2b

2、铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。6.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合s=x|(x-2)(x-3)0,t=x|x>0,则st=(a)2,3(b)(-,23,+)(c)3,+)(d)(0,23,+)(2) 若z=1+2i,则4izz-1=(a)1(b)-1(c)i(d)-i(3) 已知向量ba=(12,32),bc=(32,12),则abc=(a)30°(b)45°(c)60°(d)120°(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气

3、温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中a点表示十月的平均最高气温约为15,b点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是(a)各月的平均最低气温都在0以上(b)七月的平均温差比一月的平均温差大(c)三月和十一月的平均最高气温基本相同(d)平均最高气温高于20的月份有5个(5) 若tan=34,则cos2+2sin2=(a)6425(b)4825(c)1(d)1625(6) 已知a=243,b=425,c=2513,则(a)b<a<c(b)a<b<c(c)b<c<a(d)c<a<b(7) 执行右面的程序框图,如果输入

4、的a=4,b=6,那么输出的n=(a)3(b)4(c)5(d)6(8) 在abc中,b=4,bc边上的高等于13bc,则cosa=(a)31010(b)1010(c)-1010(d)-31010(9) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(a)18+365(b)54+185(c)90(d)81(10) 在封闭的直三棱柱abc-a1b1c1内有一个体积为v的球.若abbc,ab=6,bc=8,aa1=3,则v的最大值是(a)4(b)92(c)6(d)323(11) 已知o为坐标原点,f是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左

5、焦点,a,b分别为c的左、右顶点.p为c上一点,且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m,与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点,则c的离心率为(a)13(b)12(c)23(d)34(12) 定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有(a)18个(b)16个(c)14个(d)12个第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题。考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 若x,y满足约束条

6、件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,则z=x+y的最大值为. (14) 函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=sinx+3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到. (15) 已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是. (16) 已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于a,b两点,过a,b分别作l的垂线与x轴交于c,d两点.若|ab|=23,则|cd|=. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)已知数

7、列an的前n项和sn=1+an,其中0.()证明an是等比数列,并求其通项公式;()若s5=3132,求.(18) (本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;()建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:i=17yi=9.32,i=17tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.参考公式:相关系数r=i=1n(ti-t)(yi-y)i

8、=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回归方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.(19) (本小题满分12分)如图,四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,adbc,ab=ad=ac=3,pa=bc=4,m为线段ad上一点,am=2md,n为pc的中点.()证明mn平面pab;()求直线an与平面pmn所成角的正弦值.(20) (本小题满分12分)已知抛物线c:y2=2x的焦点为f,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交c于a,b两点,交c的准线于p,q两点.()若f在线段ab上,r是pq的中点,证明a

9、rfq;()若pqf的面积是abf的面积的两倍,求ab中点的轨迹方程.(21) (本小题满分12分)设函数f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中>0,记|f(x)|的最大值为a.()求f'(x);()求a;()证明|f'(x)|2a.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,o中ab的中点为p,弦pc,pd分别交ab于e,f两点.()若pfb=2pcd,求pcd的大小;()若ec的垂直平分线与fd的垂

10、直平分线交于点g,证明ogcd.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为sin(+4)=22.()写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程;()设点p在c1上,点q在c2上,求|pq|的最小值及此时p的直角坐标.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.()当a=2时,求不等式f(x)6的解集;()设函数g(x)=|2x-1|.当xr时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.试卷全解

11、全析全国丙卷理科(1)d由(x-2)(x-3)0,解得x3或x2,所以s=x|x2或x3.因为t=x|x>0,所以st=x|0<x2或x3,故选d.(2)c由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选c.(3)a由题意得cosabc=ba·bc|ba|bc|=12×32+32×121×1=32,所以abc=30°,故选a.(4)d由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 以上,a正确;易知b,c正确;平均最高气温高于20 的月份有3个,分别为六月、七月、八月,d错误.故

12、选d.(5)a(方法1)由tan =34,得cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+4×341+342=42516=6425.故选a.(方法2)tan =34,3cos =4sin ,即9cos2=16sin2.又sin2+cos2=1,9cos2=16(1-cos2),cos2=1625.cos2+2sin 2=cos2+4sin cos =cos2+3cos2=4cos2=4×1625=6425,故选a.(6)a因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423=a,所以b<a&l

13、t;c.(7)b第一次循环,得a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;第二次循环,得a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;第三次循环,得a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环,得a=-2,b=6,a=4,s=20>16,n=4,退出循环,输出n=4,故选b.(8)c(方法1)设bc边上的高为ad,则bc=3ad.结合题意知bd=ad,dc=2ad,所以ac=ad2+dc2=5ad,ab=2ad.由余弦定理,得cos a=ab2+ac2-bc22ab·ac=2ad2+5ad2-9ad22×2ad×5ad=-1010,故选c.(方法2)如图,

14、在abc中,ad为bc边上的高,由题意知bad=4.设dac=,则bac=+4.bc=3ad,bd=ad.dc=2ad,ac=5ad.sin =25=255,cos =15=55.cosbac=cos+4=cos cos4-sin sin4=22(cos -sin )=22×55-255=-1010,故选c.(9)b由三视图知该几何体是平行六面体,且底面是边长为3的正方形,侧棱长为35,所以该几何体的表面积为s=2×3×6+2×3×3+2×3×35=54+185,故选b.(10)b由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若

15、干个面相切.设球的半径为r,易得abc的内切球的半径为6+8-102=2,则r2.因为2r3,即r32,所以vmax=43×323=92,故选b.(11)a由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|fm|=k(a-c),|oe|=ka.设oe的中点为g,由obgfbm,得12|oe|fm|=|ob|bf|,即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选a.(12)c由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.(13)32作出不等式组满

16、足的平面区域如图阴影部分所示.因为z=x+y,所以y=-x+z.作直线y=-x并平移,由图知,当直线经过点a1,12时,直线在y轴上的截距最大,即z取得最大值.故zmax=1+12=32.(14)23因为y=sin x+3cos x=2sinx+3,y=sin x-3cos x=2sinx-3=2sinx-23+3,所以函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=sin x+3cos x的图像至少向右平移23个单位长度得到.(15)y=-2x-1当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'

17、(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.(16)4因为|ab|=23,且圆的半径r=23,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为r2-|ab|22=3.由|3m-3|m2+1=3,解得m=-33.将其代入直线l的方程,得y=33x+23,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形abdc中,|cd|=|ab|cos30°=4.(17)解 ()(等比数列的定义与通项公式)由题意得a1=s1=1+a1,故1,a1=11-,a10.2分由sn=1+an,sn+1=1+an+1得an+1=an+1-

18、an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.6分()由()得sn=1-1n.由s5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.12分(18)解 ()由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-t i=17yi=40.17-4×9.32=2.89.r2.890.55×2×2.6460.99.4分因为y与t的相关系数近似为0.99,说明

19、y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.6分()由y=9.3271.331及()得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.103,a=y-b t1.331-0.103×40.92.所以,y关于t的回归方程为:y=0.92+0.10t.10分将2016年对应的t=9代入回归方程得:y=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.12分(19)解 ()由已知得am=23ad=2.取bp的中点t,连接at,tn,由n为pc中点知tnbc,tn=12bc=2.3分又a

20、dbc,故tn􀱀am,四边形amnt为平行四边形,于是mnat.因为at平面pab,mn平面pab,所以mn平面pab.6分()取bc的中点e,连结ae.由ab=ac得aebc,从而aead,且ae=ab2-be2=ab2-bc22=5.以a为坐标原点,ae的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz.由题意知,p(0,0,4),m(0,2,0),c(5,2,0),n52,1,2,pm=(0,2,-4),pn=52,1,-2,an=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面pmn的法向量,则n·pm=0,n·pn=0,即2y-4z=0,52x+

21、y-2z=0,10分可取n=(0,2,1).于是|cos<n,an>|=|n·an|n|an|=8525.12分(20)解 由题知f12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且aa22,a,bb22,b,p-12,a,q-12,b,r-12,a+b2.记过a,b两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.3分()由于f在线段ab上,故1+ab=0.记ar的斜率为k1,fq的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以arfq.5分()设l与x轴的交点为d(x1,0),则sabf=12|b-a|fd|=12|b

22、-a|x1-12,spqf=|a-b|2.由题设可得12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的ab的中点为e(x,y).当ab与x轴不垂直时,由kab=kde可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当ab与x轴垂直时,e与d重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.12分(21)解 ()f'(x)=-2sin 2x-(-1)sin x.2分()(分类讨论)当1时,|f'(x)|=|sin 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此a=3-2.4分当0<<1时,将f(

23、x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cos x-1.(构造函数)令g(t)=2t2+(-1)t-1,则a是|g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1)=,g(1)=3-2,且当t=1-4时,g(t)取得极小值,极小值为g1-4=-(-1)28-1=-2+6+18.令-1<1-4<1,解得<-13(舍去),>15.()当0<15时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|<|g(1)|,所以a=2-3.()当15<<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-)>0,知g(-1)>g(1)>g1-4.又g1-4-|g(-1)|=(1-)(1+7)8>0,所以a=g1-4=2+6+18.综上,a=2-3,0<15,2+6+18,15<<1,3-2,1.9分()由()得|f'(x)|=|-2sin 2x-(-1)sin x|2+|-1|.当0<15时,|f'(x)|1+2-4<2(2-3)=