2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)2 (2)

1、1 / 12 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2017 全国 2,理 1)3+i1+i=( ) a.1+2i b.1-2

2、i c.2+i d.2-i 解析3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选 d. 答案 d 2.(2017 全国 2,理 2)设集合 a=1,2,4,b=x|x2-4x+m=0.若 ab=1,则 b=( ) a.1,-3 b.1,0 c.1,3 d.1,5 解析由 ab=1,可知 1b,所以 m=3,即 b=1,3,故选 c. 答案 c 3.(2017 全国 2,理 3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的

3、2 倍,则塔的顶层共有灯( ) a.1 盏 b.3盏 c.5盏 d.9 盏 解析设塔的顶层共有 x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为 2的等比数列,由(1-27)1-2=381,可得 x=3,故选 b. 答案 b 4.(2017 全国 2,理 4) 2 / 12 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) a.90 b.63 c.42 d.36 解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为 6 的圆柱截去一半后的图形和高为 4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为 3,故其体积为 v=12 32

4、 6+ 32 4=63,故选 b. 答案 b 5.(2017 全国 2,理 5)设 x,y满足约束条件2 + 3-3 0,2-3 + 3 0, + 3 0,则 z=2x+y的最小值是( ) a.-15 b.-9 c.1 d.9 解析画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y的几何意义可得 z在点 b(-6,-3)处取得最小值,即 zmin=-12-3=-15,故选 a. 答案 a 6.(2017 全国 2,理 6)安排 3名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1项,每项工作由 1人完成,则不同的安排方式共有( ) a.12 种 b.18 种 c.24 种 d.36 种

5、解析先把 4 项工作分成 3份有c42c21c11a22种情况,再把 3名志愿者排列有a33种情况,故不同的安排方式共有c42c21c11a22 a33=36 种,故选 d. 答案 d 3 / 12 7.(2017 全国 2,理 7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) a.乙可以知道四人的成绩 b.丁可以知道四人的成绩 c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩 解析因为甲不知道自己的成绩,所以乙、

6、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选 d. 答案 d 8.(2017 全国 2,理 8)执行右面的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 s=( ) a.2 b.3 c.4 d.5 解析程序框图运行如下: a=-1,s=0,k=1,进入循环, s=0+(-1) 1=-1,a=1,k=2; s=-1+1 2=1,a=-1,k=3; s=1+(-1) 3=-2,a=1,k=4; s=-2+1 4=2,a=-1,k=5; s=2+(-1)

7、 5=-3,a=1,k=6; s=-3+1 6=3,a=-1,k=7, 此时退出循环,输出 s=3.故选 b. 答案 b 9.(2017 全国 2,理 9)若双曲线 c:2222=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为 2,则 c 的离心率为( ) 4 / 12 a.2 b.3 c.2 d.233 解析可知双曲线 c 的渐近线方程为 bxay=0,取其中的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为22+2= 22-12= 3,即2= 3,所以 c=2a,所以 e=2,故选 a. 答案 a 10.(2017 全国 2,理 10)已知直三棱

8、柱 abc-a1b1c1中,abc=120,ab=2,bc=cc1=1,则异面直线ab1与 bc1所成角的余弦值为( ) a.32 b.155 c.105 d.33 解析方法一:如图,取 ab,bb1,b1c1的中点 m,n,p,连结 mn,np,pm, 可知 ab1与 bc1所成的角等于 mn与 np所成的角. 由题意可知 bc1=2,ab1=5,则 mn=12ab1=52,np=12bc1=22. 取 bc的中点 q,连结 pq,qm,则可知pqm为直角三角形. 在abc中,ac2=ab2+bc2-2ab bc cosabc=4+1-2 2 1 (-12)=7,即 ac=7. 又 cc1=

9、1,所以 pq=1,mq=12ac=72. 在mqp中,可知 mp=2+ 2=112. 在pmn中,cospnm=2+2-22=(52)2+(22)2-(112)225222=-105, 又异面直线所成角的范围为(0,2, 故所求角的余弦值为105. 方法二:把三棱柱 abc-a1b1c1补成四棱柱 abcd-a1b1c1d1,如图, 连结 c1d,bd,则 ab1与 bc1所成的角为bc1d. 由题意可知 bc1=2, bd=22+ 12-2 2 1 cos60 = 3,c1d=ab1=5. 5 / 12 可知 b12+bd2=c1d2, 所以 cosbc1d=25=105,故选 c. 答案

10、 c 11.(2017 全国 2,理 11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) a.-1 b.-2e-3 c.5e-3 d.1 解析由题意可得, f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为 x=-2 是函数 f(x)的极值点, 所以 f(-2)=0.所以 a=-1. 所以 f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以 f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令 f(x)=0,解得 x1=-2,x2=1. 当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-,-2) -2

11、 (-2,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当 x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选 a. 答案 a 12.(2017 全国 2,理 12)已知abc是边长为 2 的等边三角形,p 为平面 abc内一点,则 ( + )的最小值是( ) a.-2 b.-32 c.-43 d.-1 解析以 bc所在的直线为 x轴,bc的垂直平分线 ad为 y轴,d为坐标原点建立平面直角坐标系,如图. 可知 a(0,3),b(-1,0),c(1,0). 设 p(x,y),则 =(-x,3-y), =(-1-x,-y),

12、 =(1-x,-y). 所以 + =(-2x,-2y). 所以 ( + )=2x2-2y(3-y)=2x2+2(-32)232-32. 当点 p的坐标为(0,32)时, ( + )取得最小值为-32,故选 b. 答案 b 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 6 / 12 13.(2017 全国 2,理 13)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100次.x 表示抽到的二等品件数,则 dx= . 解析由题意可知抽到二等品的件数 x服从二项分布,即 xb(100,0.02),其中 p=0.02,n=100,则dx=np(1-p)=10

13、0 0.02 0.98=1.96. 答案 1.96 14.(2017 全国 2,理 14)函数 f(x)=sin2x+3cos x-34(x0,2)的最大值是 . 解析由题意可知 f(x)=1-cos2x+3cos x-34=-cos2x+3cos x+14=-(cos-32)2+1. 因为 x0,2,所以 cos x0,1. 所以当 cos x=32时,函数 f(x)取得最大值 1. 答案 1 15.(2017 全国 2,理 15)等差数列an的前 n 项和为 sn,a3=3,s4=10,则 =11sk= . 解析设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知a1+ 2d = 3,4a1+

14、432d = 10,解得a1= 1,d = 1. 所以 sn=na1+n(n-1)2d=n(1+n)2. 所以1sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1). 所以 k=1n1=2(1-12) + (12-13) + + (1-1+1) =2(1-1+1) =2+1. 答案2+1 16.(2017 全国 2,理 16)已知 f 是抛物线 c:y2=8x 的焦点,m 是 c上一点,fm 的延长线交 y 轴于点 n,若m 为 fn 的中点,则|fn|= . 解析设 n(0,a),由题意可知 f(2,0). 又 m为 fn的中点,则 m(1,2). 因为点 m在抛物线 c上,所以24=8,即 a2=3

15、2,即 a=42. 所以 n(0,42). 所以|fn|=(2-0)2+ (0 42)2=6. 7 / 12 答案 6 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(2017 全国 2,理 17)(12分) abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.已知 sin(a+c)=8sin22. (1)求 cos b; (2)若 a+c=6,abc的面积为 2,求 b. 解(1)由题设及 a+b+c=,得 sin b=8sin22, 故 s

16、in b=4(1-cos b). 上式两边平方,整理得 17cos2b-32cos b+15=0, 解得 cos b=1(舍去),cos b=1517. (2)由 cos b=1517得 sin b=817, 故 sabc=12acsin b=417ac. 又 sabc=2,则 ac=172. 由余弦定理及 a+c=6得 b2=a2+c2-2accos b =(a+c)2-2ac(1+cos b) =36-2172 (1 +1517) =4. 所以 b=2. 18.(2017 全国 2,理 18)(12分) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100个网箱

17、,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: 8 / 12 旧养殖法 新养殖法 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 a表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg,新养殖法的箱产量不低于 50 kg”,估计 a 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; 箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01). 附:, k2=(-)2(+)(+)(+)(+). 解(1)记 b表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”,c表示事件“新养

18、殖法的箱产量不低于 50 kg”. 由题意知 p(a)=p(bc)=p(b)p(c). 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=0.62, 故 p(b)的估计值为 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008) 5=0.66. 故 p(c)的估计值为 0.66. 因此,事件 a的概率估计值为 0.62 0.66=0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 9 / 12 (3)因为新养

19、殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044) 5=0.340.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.06852.35(kg). 19.(2017 全国 2,理 19)(12分) 如图,四棱锥 p-abcd中,侧面 pad 为等边三角形且垂直于底面 abcd,ab=bc=12ad,bad=abc=90,e 是 pd的中点. (1)证明:直线 ce平面 pab; (2)点 m在棱 pc 上,且直线 bm与底面 abcd所成角为 45,求二面角 m-ab-d的余弦值. 解(1)取 pa 的中点 f,连结 e

20、f,bf. 因为 e是 pd的中点,所以 efad,ef=12ad. 由bad=abc=90得 bcad, 又 bc=12ad,所以 efbc,四边形 bcef 是平行四边形,cebf, 又 bf平面 pab,ce平面 pab,故 ce平面 pab. (2)由已知得 baad,以 a为坐标原点, 的方向为 x轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 a-xyz,则 a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0),p(0,1,3), =(1,0,-3), =(1,0,0). 设 m(x,y,z)(0 x1),则 =(x-1,y,z), =(x,y-1,z-3). 因为 bm与

21、底面 abcd 所成的角为 45, 而 n=(0,0,1)是底面 abcd 的法向量, 所以|cos|=sin 45,|(-1)2+2+2=22, 即(x-1)2+y2-z2=0. 10 / 12 又 m在棱 pc 上,设 = ,则 x=,y=1,z=3 3. 由,解得 = 1 +22, = 1, = -62(舍去), = 1-22, = 1, =62, 所以 m(1-22,1,62),从而 = (1-22,1,62). 设 m=(x0,y0,z0)是平面 abm 的法向量,则 = 0, = 0,即(2-2)0+ 20+ 60= 0,0= 0, 所以可取 m=(0,-6,2). 于是 cos=

22、|=105. 因此二面角 m-ab-d 的余弦值为105. 20.(2017 全国 2,理 20)(12分)设 o为坐标原点,动点 m 在椭圆 c:22+y2=1上,过 m作 x轴的垂线,垂足为 n,点 p 满足 = 2 . (1)求点 p的轨迹方程; (2)设点 q在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 p 且垂直于 oq的直线 l过 c的左焦点 f. 解(1)设 p(x,y),m(x0,y0),则 n(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 2 得 x0=x,y0=22y. 因为 m(x0,y0)在 c 上,所以22+22=1. 因此点 p 的轨迹方程为 x2+y

23、2=2. (2)由题意知 f(-1,0).设 q(-3,t),p(m,n), 则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点 p 存在唯一直线垂直于 oq, 所以过点 p且垂直于 oq的直线 l过 c的左焦点 f. 21.(2017 全国 2,理 21)(12分)已知函数 f(x)=ax3-ax-xln x,且 f(x)0. (1)求 a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e-2f(x0)2-2. 解(1)f(x)的定义域为(0,+). 11 / 12 设 g(x)=ax-a-ln x,则 f(x)=xg(x),f(x)0 等价于 g(x)0. 因为 g(1)=0,g(x)0,故 g(1)=0,而 g(x)=a-1,g(1)=a-1,得 a=1. 若 a=1,则 g(x)=1-1.当 0 x1 时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以 x=1是 g(x)的极小值点,故 g(x)