2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)

1、1 / 29 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷) (本试卷共 8 页,20小题,满分 160 分,考试用时 100 分钟) 数学试题 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 a=-1,0,1,2,b=0,2,3,则 ab= . 2.已知 i是虚数单位,则复数 z=(1+i)(2-i)的实部是 . 3.已知一组数据 4,2a,3-a,5,6 的平均数为 4,则 a 的值是 . 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次,观察向上的点数,则点数和为 5的概率

2、是 . 5.下图是一个算法流程图.若输出 y的值为-2,则输入 x 的值是 . 6.在平面直角坐标系 xoy中,若双曲线2225=1(a0)的一条渐近线方程为 y=52x,则该双曲线的离心率是 . 7.已知 y=f(x)是奇函数,当 x0时,f(x)=23,则 f(-8)的值是 . 2 / 29 8.已知 sin2(4+ ) =23,则 sin 2 的值是 . 9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm,高为 2 cm,内孔半径为 0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3. 10.将函数 y=3sin(2 +4)的图象向右平移6个单

3、位长度,则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 . 11.设an是公差为 d 的等差数列,bn是公比为 q的等比数列.已知数列an+bn的前 n 项和 sn=n2-n+2n-1(nn*),则 d+q的值是 . 12.已知 5x2y2+y4=1(x,yr),则 x2+y2的最小值是 . 13.在abc中,ab=4,ac=3,bac=90,d在边 bc上,延长 ad到 p,使得 ap=9,若 =m +(32-) (m为常数),则 cd 的长度是 . 14.在平面直角坐标系 xoy中,已知 p(32,0),a,b是圆 c:x2+(-12)2=36 上的两个动点,满足 pa=pb,则pab 面

4、积的最大值是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 3 / 29 (14 分) 在三棱柱 abc-a1b1c1中,abac,b1c平面 abc,e,f 分别是 ac,b1c的中点. (1)求证:ef平面 ab1c1; (2)求证:平面 ab1c平面 abb1. 16. 4 / 29 (14 分) 在abc中,角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,c=2,b=45. (1)求 sin c 的值; (2)在边 bc 上取一点 d,使得 cosadc=-45,求 tandac的值. 17.

5、5 / 29 (14 分) 某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底 o在水平线 mn 上,桥 ab 与mn平行,oo为铅垂线(o在 ab上).经测量,左侧曲线 ao 上任一点 d到 mn的距离 h1(米)与 d 到oo的距离 a(米)之间满足关系式 h1=140a2;右侧曲线 bo 上任一点 f到 mn 的距离 h2(米)与 f 到 oo的距离 b(米)之间满足关系式 h2=-1800b3+6b.已知点 b 到 oo的距离为 40 米. (1)求桥 ab 的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于 oo的桥墩 cd和 ef,且 ce为 80 米,其中 c,e在 ab 上(

6、不包括端点).桥墩 ef 每米造价 k(万元),桥墩 cd 每米造价32k(万元)(k0),问 oe为多少米时,桥墩 cd与 ef 的总造价最低? 6 / 29 18. (16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 e:24+23=1 的左、右焦点分别为 f1,f2,点 a 在椭圆 e 上且在第一象限内,af2f1f2,直线 af1与椭圆 e 相交于另一点 b. (1)求af1f2的周长; (2)在 x轴上任取一点 p,直线 ap与椭圆 e 的右准线相交于点 q,求 的最小值; (3)设点 m 在椭圆 e上,记oab 与mab的面积分别为 s1,s2.若 s2=3s1,求点 m 的坐标

7、. 7 / 29 19.(16分) 已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,br)在区间 d 上恒有 f(x)h(x)g(x). (1)若 f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,d=(-,+),求 h(x)的表达式; (2)若 f(x)=x2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k, d=(0,+),求 k的取值范围; (3)若 f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(00,求数列an的通项公式; (3)对于给定的 ,是否存在三个不同的数列an为“3”数列,且 an0?若存在,求 的取值范围

8、;若不存在,说明理由. 数学(附加题) 21.【选做题】本题包括 a、b、c 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a.选修 4-2:矩阵与变换(10 分) 平面上点 a(2,-1)在矩阵 m= 1-1 对应的变换作用下得到点 b(3,-4). 9 / 29 (1)求实数 a,b 的值; (2)求矩阵 m 的逆矩阵 m-1. b.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在极坐标系中,已知点 a(1,3)在直线 l:cos =2 上,点 b(2,6)在圆 c:=4sin 上(其中0,02). (1)求

9、1,2的值; (2)求出直线 l与圆 c的公共点的极坐标. 10 / 29 c.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设 xr,解不等式 2|x+1|+|x|0时,y=2x1,所以 x0不符合题意. 当输入的 x0时,y=x+1,由输出 y的值为-2, 得 x+1=-2,x=-3. 6.32 本题考查双曲线的渐近线方程. 由双曲线2225=1(a0),得其渐近线方程为 y=5x,又因为其中一条为 y=52x, 所以 a=2. 所以 c2=a2+b2=4+5=9, 所以 c=3. 则离心率 e=32. 7.-4 本题考查奇函数的定义和性质. y=f(x)是奇函数, 14 / 29 f(-8)=-

10、f(8)=-823=-4. 8.13 本题考查三角函数的倍角公式. cos(2+ 2)=1-2sin2(4+ )=1-223=-13. 又 cos(2+ 2)=-sin 2, sin 2=13. 9.123 2 本题考查棱柱和圆柱的体积. 底面正六边形的面积 s正六边形=6(12 2 2 sin60)=63, 圆柱底面圆的面积 s圆= (12)2=4, 六角螺帽毛坯的体积 v=(63-4)2=123 2. 10.x=-524 本题考查三角函数图象的平移变换和性质. 将函数 y=3sin(2 +4)的图象向右平移6个单位长度后得到函数 y=3sin2(-6) +4=3sin(2-12)的图象.

11、由 2x-12=2+k,kz,得 平移后的对称轴的方程为 x=724+2,kz. 当 k=0时,x=724,当 k=-1时,x=-524. 所以与 y轴最近的对称轴的方程是 x=-524. 15 / 29 11.4 本题考查等差数列、等比数列的前 n项和. 由等差数列的前 n项和公式和等比数列的前 n项和公式得 sn=na1+(-1)2d+1(1-)1- =2n2+(1-2)n+(-11-)n+11-. 对照已知条件 sn=n2-n+2n-1,得 d=2,q=2, 所以 d+q=4. 12.45 本题考查均值不等式. 由 5x2y2+y4=1, 得 x2=15(12-2). 所以 x2+y2=

12、151215y2+y2=152+45y22425=45. 当152=45y2,即 y2=12,x2=310时,上式取等号, 所以 x2+y2的最小值为45. 13.185或 0 如图,以 a为坐标原点,分别以 ab,ac所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系,则 b(4,0),c(0,3). 由 =m + (32-) ,得 =m( + )+(32-)( + ), 16 / 29 整理得 =-2m +(2m-3) =-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9). 又 ap=9,所以 64m2+(6m-9)2=81,解得 m=2725或 m=0. 当 m=0时, =(0,-9)

13、,此时,c,d重合,cd=0; 当 m=2725时,直线 pa的方程为 y=9-68x, 直线 bc的方程为4+3=1, 联立两直线方程可得 x=83m,y=3-2m. 即 d(7225,2125), cd=(7225)2+ (2125-3)2=185. cd的长度是185或 0. 14.105 本题考查圆与直线的位置关系. 如图,由已知,得 c(0,12),cp=1,abcp. 设过点 p的直径为 ef,ab与 ef相交于点 d,设 cd=d. (1)当点 d与 p在圆心 c的异侧时, 17 / 29 spab=12236-2(1+d) =(36-2)(1 + )2(0d6). 设 f(d)

14、=(36-d2)(1+d)2, 则 f(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1) =-2(d+1)(d-4)(2d+9). 所以 f(d)在区间0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减, 所以当 d=4时,f(d)取得最大值 f(4)=500,此时,spab=105. (2)当点 d与 p在圆心 c的同侧时,当点 d在点 c,p之间时,pab的高为 1-d; 当 d在 cp的延长线上时,pab的高为 d-1. 根据圆的对称性, 当 ab与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中 ab对应的高,所以相应pab的面积也小. 综上,pab面积的最大值是 105. 15.本小题主要考查

15、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14分. 证明 (1)因为 e,f分别是 ac,b1c的中点, 所以 efab1. 又 ef平面 ab1c1,ab1平面 ab1c1,所以 ef平面 ab1c1. (2)因为 b1c平面 abc,ab平面 abc, 18 / 29 所以 b1cab. 又 abac,b1c平面 ab1c,ac平面 ab1c,b1cac=c, 所以 ab平面 ab1c. 又因为 ab平面 abb1, 所以平面 ab1c平面 abb1. 16.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知

16、识,考查运算求解能力.满分 14分. 解 (1)在abc中,因为 a=3,c=2,b=45, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos b,得 b2=9+2-232cos 45=5, 所以 b=5. 在abc中,由正弦定理sin=sin, 得5sin45=2sin, 所以 sin c=55. (2)在adc中,因为 cos adc=-45,所以adc为钝角, 而adc+c+cad=180,所以c为锐角. 故 cos c=1-sin2 =255,则 tan c=sincos=12. 因为 cosadc=-45, 所以 sinadc=1-cos2 =35, 19 / 29 tanadc=sinc

17、os=-34. 从而 tandac=tan(180-adc-c)=-tan(adc+c) =-tan+tan1-tantan=-34+121-(-34)12=211. 17.本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14分. 解 (1)设 aa1,bb1,cd1,ef1都与 mn垂直,a1,b1,d1,f1是相应垂足. 由条件知,当 ob=40时, bb1=-1800403+640=160,则 aa1=160. 由140oa2=160,得 oa=80. 所以 ab=oa+ob=80+40=120(米). (2)

18、以 o为原点,oo为 y轴建立平面直角坐标系 xoy(如图所示). 设 f(x,y2),x(0,40),则 y2=-1800 x3+6x, ef=160-y2=160+1800 x3-6x. 因为 ce=80,所以 oc=80-x. 设 d(x-80,y1),则 y1=140(80-x)2, 20 / 29 所以 cd=160-y1=160-140(80-x)2=-140 x2+4x. 记桥墩 cd和 ef的总造价为 f(x), 则 f(x)=k(160 +18003-6) +32(-1402+ 4) =k(18003-3802+ 160)(0 x0, 所以(1+k)2-4(1+k)0,解得-

19、1k3. 因此,k的取值范围是 0k3. 23 / 29 (3)证明 当 1t2时, 由 g(x)h(x),得 4x2-84(t3-t)x-3t4+2t2,整理得 x2-(t3-t)x+34-22-840.(*) 令 =(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则 =t6-5t4+3t2+8. 记 (t)=t6-5t4+3t2+8(1t2), 则 (t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)0恒成立, 所以 (t)在1,2上是减函数,则 (2)(t)(1),即 2(t)7. 所以不等式(*)有解,设解为 x1xx2, 因此 n-mx2-x1= 7. 当 0t1时, f(-1)-

20、h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1. 设 v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1, v(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1), 令 v(t)=0,得 t=33. 当 t(0,33)时,v(t)0,v(t)是增函数. v(0)=-1,v(1)=0,则当 0t1时,v(t)0. (或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)0.) 则 f(-1)-h(-1)0,因此-1(m,n). 因为m,n-2,2,所以 n-m2+17. 当-2t0,所以 sn+1sn0, 则+1-1=33+1-1. 令+1=bn,则 bn-1=332-1,即(bn-1)2=13(

21、2-1)(bn1). 解得 bn=2,即+1=2,也即+1=4, 所以数列sn是公比为 4的等比数列. 因为 s1=a1=1,所以 sn=4n-1.则 an=1( = 1),3 4-2( 2). (3)设各项非负的数列an(nn*)为“3”数列, 则+113 13=+113,即+13 3=+1-3. 因为 an0,而 a1=1,所以 sn+1sn0,则+13-1=+1-13. 25 / 29 令+13=cn,则 cn-1=3-13(cn1),即(cn-1)3=3(3-1)(cn1).(*) 若 0或 =1,则(*)只有一解为 cn=1,即符合条件的数列an只有一个.(此数列为1,0,0,0,)

22、 若 1,则(*)化为(cn-1)(2+3+23-1+ 1)=0, 因为 cn1,所以2+3+23-1cn+10,则(*)只有一解为 cn=1, 即符合条件的数列an只有一个.(此数列为 1,0,0,0,) 若 01,则2+3+23-1cn+1=0的两根分别在(0,1)与(1,+)内, 则方程(*)有两个大于或等于 1的解:其中一个为 1,另一个大于 1(记此解为 t). 所以 sn+1=sn或 sn+1=t3sn. 由于数列sn从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列sn有无数多个,则对应的an有无数多个. 综上所述,能存在三个各项非负的数列an为“3”数列,的取值范围是 01.

23、 21.【选做题】 a.选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力.满分 10分. 解 (1)因为 1-1 2-1 = 3-4,所以2-1 = 3,-2- = -4. 解得 a=b=2,所以 m= 2 1-1 2. (2)因为 m= 2 1-1 2,det(m)=22-1(-1)=50,所以 m 可逆, 从而 m-1=25 -1515 25. 26 / 29 b.选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10分. 解 (1)由 1cos3=2,得 1=4;2=4sin6=2,又(0,0)(即(0

24、,6)也在圆 c上,因此 2=2或 0. (2)由cos = 2, = 4sin,得 4sin cos =2,所以 sin 2=1. 因为 0,00时,原不等式可化为 2x+2+x4,解得 0 x23; 当-1x0时,原不等式可化为 2x+2-x4,解得-1x0; 当 x-1时,原不等式可化为-2x-2-x4,解得-2x-1. 综上,原不等式的解集为|-2 23. 22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力.满分 10分. 解 (1)连接 oc,因为 cb=cd,o为 bd中点,所以 cobd. 又 ao平面 bcd,所以 aoob

25、,aooc. 以 , , 为基底,建立空间直角坐标系 o-xyz. 因为 bd=2,cb=cd=5,ao=2, 所以 b(1,0,0),d(-1,0,0),c(0,2,0),a(0,0,2). 因为 e为 ac的中点,所以 e(0,1,1). 27 / 29 则 =(1,0,-2), =(1,1,1), 所以|cos|=| | | |=|1+0-2|53=1515. 因此,直线 ab与 de所成角的余弦值为1515. (2)因为点 f在 bc上,bf=14bc, =(-1,2,0). 所以 =14 = (-14,12,0). 又 =(2,0,0), 故 = + = (74,12,0). 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 def的一个法向量, 则 1= 0, 1= 0,即1+ 1+ 1= 0,741+121= 0, 取 x1=2,得 y1=-7,z1=5,所以 n1=(2,-7,5). 设 n2=(x2,y2,z2)为平面 dec的一个法向量,又 =(1,2,0), 则 2= 0, 2= 0,即2+ 2+ 2= 0,2+ 22= 0,取 x2=2,得 y2=-1,z2=-1