高数b常用公式手册

1、窝等數学复习務扎常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式3、一元二次方租血"十吐十C = 0的解4、某些数列的前n巩和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8、一些初等函数 两个重要极限9、三角国数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向畳代数13、多元国数微分法及应用14、多元国数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式矿 _ 犷=_ 方）（3 十 b）12 o3i&3= （a ±&）（a2干衣十 b j1.3佃为正整数）为偶数）（a 十点一络十屮-沪十十处z十萨L） 十旗十霁一a&qu

2、ot;嚮十十处一'一护"）1.4 a" +bn = （a + b）（严一 a'l2b + an3b2川严 + bnl）（n 为奇数）2、三角不尊式2.1 b +旬兰同+网2.3 b-范 hl -11 2.4 -同5同2.6 1°1 5 右吕一b<a<b3、一尤二次方程 血？十比十c = 0的解3.2（韦达定理）根与系数的关系:bcXi +衍=-> 心北2 = - aq3.3判别式：宀4彳就I <0万程伺不日异一开怩，方程有相等二实味艮,方程有共觇复数扌艮4、某些数列的前n项和4.1 1十2十3十也工厶4.2 1 十 3 十

3、5 十"十（2n 1） = Ji/4.3 2十&十6 卜（2切=n（n十1）44十护十沪十十+ y+ 1）64.51?十子十护十十（2陀一 i=吨 _ 1）窝孑敦学复习心丈4.613± 23 + 33十十宀讣十1尸44.7尸十3? +取十十（如一 1=邛%2卅一 1）4.8 1.2 + 2.卯卄 + 1）=血芈±2J5、二项式展开公式5.1 十疔=/十农讥十"（：）瞭十如-；）y-2）_皆十十 u O 十*一1）.（十1）严皆十十矿k（cy=o（C为常数）f（a为实数）(rt'X = n* lnt? e1 / = e'(log x

4、Y = J (InxY =丄x In ax(sinx/= cosx(cosx)r = -sin.v(tanx)r = sec: a =rcos' x(cot.r)r = esc2 x = 一；sin x(scca / = sccx tan .r (cscx)r = -csc.r col.v (arcsin.v)r = Jx/l-x2(arccosv)* = -1v'l-x2. 1(arclanx) =r1+L(arccolxy = 1 + jC6、基本求导公式:寓等數学复习旅扎-.V双曲正弦:曲v =二2X . -X双曲余弦乂加,2川 rtti【J?4 = Cshx ex -e

5、双曲止切:x =_cj/k¥i ex +e'x d舲我那+C心-1)archx =r±knCx-Xarthx = 7-In 声心才+ Caxdx = - + CIn ajcosxJ.v = sinx + C jsin xdx = -cosx + C.sinx lini= 12 xlim (1 + 丄)* = w = 2.718281828459045.“ xJ see xdx = In |secx + tan x| + CJ c scxdx = ln|cscx-cot x + Cf 、= arc tanx +CJ l + x2f ,= arcs in x + C竺一

6、=f sec2 xdx = tan x + CJ cos x J(=fese2 xdx = -cotx + CJ sin" x JJsecx tan xdx = secx + CJcscx cotAYZr = - cscx + C7、基本积分公式:两个重要极限:8、一些初等函数:9、三角函数公式:诱导公式：数 角卜、sincostancot-a-sincecosa-tanac（）ta90° -acosasinacotatina90° +acosoc-sina-tana180° ysina-cosa-tana-cota180° +a-sina-c

7、osat；uiacota270° 7-cosa-sinacotatota270° +a-cosasina-tana360° y-sinacosa-tana-cota360° +asinacosat；uiacota和差化积公式:和差角公式：sin(tz±/7) = sincrcos/7±cosasin 0cos(a± P) = cosacos/7 + sinasin 0z c、 tan a 土 tan 0tan(a ± 0)=1 + tan a tan pz , c、 cotacot0不 1cot(a ±

8、0) =cot0土cota.° 小&+0a-0sincr + sin p = 2 sin cos22sin cr-sin 0 = 2cossin22c ca + Pa_ pCOS6Z+COS0 = 2coscoscosa-cos0 = 2 sin寓等數学复习心天倍角公式:sin 2a = 2sinacosacos2a = 2cos a 1 = l-2sin a = cos' a-sin' acot2cr =coFa-l2cotasin 3a = 3sina - 4sin' a cos3q = 4cos3 a-3cosatan 2a =2 tan a1-

9、tan2 atan3(z =3 tan a-tan3 a1-3 tan2 a半角公式：.a , il-cosasin = ±j2 V 2a , l-cosa l-cosa sincr tan = ± =2v 1 + cosasin a1 + cosaa , (1 + cosa cos = 土、2 V 2a , /1 + cosa 1+cosasin acot = ± ；=2 v 1-cosa sin a l-cosa正弦定理:u _ bsin A sinB=2RsinC余弦定理：2一 2abcosC龙arctan.v = -arc cotx2反三角函数性质：arc

10、sinx = arc cost10、高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:11.中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:/(/?)-/«) =广柯西中值定理:F(b) - F(a)广(GF)当F(x) = x时，柯西中值定理就融格朗日中值定理：寓等數学复习旅扎1厶空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d = |M,M21 = 7(x2-xl)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2 向量在轴上的投影Pr j； XB = |Xb| cos<p ABju轴的夹角。Pr ju+«2) = Pr jax + Pr ja2ci'b =|i/|- b cosO =

11、axbx + avl + a.bz,是一个数量两向量之间的夹角COS&=;c =axb = ax线速度：v = w'xr.Clzb. = Nxb 冋COStZ,G为锐角时,J kay a: ,|c| = |«|- /? sin例:®仇bz向量的混合积abc = (dxb)-c = bx bc. c代表平行六面体的体积 平面的方程：1、点法式：A(x-xo) + B(>*-yo) + C(z-z0) = 0,其中n = A,BtC,M0(xQtyQ9z0)2、一般方程：Ax+By+Cz + D = O3、截距世方程 + + - = 1a b c平面外任意

12、一点到该怖的距离：=也罕/也+'3匚型Va2 + 2+c2x = xQ + mt 空间直线的方程二 =二1 = /,其中2加,“,加渗数方程Jy=v0 + mnplz = Z()+ /” 二次曲面：1、椭球面:二r+二+亠=1Zr L2、抛物面：二+ 21 =乙(/"同号)2p 2q3、双曲面：单叶双曲面匚+二-二=1/ X L双叶双曲面Z-4+=i(马鞍面)13、多元函数微分法及应用全微分：dz = dx + dy chi = dx+ dy + dz dx dy 'dx dy ' oz全微分的近似计算：Az a=人(x, y)Ax + fy (x, y)Ay

13、多元复合函数的求导法dzdz du dz dvZ = /"(/) W), =, , , dtdu dtdv dtz = fu(x.yv(x,y)dz dz on dz dv =.” + dx du dx dv dx-u = u(x9y), v = v(x,y)时,血=迴心+迴dydx dy -一空厶+竺心 dx dy隐函数的求导公式:隐函数F(x) = O,空=-工dx Fy$7 F隐函数F(x, y, z) = 0, dx F.乔一丟（一可）+刃一可）莎dz F、鬲可隐函数方程组F(x,) = 0G(x,>m,v) = 0dFd(u.v)du竺 G “ Gvdv1 6(FG)

14、 J 5(x,v)1 6(F,G)J a(y.v)(6 -av£l61 XFG)J1 8(F,G)J 6(仏 y)微分法在几何上的应用:兀一心 y-儿 z-zox = <p（t） 空间曲y = y/在点"（，儿,）处的切线方程：“、0仏）0仏）少仇）z = 0（/） 在点M处的法平面方程：0仏）（x-X。） + %）（y-儿）+少仏）（z-zo） = O若空间曲线方程为,Fg"则切向量"G（x,”z） = 0曲面F（x, y, z） = 0上一点M （x0，儿,z0）,贝9 ：1、过此点的法向量：斤=巴（心儿也0）£（心儿，）,巴（心儿忆

15、）2、过此点的切平面方程 Fr（xo,yo,zo）（x-xo） + F/xo,yo,za）（y-yo）+/;；（x（）,yo,zo）（z-zo） = O3、过此点的法线方程，F* （兀09»?o） Fy（X。» Vq , z0）Fz （x° '儿 Zq ）尤一观 _ 一儿 _z-%14、多元函数的极值及其求法:设人（心儿）= £（儿）= 0,令：几（心儿）=人几（儿）=5 fyygyJuC AvO,（Xo，yo）为极大值4>0,（尤0，儿）为极小值无矚不确定AC2>0H寸 J则:AC-B' <0时,AC-B2 =0H 寸

16、，15、级数 常数项级数：等比数列+?+/+广|=上乞 1一§等差数列1 + 2 + 3 + “ =也二巴2调和级数d+丄+丄+丄是发散的2 3 n级数审竝:1、正项级数的审敛根植审敛法(柯西弊别法):设：p = lim“TOC V不确定QV1时，级数收敛 则Q>1时，级数发散 p = 1 时，2、比值审敛法:级数收敛 级数发散 0 = 1时，不确定3、定义法：sn = u + “2 +知；lim为存在，则收敛；否则on>x交错级数M -血+“3 -“4 +(或-绚+“2一“3 +上” >0)的审敛法莱布尼兹定理:f Un >如果交错级数满蚪A“ ：0'

17、;那么级数收敛且其和其余项和勺绝对值L；-X 11绝对收敛与条件收敛：(1) % +“2 +知+,其中叫为任意实数;(2) k| + |"+ |®| + |"”| +如果(2)收敛，贝町)肯定收敛，且称为绝对攵敛级数; 如果发散，而(1)收敛，则利(1)为条件收敛级数。调和级数为+发散,级数込占收敛;卩级数込存P<1时发散 >1时收敛磁数:23/|X|<1时，收敛于丄1 + X + A-" +X + + X +/ 1 11-XH>ii时,发散对于级数仓+卒+心+色兀” +，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全 lx < R时

18、收敛数轴上都收敛，则必存在R,使忖>/?时发畝其中/?称为收敛半径。|x| = R时不定(QHOH 寸，R =丄R=+sp = +s时 t R = 0函数展开成察级数：函数展开成泰勒级数：/(X)= /g)(X-%) +口12(观)2+厂如(X “)”+ 2! /?!余项：R”'二旧djf(x)可以展开成泰勒级数航要条件是Jiin/?=O(n + 1)!fX() = OU J-即为麦克劳林公式:/(x) = /(0) + fO)x + -x2 +-xn + 2!iv.一些函数展开成嬴级数：加伽 一1) 2 ,加伽 _1)伽 _ + 1)/ (1 + X) =1 + 1¥

19、+X + +X + (-1VXV1)2!n卫 V5兀2心sinx = x-+ + (1)1 + (一sv xv +s)3! 5!2 1)!欧拉公式：elx =cosx + zsiiixcosx =或sinx =eix +e16、微分方程的相关概念:阶微分方程：y' = f (x, >')或 P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0可分离变量的微分方程一阶微分方程可以Jg(y)dy = f(x)dx的形式，解法：J 8 (yWy=J fMdx得：G(刃=F(x) + C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成空= /(x,y) = 0(x,y),即写成上的函数，解法： dxX设“=上，则如，“+竺=0(“),.竺分离变量，积分后将代替x dxdx dxx (p(u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程 + P