2437微积分初步电子版本

1、2 4 3 7 微 积 分 初 步2437微积分初步习题、填空题(每小题 4分，本题共20分)1 .1函数f(x)4 x的定义域是(2, 1)( 1,4 ln(x 2)sin 4x 2若 lim2，则 k 2x 0 kx3曲线y ex在点(0,1)处的切线方程是 y x 1.d e 24.ln (x1)dx 0dx .x5微分方程y y, y(0)1的特解为y e 6 函数 f (x 2) x11.函数 f (x 1) 4x 2，则 f (x) x26 .17. 当x 0时，f (x) xsin 为无穷小量.x8. 若 y = x (x - 1)( x - 2)( x - 3)，则 y =_2

2、 .139. ,5x1 3x 1)dx 2 10.微分方程y y, y(0)1的特解为y ex.2x 2x，则 f(X)13曲线y . x在点(1, 1)处的切线方程是 y -x 1 2 214若 f (x)dx sin2x c,则 f (x) 4sin2x .15微分方程(y )3 4xy(5)16.函数 f (x 2) x2 4x17.若函数f(x)2,k,y7cosx的阶数为_527，贝y f(x) x 3 x 0,在x 0处连续，则kx 0218.函数y 2(x1)的单调增加区间是1.) 0 2x119. e dx2_20. 微分方程(y )3 4xy(4)y5sin x的阶数为21.

3、 设函数 f (x 2)x24x 5,则 f (x) x2 1 xsi n- k, x 022. 设函数f (x)x在x = 0处连续，则k =1.1,x 023. 曲线f(x)ex 1在(0,2)点的斜率是1.1324. 1 (5x 3x 2)dx 4.25.微分方程xy(y )2 y40的阶数是326.函数f(x)27.函数f(x)1的定义域是ln(x 2)1答案：x 2且x3.28.函数f(xln(x 2)2)x2 4x，则的定义域是f(x)29.若函数f (x).3xsi nxk,1,30.31.函数f (x 1)2函数y x2 2x，则 f (x)32.纽卫的间断点是x 11lim

4、xsin x x.答案：1.答案：(2, 1).答案:f(x) x2(1,20处连续，则k.答案:.答案:f(x)答案：k 1x2133.若lim空经 2，则k答案：k 2x 0 sin kx34.曲线f(x).x 1在(1,2)点的切斜率是答案：1235.曲线f(x)ex在(0,1)点的切线方程是.答案:y x e36.已知f(x)x33x，则f=_.答案:f (x)3x23xln3，f(3)=27 ( 1In 3)37.已知f(x)ln x，贝U f (x)=.答案：f (x)1-，f (x) =12xx38.若(x)xe x，则 f (0)答案：f (x)2e % xex， f (0)2

5、239.函数y 3(x 1)的单调增加区间是 答案：(1,)40.函数f(x)ax2 1在区间(0,)内单调增加，则a应满足.答案：a 01、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1.设函数y xsinx，则该函数是(A).A偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数x22,x02.当k ( C )时，函数f (x)，在x0处连续k,x0A . 0B . 1C. 2D .33下列结论中(C )正确.A . f (x)在xXo处连续，则一定在 Xo处可微.B 函数的极值点一定发生在其驻点上.C . f (x)在x X。处不连续，则一定在 X。处不可导.D.函数的极值点一定发生在不

6、可导点上.D).4.下列等式中正确的是(A . sin xdx d(cosx)1B. In xdx d(-) xC. axdx d(ax)5.微分方程A. 2 ;6.数 f(x)(y )3 4xyB. 3 ;11D. dx.xy5sin x的阶数为(C. 4；d(2、x)B)D. 5A. (1,ln(x 1)的定义域是(C).B. (0,1)(1,)C.(1,2)(2,) D . (0,2)(2,)7. 曲线yA. 28. 下列结论正确的有(A .若f (X。)= 0，则X。必是f (x)的极值点B . X0是f (x)的极值点，且C . X0是f (x)的极值点，贝yD .使f (x)不存在

7、的点X0，9. 下列无穷积分收敛的是(e2x2处切线的斜率是C . e4 DB ).(D.2e4)A. 0e 2xdx10. 微分方程(y )2lim 2x 2 X2A. 1 ;11. 设函数f (X0)存在，则必有X0必是f (X)的驻点_. r曰定是A ).f (xo) = 0f (x)的极值点y(4) cosxy21nx 64B. 2 ；2lim (X 3)(X2)x 2(x 2)( x 2)C. 3 ; D. 4y x sin x，则该函数是(A.非奇非偶函数B.既奇又偶函数B.D.1 dx、xsinxdxx的阶数为(.X 3 limx 2x 2D).C.偶函数).奇函数12.当 xA

8、.一B.-C.ln(1 x)D.XX13.下列函数在指定区间(，)上单调减少的是(BA.cosxB.5 xC. x2Dln x14设 f (x)dxc，则Xf(X)( C ).A.ln ln xB.lnx C.1 ln x, 22D.ln 2 xXX1 5.下列微分方程中，(A)是线性微分方程.0时，下列变量中为无穷小量的是().2Xx2xA - y SI nx ye y l nxB . y y xy eC - y xy eyD.yx2 Iny y16.设函数y xsin x ,则该函数是(B ).A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D .既奇又偶函数17.当x时，下列变量为无穷小量的是（

9、A ）A.si nx1B. In(1 x) C . xs inxA dydydyA.x y ； B.xy y ； C.dxdxdxx xe e26.设函数y，则该函数是(B ).2xy sin x ； D.dydxx(y x)A .奇函数B.偶函数c.非奇非偶函数D .既奇又偶函数18.若函数f （x）在点xo处可导，则（D ） 是错误的.A .函数f（X）在点X0处有定义B.函数f （X）在点X0处连续C .函数f (x)在点X0处可微D.limX X0f(x) A，但 A f(x。)19.若f(x)x . x(x0），则f (x)dx(C).A.x23 3x2 c2B.x2xcC.x.x

10、cD.1 2x222 |X23c20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）A. 3ln(x y)；B.矽y xe ;dxdxC.屯xye e ；D.dyln(x y)dxdx21.函数y1 、ln x的疋义域为(D).x 4A . X0 B . x 4 C . x0且x1D . x0且 x 422.曲线 f (x) ln x 在 xe对应点处的切线方程是（C ).人1A. yx b. ye1 Xe1 c. y 1 x 1 e1D. y - x ee 123.卜列寺式屮正确的是（D )A . sin xdx d(cosx)B.1ln xdx d(-)C.XaXdx d(ax)D.*dx

11、Xd(2、. x)24.下列等式成立的是（A).-JA . 一 f (x)dx f (x)B .f (x)dx f (x) C.d f (x)dxf(x)D.df(x) f(x)dx25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）27.下列函数中为奇函数是(C ).x xe e；2A. xsinx B .C . In(x 1 x ) D228.函数yxln( x 5)的疋义域为(D).x4A . x 5B.x 4 C . x 5 且 x 0D . x5 且 x 429.设 f(x1)x 1，则 f(x) (C)A . x(x 1)2B . xC . x(x 2)D . (x 2)(x 1)3

12、0.当 k (,pex2, x0D :)时，函数f(x)在x 0处连续.k, x 0A . 0B. 1C.231.当 k(B )时，函数f(x)A. 0B. 1 C . 2D . 32x 1, x0门，在x 0处连续k,x0D .132.函数f(x)xx2 3xA.x 1, x-的间断点是(A2Bx 1, x 2, xD .无间断点33.若 f(x) ex cosx，则 f(0)=(C ).A. 2B.1C.-134.设 y lg2x，则 dy (B ).11ln10A .dx BdxC .dx2xxln10xD. -2D . -dx(D )35.设yf (x)是可微函数，则df(cos2x)

13、A . 2 f (cos2x)dx Bf (cos2x)sin2xd2xf (cos2x)sin 2xd2xC . 2 f (cos2x)sin 2xdx Dcosx36. 若 f(x) sinx a3，其中 a是常数，则 f (x)(C ).A . cosx 3a B . si nx 6a C . si nx D237. 函数y (x 1)在区间(2,2)是(D )A.单调增加B .单调减少C .先增后减D .先减后增38. 满足方程f (x)0的点一定是函数 y f (x)的(C ).A.极值点 B.最值点 C .驻点D.间断点39. 下列结论中( A )不正确.A. f (x)在x xo

14、处连续，则一定在 xo处可微.B. f (x)在x x0处不连续，则一定在 x0处不可导C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点可能发生在不可导点上.40. 下列函数在指定区间(，)上单调增加的是(B ).A . si nxB . exC . x2D . 3 x三、计算题(本题共 44分，每小题11 分)1计算极限limx 26x 83x 2m2-XXm2H XX nX3s823 cos x( sin x)xdx3计算不定积分dy23sin xcos x)dx(2x 1)10dx(2x 1)10dx4计算定积分e2In xdx1A-(2x 1)10d(2x 1)2e2ln x

15、dx1e21111)5.计算极限xln xPdx 2e21 x62xlim 2x 2 x 4sin 5x cos3 x，求 dy.x( sin x)3sin xcos2 x 3sin xcos2 x)dx x3dx6.设yy 5cos5x 3cos25cos5x dy (5cos5x37.计算不定积分-3 枝 xsinxdx= 3lnx2x23cosx8.计算定积分xsin xdx0 2x sin xdx 0 29.计算极限limx 21一 x cosx2x2 3x 2x x 60 cosxdx1 .一 sin x2十、. (x 1)( x 2)广 x原式 limlimx 2(x 2)(x 3

16、) x 2x，求 dy.10.设 y cos . xy sin、x 2Jxx2 ln2dy (2x ln211.计算不定积分sin . x、i )dx 2 x(2x1)10dx(2x 1)10dx =(2x1)10d(2x1)122(2x 1) c1112.计算定积分02xsi nxdx02xsi nxdxxcosx|0202cosxdxsin x 013.计算极限limx 2x24x2 3x 2X /V2X 八m2H X14.设 y 2x cos., x，求 dy y 2x ln2 sinjx =.2jxdy (2x ln2 sin-x)dx2依15.计算不定积分xe xdx解:xe xdx

17、=xe x e xdxxe x16.计算定积分1e3解:e3117.dx1 xJ lnx2计算极限lim xx 2dxxe31.12d(1 lnx) ln x2 1 In xe3解:3xx24原式 lim©1)(x2)x 2 (x2)(x 2)18.计算不定积分(1 x)2dx、x解:dx= 2 (1.x)2d(1vx)3(1x)3 c19.计算极限X -m3Hx2x 3解：原式 lim -xxX 3 (xx20.设 y解:21.计算不定积分11 -解:2exdxx3)(x2、(x 11 1二dxx13)1-1exd-x22.计算定积分 2 x cosxdx0解：:xcosxdx =

18、 xsinx2 sin xdx =0 2cosx 2 =223.解:x2 3x 2x24x2 3x x24limx 224.25.x2x2 2x 3li x29lim 厂x 3 x 2xx2 6x 8 lim 厂 x 4 x 5x 4x2 6x 解：limx 4 x3解:5x2limx 2 (x2)( x1)lim xx 2 x112)( x2)24lim(xx 3 (x3)(x3)lim xx 3 x3633)(x1)148lim (xx 4 (x4)(x2)lim xx 4 x2244)( x1)13126.计算极限limx 0解: lim -x 0limx(1 x 1)( 1 x 1)x

19、(j1 x 1)lim 1x 0 ( 1 x 1)lim x 0x(1 x 1)-1 xsin 4x.*'1 x 1解：limx 0 sin 4x27.计算极限limx 0limx 0(,1 x 1)( . 1 x1)1 x1sin 4 x(、1x1limxsin 4 x(、1 x 1)4x1)limx 0lim0 sin 4x( ,1 x1x2ex ，求1y 2xex1)4sin 4x(. 1 x 1)28.设 y解:1 x(29.设解:30.设解:31.设解:1ex(2x 1)T)x求y .2 “sin 4x cos"x，3cos2 x( sin x)3si n4cos4

20、x4cos4x2x2 xcos12“x 1X ' x3 22In cosx,丄2tanx3x2xy 4确定的隐函数,1 / .、 (sin x) cosx2xy(x)是由方程32.设解：方程两边对x求导，得2x 2yydy.(yxy) 0于是得到dyy 2xy 丁y空dxxey y2，求 dy .x求导，得xsin x e2yxe33.设 cosx解：方程两边对于是得到dy34.求微分方程si nxy 丁 2yxsinx e .y dx ey 2yyye y 2yyxe解：将原方程分离变量e ydy两端积分得通解为e y35.求微分方程xy的通解卑 exdx eexdx解：将原方程分离

21、变量两端积分得InIn y = Inex Cyln y满足y(1) e的特解. dyxdxyln yC xCx通解为y = e将y(1)e代入通解，得C 1，故特解为36.求微分方程y 丫x丄的通解.ln x解此方程为一阶线性微分方程，且P(x)1 ,Q(x)x则方程的通解为Idx 1y e x ( e ln x.Idxxdx C) x(dxxln xC)x(ln In x C)37.求微分方程y2x 1满足初始条件y(1)-的特解.4解此方程为一阶线性微分方程，且P(x)1 ,Q(x)x则方程的通解为y e >( (x21dx1)e x dxC)x(x2 1)dxC)1x2 C)将初始

22、条件y(1)4代入通解,C 1，于是满足初始条件的为1八41 y (：x -xx 42四、应用题1 .欲做一个底为正方形，容积为2 1)108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?1082 用钢板焊接一个容积为 4 m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问2解：设底边的边长为 x，高为h，用材料为y，由已知x h 108, h22 108 2432y x4xhx 4x2 xxx令y2x43220，解得x 6是唯-驻点，x2 432且y230,xx6说明x 6是函数的极小值点，所以当 x 6, h 108336水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少?解：

23、设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h所以 S(x) x 4xh x16xS(x)2x16x22, h 1时水箱的表面积最小令 S (x)0 ,得 x 2 ,因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x此时的费用为S(2) 10 40 160 (元)3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设长方体底边的边长为 x ,高为h，用材料为2y，由已知x h 108, h108x2 4xh xx24326是唯一驻点,108因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以x 6是函数的极小值点，即当x 6, h3时用料最36省.4.某制罐厂要生产一种体积为V的

24、有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为 r,高为h，则其表面积为 S，由已知V r2h，于是h 亠，则其表面积为rS2 nr22 nrhS4 nr2V2 r2 nr2 空r0,解得唯一驻点r，由实际问题可知，当 2 n即当容器的底半径与高分别为(aI)J(a > 0 H 工1>a1 cLx =孚c (吃> 0 且口 #1inacJ tit- = u上-c(lognx5 A o 且口 h xlnziJsiiur d花=一 COSO1 十 c=丄i 戈(dn上'=ccsu7= sirui -d-r In | -t | -p <J X fcosjrd-zr =召 inx + c(lari j / =jcm工108