一轮大题专练3—导数（极值、极值点问题1））-2022届高三数学一轮复习

1、1 / 7 一轮大题专练一轮大题专练 3导数（极值、极值点问题导数（极值、极值点问题 1） 1已知函数( )2()1xf xe lnxa=+ （1）若0a =，求曲线( )yf x=在点(1，f（1）)处的切线方程 （2）若1a ，证明：( )f x存在极小值 （1）解：当0a =时，( )21xf xe lnx=+， 所以1( )2()xfxe lnxx=+ 所以f（1）1=，f （1）2e= 所以曲线( )yf x=在点(1，f（1）)处的切线方程为12 (1)ye x =， 即2210exye+ = （2）证明：由( )2()1xf xe lnxa=+，得1( )2()xfxe lnxa

2、x=+ 令1( )h xlnxax=+，则22111( )xh xxxx= 当01x时，( )0h x；当1x 时，( )0h x 所以( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增， 所以( )h x的最小值为h（1）1a= 因为1a ，所以h（1）10a= ，1()0aah ee= 因为( )h x在(1,)+上单调递增， 所以存在0(1,)axe，使得0()0h x=， 在0(1,)x上，( )0h x ，在0(x，)+上，( )0h x ， 即在0(1,)x上，( )0fx，在0(x，)+上，( )0fx， 所以( )f x在0(1,)x上单调递减，在0(x，)+上单调递增

3、， 所以( )f x存在极小值 2已知函数2( )2mf xlnxx=+，mr （1）若0m，函数( )f x图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为 2，求切线斜率取到最小值时的切线方程； （2）若( )( )f xf xmx=有两个极值点，且所有极值的和不小于232e，求m的取值范2 / 7 围 解：（1）1( )fxmxx=+，0 x ， 当0m时，1( )2fxmxmx=+，当且仅当1mxx=，即1xm=时取等号，( )f x取得最小值2 m， 所以22m =，又f（1）12=， 所以1m =，此时切线方程12(1)2yx=，即4230 xy=； （2）2( )( )2mf xf x

4、mxlnxxmx=+，0 x ， 则211( )mxmxf xmxmxx+=+=， 因为( )f x有两个极值点，所以210mxmx+ =在0 x 时有两不等根，设为1x，2x， 所以2040mmm=， 解得4m，且121xx+=，121x xm=， 2212121212()()()()2mf xf xlnxlnxxxm xx+=+ 212121212()()2()122mmln x xxxx xm xxlnm=+= ， 令( )12mg mlnm= ，则11( )02g mm= ，4m， 所以( )g m单调递减且22()32eg e= ， 由22( )3()2eg mg e=， 所以24m

5、 e 3已知函数( )(1)f xxalnx=+的最小值为 0 （）求a； （）设函数( )( )g xxf x=，证明：( )g x有两个极值点1x，2x，且121()()4g xg x+ 解：（）( )(1)f xxalnx=+，定义域是(0,)+， ( )1axafxxx= =， 0a时，( )0fx，( )f x在(0,)+递增，无最小值，不合题意， 3 / 7 0a 时，令( )0fx，解得：xa，令( )0fx，解得：xa， 故( )f x在(0, )a递减，在( ,)a +递增， 故( )minf xf=（a）0aaalnaalna= =，解得：1a =， 综上：1a =； （）

6、证明：由（）2( )( )g xxf xxxxlnx=， 则( )21 122g xxlnxxlnx= =， 21( )xgxx=，令( )0gx，解得：12x ，令( )0gx，解得：102x， 故( )g x在1(0, )2递减，在1(2，)+递增， 故1( )( )2102ming xgln= ，而21()0ge，g（1）0=， 故( )g x有 2 个零点1x，2x，其中11(0, )2x ，21x =， 由1()0g x=，得：1122xlnx=， 故212111()()4g xg xxx+= +，当且仅当112x =时“=”成立， 显然“=”不成立， 故121()()4g xg x

7、+ 4已知函数( )sin()xf xexax ar=，( )cosxg xex= （）当0a =时，求函数( )f x的单调区间； （）若函数( )( )( )f xf xg x=在(2，)上有两个极值点，求实数a的取值范围 解：（）当0a =时，( )sinxf xex=， 则( )(sincos )2sin()4xxfxexxex=+=+， 因为0 xe ， 所以当37(2,2),44xkkkz+时，( )0fx，即( )f x在此区间上单调递减， 当3(2,2),44xkkkz +时，( )0fx，即( )f x在此区间上单调递增， 所 以( )f x的 单 调 增 区 间 为3(2,

8、2),44kkkz+， 单 调 减 区 间 为37(2,2),44kkkz+； 4 / 7 （）设函数( )( )( )sincos(sincos )xxxf xf xg xexaxexexxax=， 令( )( )2sinxh xf xexa=， 则( )h x在(2，)上有两个不同的零点， ( )2(sincos )2 2sin()4xxh xexxex=+=+， 故当3(,)24x时，( )0hx，则( )h x单调递增， 当3(, )4x时，( )0hx，则( )h x单调递减， 又( )h x在(2，)上有两个不同的零点， 所以()02( )03()04hhh，即23420020ea

9、aea ，解得324(2, 2)aee， 故实数a的取值范围为324(2, 2)ee 5已知ar，2( )tan1axxf xxx+=+ （1）当0a =时，求证：对任意( 1,)2x ，( ) 0f x； （2）若0 x =是函数( )f x的极大值点，求a的取值范围 解：（1）证明：当0a =时，1( )tan1f xxx=+， 则2222222211(1)(1cos )(1cos )( )(1)(1)(1)xcos xxx xxfxcos xxcos x xcos x x+ + =+， 当( 1,)2x 时，1cos0 xx+ +， 令( )1cosh xxx=+ ， 则( )1sin0

10、h xx= +， 所以( )h x在( 1,)2上单调递增， 又(0)0h=， 所以当( 1,0)x 时，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递减， 当(0,)2x时，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增， 所以( )(0)0f xf=， 5 / 7 所以对任意( 1,)2x ，( ) 0f x， （2）222121( )(1)axaxfxcos xx+=+ 22222(1)(21)(1)xaxaxcos xcos x x+=+ 2221()(21)cos(1)xaxaxxx+=+， 令221( )()(21)cosxg xaxaxx+=+， ( )g x的正负与(

11、 )f x的单调性有关，且(0)0g=， 所以3cos(1)sin( )2(1)xxxg xxacos x+=+， 令3cos(1)sin( )xxxxacos x+=， 所以24312(1)sin22( )xxsin xxxcos x+ +=， 所以当0 x，4时，( )0 x， 当14x ，0时，431(1)(1cos2 )sin22( )xxxxxcos x+ +=， 4444322(1)cos2sin2223(1)cos52(1)4120 xxxxxxxxxxxcos xcos xcos xcos x+=， 所以14x ，4时，( ) 0 x， 所以( )x在14，4上单调递增，(0)

12、1a= ， 当(0)10a= ，即1a时，(0,)4x时，( )0 x，( )0g x， 所以( )g x在(0,)4上单调递增， 又因为(0)0g=， 所以( ) 0g x在(0,)4上恒成立， 所以( ) 0fx在(0,)4上恒成立， 所以( )f x在(0,)4上单调递增，不合题意， 所以1a舍去， 6 / 7 当(0)10a= 时，即1a ，0 x，使得( )x在1(4，0)x恒为负， 所以( ) 0g x在1(4，0)上成立， 所以( )g x在1(4，0)上单调递减，且(0)0g=， 所以1(4x ，0)时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递增， 0(0,)xx时，

13、( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递减， 所以( )f x在0 x =处取得极大值， 所以1a ， 综上所述，a的取值范围为(1,)+ 6已知函数2( )(1)f xln xmx=+，0m （1）若( )f x在(1，f（1）)处的切线斜率为132，求函数( )f x的单调区间； （2）( )( )sing xf xx=，若0 x =是( )g x的极大值点，求m的取值范围 解：（1）( )f x的定义域是( 1,) +，1( )21fxmxx=+， f （1）113222m=+=，3m=， 21661( )611xxfxxxx+ =+=+， 令( )0fx=，解得：13316x

14、 = ，2336x +=， 令( )0fx，解得：11xx 或2xx， 令( )0fx，解得：12xxx， 故( )f x在1( 1,)x递增，在1(x，2)x递减，在2(x，)+递增， 即( )f x的递增区间是33( 1,)6 和33(6 +，)+，递减区间是33(6 ，33)6 + （2）由题意得2( )(1)sing xln xmxx=+，(0)0g=， 1( )2cos1g xmxxx=+，(0)0g=， 令( )( )h xg x=，则21( )2sin(1)h xmxx=+，(0)21hm=， 若102m，当( 1,)2x 时，21(1)yx= +单调递增， 7 / 7 故( )h x在( 1,)2上单调递增， 又(0)210hm= ，21()2102(1)2hm=+ +， 故存在0(0,)2x，使得0()0h x=， 故当0( 1,)xx 时，0( )()0h xh x =， ( )( )g xh x=在0( 1,)x上单调递减，又(0)(0)0gh=， 故当(