圆锥曲线-2027高三数学（解析版）

圆园锥曲线

三年考情操规律

考点分类三年考情(2024—2026)命题规律

1.基础考查固定:常年考查椭圆标准方程求解、离心

率、顶点、焦点、长/短轴等基础几何性质，是小题必

2026年：仝国〃卷、北京卷、天考题；

津卷、上海卷2.大题题型模板化:主流考查直线与椭圆位置关系，

2025年:全国〃〃卷、北京卷、包含弦长、面积最值、定点定值、参数范围、对称点、轨

天津卷、上海卷迹方程等经典设问；

考点01椭圆2024年:新课标//〃卷、全国甲3.综合难度偏高:常结合斜率关系、面积比例、垂直平

卷、北京卷、天津卷、上海卷行、钝角判定综合命题，计算量大，为高考数学压轴大

题型全覆盖选择、填空、解答大题核心；

题,为圆锥曲线核心必考、分值4.创新设问增多：新增曲线轨迹探究、图形中心性质、

最高考点多交点综合分析，侧重逻辑推理与代数运算结合：

5.卷型特色明显:全国卷重常规综合计算，京津卷重

参数与几何结合，上海卷多多问递进式创新探究。

1.核心考查聚焦:主打双曲线渐近线、离心率、虚实

2026年:全国〃卷、北京卷、天

轴、焦点三角形四大核心考点，题型单一、套路固定；

津卷

2.多选区分度高:新高考多选常结合圆、渐近线、焦点

2025年:全国〃〃卷、北京卷、

三角形面积、垂直关系综合判断；

天津卷

3.综合交汇命题:常与抛物线、直线零点、直角三角

考点02双曲线2024年；新课标/卷、全国甲

形、圆锥曲线共焦点题型结合考查；

卷、天津卷、上海卷

4.难度偏低偏基础:无复杂运算，以公式套用、几何性

以选择、填空小题为主,少量多

质分析为主，是圆锥曲线主要得分点；

选题,极少单独出解答大题，属

5.考情稳定不变:三年均以小题考查，不涉及复杂大

于高频基础考点

题,重点考查离心率求值、渐近线方程求解。

1.核心性质必考:重点考查抛物线定义（距离转化）、

焦点、准线、焦点弦、抛物线上点的坐标性质；

2026年:全国〃卷、天津卷、上

2.多选创新为主:新高考多选高频考查直线与抛物线

海卷

位置关系、几何最值、共线、垂直、面积最值问题；

2025年:全国〃〃卷、北京卷

3.儿何特征鲜明：依托抛物线定义实现“点点距与点

考点03抛物线2024年:新课标〃卷、北京卷、

线距”转化,是解题核心技巧，命题侧重几何直观；

天津卷、上海卷

4.综合交汇灵活:常与圆、等边三角形、垂线、切线结

覆盖填空、多选、解答小问，考

合命题，设问新颖,侧重动态几何分析；

情灵活，创新题型居多

5.难度梯度适中：基础题公式秒杀，压轴多选侧重动

态最值、存在性判断，区分度适中。

真题精准练

考点01桶

1.(2024.新课标〃卷•高考真题)已知曲线。：x2+y2=16(">0),从。上任意一点P向x轴作垂线段

PP,P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()

A堤+93。)B.冬+(=1(9>0)

10o

U2c2/

D,素+聂=1(心0)

IDo

【答案】A

【分析】设点MQ,V),由题意，根据中点的坐标表示可得P(c,2g),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点M(x,y),则F(c,加)，户30),

因为M为PP的中点，所以物=2y,即P(xt2y),

又产在圆炉+才=16(夕>0)上，

所以X2+4y2=16(y>0),即a+号=l(g>0),

即点M的轨迹方程为《+¥=i(v>0).

lb4

故选：A

2.(2026・上海・高考真题)在△ABC中，力B=3,AC=5,BC=Vl4.已知点力，B,。分别为椭圆的上、

下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率.

【答案】目

【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求a,b,c的值，即可得离心率.

【详解】因为ABc.BCc.AC,

根据对称性可知：点48。其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.

①当点43,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1

Q=3

6=V5或无解;

。二2

②当点ABC中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2,

...........»

o\

图2

仅=3(a=V14

财(，Q?+匕2=5或(YQ2+/=5,方程组均无解：

(a—c=V14{a-c=3

综上所述,：a=3,6=A/5,c=2,所以离心率e=9=

a3

2

3.(2026・上海・高考真题)已知椭圆r1：4+y=i(a>i)与椭圆r2：-^-+^=1相交于4、区c、。四

a-6"4-2b~

2

点,且与r,和r2的四个焦点在同一个圆上，则b=

【答案】四

【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.

【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，

所以根据椭圆n和「2的对称性可知，该圆的圆心为原点，

因此有Va2—I2=V624-2—b2=>a2=3,

艮两个椭圆的半焦距为JN+Z—N=Y2,

因此该圆的方程为"+才=2,

又因为A、B、。、。四点与n和「2的四个焦点在同一个圆上，

所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆/+才=2上,

由(青+n2=1一；，代入椭圆匕：萼_+与=i中，

[/+娟=2\y2=^〃+2b2

1_3.

得黄3+/=1=>(〃)2=3，又〃>0,故

故答案为

4.(2026•北京•高考真题)己知椭圆E：+匕=1(。>匕>0)的•个顶点是(2,0)，离心率为g.

a~b22

(1)求£的方程；

⑵过点41,1),斜率为k(kw±l)的直线交椭圆E于反C两点，B关于y=i的对称点为交g

=c于Q,若|SAABQ-S△从CQ|="|■，求k.

【答案】⑴苧+号=1

⑵仁土乡

【分析】(1)利用顶点坐标及离心率计算即可得：

(2)设出宜线2皿,联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点。、点

Q坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出S4^Q与S^e，结合题目所给条件与韦

达定理计算即可得解.

【详解】（1）由题意可得Q=2,财€=色=避三史二注正=4,即b故E的方程为车+手

aa2243

=1;

（2）由题意可得Igc-.y=）（£-1）+1,设8（如功）、C（xity-2）,

由6关于直线y=c对称的点为。，则。（外的），

理.+虻=]

联立，4十3，消去g得：（4奴+3）c2—8k（/c—l）c+或2—8小一8=0,

y=k（x-l）+l

由1~+4■=4VI,故力在梢圆内部，故A>0恒成立，有％i+g=8：，?、卬3=如；2次了，

4J124k'+34/c-+3

则%+改=人（为-1）+1+k（x2—l）+1=左31+22）—2k+2,

*2*5ll

yy2=[K（CL1）+1]•[fc（a;2-1）+1]=依为g+（fc-fc）（jc1+x2）+/-2K+1,

；y-2-Xi/.,”二[g=^^（啰一%）+%1

IcD-y=------（I-劭）+%，联乂<3%，

电-%[y=x

期2«­.C[

贝]3；=,一一（c—幼）+为，即（g—%）2=（如一①1）①一（92—4）劭+为@2一小），

x-2-yi

整理得①二一⑸4f—，即Q（—为…%——工…伙一）,

（叫+12）—（"+改）'（Ci+g）一（%+阴）（/1+比2）一（"+改））

点6到直线AQ的距离&=上二圆■，点。到直线AQ的距离必=山二如,

v2v2

又\AQ\=V2\XQ-1\^'\SLABQ=^-•山/J，S~ACQ=g•闽顶-1|•山屋」,

乙v2乙V2

故ISAABQ-SMCQI一小|一归|=1向―1|,1比1一切1一欣一例||

1C@2一纳劭•I（皿+g）一（加+故）I=七I（①1①-yiy-2）-（刈+色）+（以+故）I

2（皿+如）一（出+如）

=y1(^2-yiy-2)-(刈+g)+3i+y-i)I

=-^-\x[X2—krxix2—(k—A;2)(ci+c2)一北+2上一1—(吃+g)+k(g+g)—2k+2|

222

=-^-\(l—k)x}x2—(1—A:)(X|4-X2)-A:4-l|

j_(1一尼2)(4奴一8k-8)_(1一人)8卜依-1)_

一万4k2+34/c2+3

L412-8k-8-4ki+8"+既2_8k2_8k_8N+8k3+一犹,一3肥+4肥+3

5上+3上+34展+3

_J_5-2-5-_--5

F止+38

即有|5fc2-5|=5k2+号，若炉>i,则5=号，无解，不符:

贝]好vI,有5-5炉=5肥+孕，解得k=±淬：

44

LL.<A/2

故k=±1一.

..................D

5.（2026・全国〃卷・高考真题）椭圆E：耳+才=1（。>1）,过右焦点且与c轴垂直的直线被E截得的长度

a1

、为0

（1）求E的离心率.

⑵。为坐标原点，给定点G（M,0）&JW0）,A（如训）（讥力0）在后上，过点人作?/轴的垂线，垂足为8,40

与GB交于点P当/在E上运动时，。的轨迹为

。）求”的方程；

（ii）”是否有中心点？当M为何值时，M有中心点？当“有中心点时，平移M到Ml使O为AT的中心

点，说明A4'的形状.

【答案】⑴町

⑵⑴M的方程为佶一±）±2+峭+系土_1=0@#0）；

⑻，当£o=±逐时，轨迹M无中心点；

当玄）W±四时，M有中心点（一产二,。0）;

当匕）|>2时，M'形状为焦点在％轴上的椭圆去掉与1轴交点，

当0<1勿IV2时，AT形状为焦点在4轴上的双曲线去掉与，轴交点.

【分析】（1）利用过右焦点垂直于入轴的直线被E所截线段长为北，通过求出坐标解出线段的长，求得

a,b,c再求出离心率；

（2）⑴通过联立方程求出点P的坐标，再反解出点A的坐标，弋入椭圆方程，从而求出P的故迹M的方

程；

（次）先对曲线方程配方，再讨论电在不同取值时，中心存在的情况：再通过平移规律求出M'的方程，再讨

论不同情况下A4'的形状.

【详解】（1）设椭圆耳+姬=1的右焦点为（c,0）,其中c=J后=I,

az

那么过右焦点且垂直于c轴的直线为％=c,代入椭圆得

£•+才=i,即娟=1一冬=1一量甘=±,

a-a-ora-

所以夕=±工，由于截线段长为2=血，解得a=V2,

aa

•故c=V2—1=1,离心率e=9=]——.

;aV22

；（2）（i）方法一：

由⑴知椭圆方程为+式=1,由于点A（XO,T/O）满足手+咪=1,且协工0,过A作g轴的垂线，交y

q一一一一.一一.….....

轴于点B(O,7/O),

那么当价=0时，点4(0,±1),点尸与点4(0,±1)重合;

当gW0时，直线AO方程为：沙=如应直线GB方程为：—+^-=1,

%kiy()

即y=-^-x+y0

C0

联立{x。，解得%+«0即点P(磊?黑>皿

加拆

3一近+为口

①口+1\)

x=--T-rXQ=-7-3-

设尸(①沙)，则由=强==［：(沙"°)，

代入椭圆方程m+烯=1得4(7^)2+(产一)2=1，即排"+^=1

212\ti-x/\t()-x12(t0-x)~(加-吟

两边乘以卫铲.得等+靖二卫铲

Ml/*0

整理得([-4廿+婿+苫_々-1=0,

\%/to

把点尸(0,±1)代入，仍然成立，

X22

故轨迹M的方程为x-\-y+-^-x—1=O(gWO);

\乙i0

方法二:

由于G(综0)&m0),点月在y轴，故直线GB必有斜率；

设直线GB方程为y=k(x-t(j,P(〃”)，那么点9(0,—Mo),

由于AB_1_”轴，则",二一岫)，

由于点尸,0,4三点共线,则O户HOA=>xov=-kt()u,

_t^u

因为点P在直线GB上，所以，卜”\1”tv,

卜=可…)卜产―循尸.=段(叱0)

把4名o，Uo)代入椭圆七方程：1•+4=1,得j+(j=],即：0血+],

22\to-72>、t{-vf2(tu-n)(i0-tz)

整理化简，得(义---g)"2+"+菅1=0,

故轨迹M的方程为—="卜2+式+菅％—1=0(9工°)；

(n)由⑴得轨迹M的方程为佶---卜)£2+姬+圮_]=0@/0),

\2曲/to

当]—=0即tu=±V2时，就迹M的方程为y~+-^-x—1=0(yW0),为抛物线去掉与£轴交点，无中

2to*0

心点；

当4■一即。)工±四且％#0时，

2友

化简轨迹M的方程为(^~2)~1+*'|+^^V=l(y'°),

范一2>

...........»

将轨迹时向左或向右平移个单位得到AT的方程为&L2）"+生2娟=i（羊。）即

这一22铝格

-=1（/。），

*2）27^2

所以当同>④时，河'形状为焦点在X轴上的梢圆去掉与上轴交点，

当OVl^1<72时，”形状为焦点在］轴上的双曲线去掉与出轴交点.

综上，当琳=±逝时，轨迹M无中心点；

2名。0）.

当^±72时，AI有中心点格-2,°r

当阎>2时，M'形状为焦点在c轴上的椭圆去掉与x轴交点，

当0VI曲IV2时，心形状为焦点在1轴上的双曲线去掉与I轴交点.

6.（2026・天津・高考真题）己知椭圆C：4+鸟=1（。>b>0）的离心率为4,椭圆被直线4=b截得的线

a-b-2

段长为，立

⑴求。的标准方程；

⑵斜率为一4的直线与圆d+夕2=〃相切，且该直线交椭圆于p（如功），Q（g,"）（汕<的），人是椭圆

的上顶点.记直线AP,AQ的斜率分别为和的,求与.

IZ）

【答案】⑴耳+4=1

43

⑵3

【分析】（1）根据椭圆的离心率可知Q=2c,〃=3。2,然后将①=b代入椭圆方程即可求解；

⑵根据直线与圆相切即可求出771=±2V3，分类讨论即可.

【详解】（1）由于椭圆的离心率为■，所以e=9=J,即Q=2C,

乙（Jb乙

由于出=。2+。2,所以〃=3c?,

将£=b代入椭圆方程，得三+（=1,即苦+三=1,解得必=92，即。=±W。，

Q?0-4c-3c~42

由题意，所裁得的线段长为小，所以2x斗。=㈡，解得。=1,从而Q2=4,〃=3,

所以椭圆的方程为=1.

⑵由⑴可知，万2=3,所以圆的方程为炉+才=3,

设直线/的方程为^二一心①+M，因为直线,与圆相切，如图所示，

则圆心到直线Z的距离d=/I—=%，解得m=±2，§,

V(-X/3)2+122

梢圆上顶点4(0,，分两种情况讨论：

①当m=2A/3时，直线Z的方程为g=—V3x+2A/3，代入椭圆方程［+与=1，

化简得5x2—161+12=0,解得z=2或c=

5

则当①=2时，沙=0,当1=卷时，夕=上，，由于%V?2,所以P(2,0),Q(~|■，业g),

则幻=噌条=一乎，氏=与三=一卓，此时答=二^=3;

z-Uz2_()bK_y3

5。2一G"

②当巾=一2小时，直线Z的方程为g=—gi—2/J,代入椭圆方程斗十5=1,

化简得5/+16”+12=。,解得0=-2或

当/=_2时，片0,当］=一［■时，片一峥，由于幼〈优,所以尸(一鼻一生乌),Q(-2,0),

_473__尺LLL,3V3.

贝Ik,=—^——=挈，k2=^1=乌，此时今二*=3.

_。—02—2—()2K>\<3_

52

综上所述，华■的值为3.

7.(2026・全国〃卷・高考真题)已知椭圆C：4+卫=1(Q>匕>0)的左焦点为F(-l,0)，离心率为《.

(1)求。的方程；

(2)设。为坐标原点，过R且斜率大于0的动直线Z与。交于P,Q两点，其中Q在第三象限，直线PO

与C的另一个交点为R.

(i)若MQR的面积是△FFO的面积的3倍，求，的方程：

(n)求tan/尸QA的最小值.

【答案】⑴(+亨=1

⑵⑴9二条(x+1)：(w)4V3

【分析】(1)根据焦点以及离心率的定义即可求解；

(2)⑴通过联立直线与楠圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；(优)由于NPQR是直

kpQ—kQR

线PQ与直线RQ的夹角，根据tan/PQR=列出表达式即可求解.

l+kpQ-kQR

【详解】⑴已知椭圆月+z=1的左焦点为尸(一1,0),离心率e=5,

a2b~2

则c=Le=2=《，解得。=2,〃=02一/=22—12=4—1=3,

a2

因此椭圆方程为~—F=1.

4<5

(2)解法一:

设l:y=k(i+1)(k>0),点P(孙幼)，点(2(如仍)，其中为>土2,

y=k（x+A）

联立直线，与桶圆方程<，得（3+4k2）X24-8k%+4k2-12=0.

8奴4k2—12

由韦达定理得算1+x=----------r，式的-------r

23+4好~3+4F

由于RR两点在椭圆上，关于原点对称,

所以点R（-Xi,-g），且幼=上（的+1）,?/2=k（g+1）,

（9

由面积公式,s△尸L/IORI•%一%|=导1・|以一切|=/|%一如=与31-。2),

又因为O是线段PR的中点，所以SAPQO=S^JIQQ,所以S"QR—2s△pQo=k（%i—g）,

%2=半。外01=与=也等，

S・>

由于=3,得2（C]-g）=3（为+1），即：Ei+2电=-3,

令〃=上由电+g=-缶与g+2g=-3,得钎9-4u9+4〃

3+4〃'电3+4〃

入（9一4〃）（9+4〃）_4U-12,解得〃=+,

化/y入"的二4不,iz而12"寸

（3+4-u）23+4〃

所以k=乎，所以直线2的方程为什=乎3+1).

一小一伙g+g+23

(夜)直线QR的斜率为

—x\—x2与十向

k=空时取等号,

于是tan/PQ/?==仇+”2

故tan/尸QR的最小值为4V3.

解法二：

⑴如图所示，设直线/的方程为x=my—1,其中斜率k=」->0=>m>0,

yi

设点P（xbvi），点Q（g,02）,且±2,仍<o,

根据椭圆的中心对称性可知，点R（-如一如,

x=my-l

联立直线与椭圆方程，得匕始，化简得（3W+4加2-6也一9=0,

，+3=1

由韦达定理可得%+加=dm

3m24-4‘%二―3"a+4

因为H是尸关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点，

因此S^QQ—S^JIQO,所以SMQR=2sMQO，

由于S^QR=3sMPQf所以2s&PQO=3SMFO,

S^QO=y\OF\•\yx-2/2I=y•1•1%一如=^■，一如,

SAFO=4-Q*•I%I=：•1•El=。El，

乙N/

所以2•4|"一曲）=3・信版|）,即|劭一加1=5|幼I，

由于幼>0,如V0,所以简化为"一U2=得Ji=幼=-2：及，

代人韦达定理，得阴=,则y、yz=-2煲=-2（一黑）=:

3Jm?2+74v3m2+4'377r+4

化简得45M=36,由于zn>0,解得m美,

2V5y-1,即沙=^^3+1).

所以直线，的方程为2=

5乙

（«）由题意，ZPQR即为直线QP与直线QR的夹角，

直线Q尸即直线。方程为c=（砧>0）,

点Q®,yG，点PQi,幼），点R（f,一例），直线QP的斜率kqp=­f

例一（一%）_如+幼

直线QR的斜率%以=

x2—(~^1)①2+为

由于FQ在直线I=myl(77z>0)上，有马=斤必1,=rny-i1,

财^QR-----""">---,K入劭+T/2=-^7^-,

7几(幼+。2)—23m*4-4

Gm

2_6"，_3俏

则^QR=3m+46m

一二一一-F'

m------26m2—2(3m2+4)

37r产+4

设直线QP的倾斜角为a,直线QR的倾斜角为氏则NPQR=n-6+a,

tana—tan/?_KQP-k

因此tan/PQR=tan(7r—£+a)=tan(a—£)=QR

l+tanatan£1+%/•%；?'

（-竽）_4+3馆2

即tanZPQ/?=盘二挚-=3m+~~~,

1+^QP9^QR1+小（一明mm

由基本不等式得痴+4>2河・=44,当且仅当加=*,即馆=竿时取等号，所以

tanZFQ/l的最小值为4，§.

8.（2025•北京•高考真题）已知椭圆E：M+《=l（a>b>0）的离心率为平，椭圆E上的点到两焦点的距

a2b~2

离之和为4.

（1）求椭圆£的方程:

⑵设O为坐标原点，点M（R,加（网W0）在椭圆E上,直线x（｝x+21yoy-4=0与直线y=2,y=-2分别

交于点46.设△O4VT与408”的面积分别为SiE，比较某与《”的大小.

b?\OB\

【答案】⑴孝■+号=1

⑵旦=也

\OB\

【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出Q,C,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程；

⑵法一:联立直线方程求出点46坐标，即可求出黑•，再根据M=坐:即可得出它们的大小关

\OB\S2\BM\

法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到/AOM=4BOM，再根据三角形的面积公式即

可解出.

【详解】（1）由椭圆可知，2。=4,所以。=2,又©=£=，所以c=V2,b2=d2-c2=2,

a2

故椭圆E的方程为g—F~~=1;

42

（为"+2仇四一4=042加沙

⑵联立（二4_]，消去土得,）+2娟=4,

[丁+万一]的

整理得，（2就+4曲才一16yoy+16-4就=0①，

又苧'+噂=1,所以2就+4丹=8,16-4就=8犹,

故①式可化简为8娟一16洪沙+8%=0,即（沙一珈>=。，所以?/=/）,

所以直线x^x+2yiiy—4=0与辅圆相切，M为切点.

设4（%功）,口但,加），易知，当:ri=g时，由对称性可知，尊=.

t.-"/氏j$\AM\山一例|x-x

故双gVAV为，易知工-==7----------=---x-----n-,

$2\BM\\x2—x^XQ—X-2

联立六必：2。四一4=0,解得,尸土侬，

0=2x0

联立+：物,一4=°,解得心=生色，如=—2,

[y=-^_例

47y(|___

所以=为一须>=的一“。=4_4队一.

S2X{}-X2£()―4+4和碇一4为一4

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_2烯—4认_2一句)

一2潴-4go2+弘)，

I。川_J(xp)+4_J4(l-y())2+而_j4(l_y()y+4_2垢_,端-4g。+4_2_y2

1。8J(4py+4J4(l+g°)2+於j4(l+.))2+4-2烯J%+4-+42+犷

好_\OA\

故取一两.

法二：不妨设4了［,如,63,佻)，易知，当土尸灰时，由对称性可知，鲁=

》2f\Oo\.

故设X2<XQ<X\,

联立,呼：2%四-4=0,解得］产土也期=2,

(夕一2Xo

瑕立产呼+9四-4=0,解得去=心”加=_2,

1夕一一2g

若第一0,则y(j—1,①(］一±/,g-±42，

由对称性，不妨取向=V2,X2=4V2,则A(0,2),B(4V2,-2),M(V2,1),

42172

tanZBOM=V2,tanZBOM=­J■―=四，所以AAOM=/BOM,

1।—<27丁v2

同理，当的=0时，NAOM=ZBOM,

当/遇2¥°时，则及乂=瓷=;聋-=万希-，用川=渠=彳郭

又4'+年'=1，所以就+2*=4,

(1/

叫____y(i_

koA-koM2—2yx(

所以tan/AOA/=t)t

1+kOA,kOMI/।乂y(>

就+2端-2%4-2伙)_2

次(加-2)xl)(y(i—2)须)

珈।的

tanZ^OAf—自""―卜。口_斯2+2，，_就+2*+2训_4+2」。_2

l+kaw，"o8］+幽乂/——、次(讥+2):roQo+2)%

x0\2+2y0)

用tanZXOAf=tan/3OAl,即4AoM=々BOM,

所以旦=I。川QMsinNNOW=|O4|

k~\OB\\OM\sin^BOM~\OB\'

国

9.(2025•天津•高考真题)已知椭圆4+%=l(a>b>U)的左焦点为9，右顶点为A,P为c=Q上一点,

Q~0~

且直线PF的斜率为4,△PEA的面积为白，离心率为J.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点尸的直线与椭圆有唯一交点以异于点4),求证：尸R平分/49应

【答案】⑴罕+4=1

4o

(2)证明见解析

【分析】⑴根据题意，利用椭圆的离心率得到。=2c,再由直线尸尸的斜率得到m=c,从而利用三角形

的面积公式得到关于c的方程，解之即可得解；

(2)联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得上进而得到直线R3的方程与点£的坐标，法一：利用向

量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可程证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法

四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.

【详解】(1)依题意，设椭圆三■+4=1(。，>，)>0)的半焦距为c,

a2b-

则左焦点F(—c,0),右顶点/(Q,0)，离心率e=£~=±■，即Q=2C,

a2

因为P为i=。上一点，设P(a.m),

又直线FR的斜率为[,则“1)、=J,即一中一=v,

3a-(-c)3a+c3

所以=[,解得zn=c，则P(Q,C),即尸(2c,c),

因为AFE4的面积为,|4F|=Q—(―c)=a+c=3c,高为|m|=c,

所以％以=力=JX3cXc=^,解得c=1,

a=2c=2,b2=a2—c2=3,

(2)由(1)可知尸(2,1),R(—1,0),4(2,0。

易知直线的斜率存在，设其方程为y=kx+m,则1=2k+rnf即恒=1—2k,

y=卜⑴+m

222

联立x-2娟，消去y得，（3+4/C）X+8km①+4m—12=0,

T+T=1

因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8/c,m)2-4(3+4k2),(4m2—12)=0,

即仇2一疳+3=0,则4取一(1-2卜)2+3=0,解得卜=一卷，则馆=2,

所以直线P6的方程为g=—}c+2,

y=~x+2M，则凤随),

联立＜,J，解得

左+工=1

4十3

以下分别用四种方法证明结论：

法一:则屈=(2,磊)，丽=(3.1),同=(3,0),

普

FB-FP2x3+xl

所以cos/BEP=

同卜回Ia+图2.反手10

FA'FP_3X3+1X0_3V10

cosZ.PFA=

\FA\-\FP\3^32+121（）

贝］cos/BFP=cosAPFA,又，BFP,ZPFA6（0,^

所以NBFP=NPE4，即尸尸平分NAFB

法二：所以L=1-(-1)=V，弧'=2-(-1)=小心产°，

3__J_

43^--01

由两直线夹角公式，得tanNBPP=。,ta.nZ.PFA=

o1+03

则tanZBFF=tan^PFA,又NBFR/PFAE（0,-y）;

所以4BF