函数的单调性与凹凸性判别实用教案

1、1一、单调(dndio)性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经(y jing)给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。yo)(xfy yo)(xfy abABabBA第1页/共41页第一页，共42页。2 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降(xijing)）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降(xijing)）的. 这就启示我们：能否利用导数的符号(fho)来判定单调性 ？回答是肯定的

2、。定理(dngl)第2页/共41页第二页，共42页。3证应用(yngyng)拉氏定理,得第3页/共41页第三页，共42页。4 解 因为在(0, 2p)内 y1cos x 0 所以, 函数(hnsh) yxsin x 在0 2p上的单调增加 例 判定函数(hnsh) yxsin x 在0 2p上的单调性 v 定理1(函数单调性的判定法)v 设函数f(x)在a b上连续 在(a, b)内可导 v (1)如果(rgu)在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 v (2)如果(rgu)在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 第4页/共41页第四页，共42页。5 因为在

3、( 0)内y0 所以函数 yexx1在0 )上单调增加 解 函数(hnsh)yexx1的定义域为( ) yex1 例 讨论(toln)函数 yex x1的单调性 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性第5页/共41页第五页，共42页。6方法(fngf)问题(wnt)如上例, 函数在定义区间(q jin)上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的临界点二、单调区间求法但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间第6页/共41页第

4、六页，共42页。7 (1) 确定函数的定义域 (2) 求出导数f (x) (3) 求出f (x)全部零点和不可导点 (4) 判断或列表(li bio)判断 (5) 综合结论 确定(qudng)函数单调区间的步骤第7页/共41页第七页，共42页。8例. 确定(qudng)函数的单调(dndio)区间.解:令得021故)(xf的单调(dndio)增区间为)(xf的单调减区间为12xoy12第8页/共41页第八页，共42页。9yxo说明(shumng): 1) 单调区间的分界点除驻点(zh din)外,也可是导数不存在的点. 例如(lr),2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性

5、.例如,yox第9页/共41页第九页，共42页。10例解第10页/共41页第十页，共42页。11xy y 解 这个(zh ge)函数的定义域为( ) 函数f(x)在区间(q jin)( 0和1 )上单调减少 在区间(q jin)0 1上单调增加 ( 0) (0 1) (1 ) 练习 确定函数 的单调区间 xxy3223 驻点(zh din) x=1, 不可导点 x=0 ,第11页/共41页第十一页，共42页。12三、利用(lyng)单调性证明不等式 利用单调(dndio)性证明不等式的步骤：将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项(y xin)）使一端为0, 另一端即为所作的辅助函数f(x).求

6、)(xf 验证f(x)在指定区间上的单调性.与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.第12页/共41页第十二页，共42页。13例证第13页/共41页第十三页，共42页。14单调(dndio)增加 证明(zhngmng) 例 证明: 当 时,20 x.3tan3xxx于 是(ysh)即因此第14页/共41页第十四页，共42页。15例证 定不出符号(fho)第15页/共41页第十五页，共42页。16第16页/共41页第十六页，共42页。17 因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调(dndio)增加例例 6 证明 当 x1 时 xx132 练习 证明(zhngmng) 因此

7、(ync)当x1时 f(x)f(1)=0 即第17页/共41页第十七页，共42页。18证只要(zhyo)证令则所以(suy)即有得思考(sko)第18页/共41页第十八页，共42页。19(concave and convex)四、曲线凹凸(o t)性的判别法 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道(zh do)单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲(wnq)方向却不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日

8、常习惯对凹凸的称呼是一致的。第19页/共41页第十九页，共42页。201.定义(dngy)如何(rh)研究曲线的弯曲方向xyOABCxyo)(xfy 图形上任意弧段位于(wiy)所张弦的上方xyo)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的下方第20页/共41页第二十页，共42页。21)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义(dngy)1恒有凹(凸)221xx 221xx 图形上任意(rny)弧段位于所张弦的下方图形(txng)上任意弧段位于所张弦的上方xyOxyO第21页/共41页第二十一页，共42页。22)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点(y din)的切线定义(dngy)2(上) 方,

9、称为(chn wi)凹 弧.(凸)凹弧的曲线段的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,)(xf 即即是单减的.而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下xyOxyO第22页/共41页第二十二页，共42页。23定理(dngl)2二阶导数(do sh),凹(凸)2. 凹凸(o t)性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 第23页/共41页第二十三页，共42页。24证即这说明(shumng)切线位于曲线的下方, Taylor公式(gngsh)即f(x)是凹的.0)( xf若若第24页/共41页第二十四页，共42页。25观察与思考: f(x)的图形的凹凸(o t)性与f (x)的单调性的关系. 1) f(x)的图形(txng)是凹的 2) f(x)的图形(txng)是凸的 f (x)单调增加; f (x)单调减少.v 定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0。解 函数yexx1的定义