选择性必修第一册第三章 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质

1、1 / 13 33.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 第第 1 课时课时 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围 x0，yr x0，yr y0，xr y0，xr 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 fp2，0 fp2，0 f0，p2 f0，p2 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 顶点坐标 o(0,0) 离心率 e1 通径长 2p 知识点二 直线

2、与抛物线的位置关系 直线 ykxb与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x的方程组 ykxb，y22px解的个数，即二次方程 k2x22(kbp)xb20 解的个数 当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 0，直线与抛物线有一个公共点；若 0)，o 为抛物线的顶点，oaob，则aob的面积是( ) a8p2 b4p2 c2p2 dp2 答案 b 解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接aob 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 ab与抛物线的对称轴垂直，从而直线 oa与 x轴的夹角为 45 . 由方程组 yx，y22px 得 x0，y0或 x2p，y

3、2p， 不妨设 a，b 两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p) 所以|ab|4p，所以 saob124p2p4p2. (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x轴，且与圆 x2y24相交于 a，b两点，|ab|2 3，求抛物线方程 解 由已知，抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上 故可设抛物线方程为 y2ax(a0) 设抛物线与圆 x2y24 的交点 a(x1，y1)，b(x2，y2) 抛物线 y2ax(a0)与圆 x2y24都关于 x轴对称， 点 a与 b 关于 x轴对称， |y1|y2|且|y1|y2|2 3， |y1|y2| 3，代入圆 x2y24， 得 x2

4、34，x 1， a( 1， 3)或 a( 1， 3)，代入抛物线方程， 得( 3)2 a，a 3. 所求抛物线方程是 y23x 或 y23x. 反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负 3 / 13 (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴 (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1. 跟踪训练 1 (1)边长为 1 的等边三角形 aob，o 为坐标原点，abx 轴，以 o 为顶点且过a，b 的抛物线方程是( ) ay23

5、6x by233x cy236x dy233x 答案 c 解析 设抛物线方程为 y2ax(a0) 又 a32，12(取点 a在 x轴上方)，则有1432a， 解得 a36，所以抛物线方程为 y236x.故选 c. (2)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 a，b 两点，o 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，aob 的面积为 3，则抛物线的焦点坐标为( ) a(2,0) b(1,0) c(8,0) d(4,0) 答案 b 解析 因为ca2，所以c2a2a2b2a24，于是 b23a2，则ba 3， 故双曲线的两条渐近线方程为 y 3

6、x. 而抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2， 不妨设 ap2，3p2，bp2，3p2， 则|ab| 3p，又三角形的高为p2， 则 saob12p2 3p 3， 即 p24.因为 p0，所以 p2，故抛物线焦点坐标为(1,0) 二、直线与抛物线的位置关系 命题角度 1 直线与抛物线位置关系的判断 例 2 已知直线 l：ykx1，抛物线 c：y24x，当 k 为何值时，l 与 c：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点 4 / 13 解 联立 ykx1，y24x，消去 y， 得 k2x2(2k4)x10.(*) 当 k0 时，(*)式只有一个解 x14，y1， 直线 l与 c只有一

7、个公共点14，1 ， 此时直线 l平行于 x轴 当 k0 时，(*)式是一个一元二次方程， (2k4)24k216(1k) 当 0，即 k1，且 k0 时， l与 c 有两个公共点，此时直线 l与 c 相交； 当 0，即 k1 时，l与 c 有一个公共点，此时直线 l与 c 相切； 当 1时，l与 c没有公共点，此时直线 l与 c 相离 综上所述，当 k1或 0 时，l与 c有一个公共点； 当 k1时，l与 c 没有公共点 命题角度 2 直线与抛物线的相交问题 例 3 已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 a，b 两点，且|ab|52p，求 ab 所在的直线

8、方程 解 由题意知焦点 fp2，0 ，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 若 abx 轴，则|ab|2p52p，不满足题意 所以直线 ab 的斜率存在，设为 k， 则直线 ab的方程为 ykxp2，k0. 由 ykxp2，y22px， 消去 x，整理得 ky22pykp20. 由根与系数的关系得 y1y22pk，y1y2p2. 所以|ab|11k2 (y1y2)2 11k2 (y1y2)24y1y22p11k252p， 5 / 13 解得 k 2. 所以 ab 所在的直线方程为 2xyp0 或 2xyp0. 延伸探究 本例条件不变，求弦 ab的中点 m 到 y 轴的距离 解 如图，过 a

9、，b，m 分别作准线 xp2的垂线交准线于点 c，d，e. 由定义知|ac|bd|52p， 则梯形 abdc 的中位线|me|54p， m点到 y 轴的距离为54pp234p. 反思感悟 直线与抛物线的位置关系 (1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为 0 的情况 (2)一般弦长：|ab| 1k2|x1x2|11k2|y1y2|. (3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2p. 跟踪训练 2 (1)过点 p(0,1)与抛物线 y2x有且只有一个交点的直线有( ) a4 条 b3 条 c2 条 d1 条

10、 答案 b 解析 如图，过 p 可作抛物线的两条切线，即 y 轴和 l1均与抛物线只有一个公共点，过 p可作一条与 x轴平行的直线 l2与抛物线只有一个公共点 故过点 p 与抛物线只有一个公共点的直线共 3 条，故选 b. (2)设抛物线 c：x24y 焦点为 f，直线 ykx2 与 c 交于 a，b 两点，且|af |bf 25，则k 的值为( ) a 2 b1 c 1 d2 6 / 13 答案 a 解析 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线 ykx2 代入 x24y， 消去 x 得 y2(44k2)y40， 所以 y1 y24，y1y244k2， 抛物线 c：x24y的准线方程为

11、 y1， 因为|af y11，|bf y21， 所以|af |bf y1 y2(y1y2)1444k2125k 2. 1已知点 a(2,3)在抛物线 c：y22px(p0)的准线上，记 c 的焦点为 f，则直线 af 的斜率为( ) a43 b1 c34 d12 答案 c 解析 因为抛物线 c：y22px 的准线为 xp2，且点 a(2,3)在准线上，所以p22，解得 p4，所以 y28x，所以焦点 f的坐标为(2,0)，故直线 af 的斜率 k302234. 2(多选)以 y 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) ay28x

12、 by28x cx28y d. x28y 答案 cd 解析 设抛物线方程为 x22py 或 x22py(p0)， 依题意得 yp2，代入 x22py 或 x22py得|x|p， 2|x|2p8，p4. 抛物线方程为 x28y或 x28y. 3设 o 为坐标原点，f为抛物线 y24x的焦点，a是抛物线上一点，若oa af4，则点a 的坐标是( ) a(2， 2 2) b(1， 2) c(1,2) d(2,2 2) 答案 b 解析 由题意知 f(1,0)，设 ay204，y0，则oay204，y0，af1y204，y0. 7 / 13 由oa af4得 y0 2，点 a 的坐标为(1， 2)，故选

13、 b. 4抛物线 y24x 的弦 abx轴，若|ab|4 3，则焦点 f 到直线 ab 的距离为_ 答案 2 解析 由抛物线的方程可知 f(1,0)，由|ab|4 3且 abx轴得 y2a(2 3)212， xay2a43， 所求距离为 312. 5直线 ykx2与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_. 答案 0或 1 解析 当 k0时，直线与抛物线有唯一交点， 当 k0 时，联立方程消去 y，得 k2x24(k2)x40， 由题意 16(k2)216k20， k1. 1知识清单： (1)抛物线的几何性质 (2)直线与抛物线的位置关系 2方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法 3常

14、见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况 1若抛物线 y24x 上一点 p 到 x 轴的距离为 2 3，则点 p 到抛物线的焦点 f 的距离为( ) a4 b5 c6 d7 答案 a 解析 由题意，知抛物线 y24x的准线方程为 x1， 抛物线 y24x上一点 p到 x轴的距离为 2 3， 则 p(3， 2 3)， 点 p到抛物线的准线的距离为 314， 点 p到抛物线的焦点 f的距离为 4.故选 a. 2过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 a，b 两点，它们的横坐标之和等于8 / 13 5，则这样的直线( ) a有且仅有一条 b有且仅有两条 c有无穷多条 d不存在

15、 答案 b 解析 当斜率不存在时，x1x22 不符合题意 当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为 yk(x1)，k0， 由 yk(x1)，y24x 得 k2x2(2k24)xk20， x1x22k24k25， k243，即 k2 33. 因而这样的直线有且仅有两条 3设抛物线 y28x 的焦点为 f，准线为 l，p 为抛物线上一点，pal，a 为垂足如果直线 af的斜率为 3，那么|pf|等于( ) a4 3 b8 c8 3 d16 答案 b 解析 由抛物线方程 y28x，可得准线 l：x2，焦点 f(2,0)，设点 a(2，n)， 3n022， n4 3. p点纵坐标为 4

16、3. 由(4 3)28x，得 x6， p点坐标为(6,4 3)， |pf|pa|6(2)|8，故选 b. 4抛物线 y24x 与直线 2xy40 交于两点 a 与 b，f 是抛物线的焦点，则|fa|fb|等于( ) a2 b3 c5 d7 答案 d 解析 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则|fa|fb|x1x22. 由 y24x，2xy40得 x25x40， 9 / 13 x1x25，x1x227. 5已知直线 l 过抛物线 c 的焦点，且与 c 的对称轴垂直，l 与 c 交于 a，b 两点，|ab|12，p为 c 的准线上的一点，则abp的面积为( ) a18 b24 c36 d4

17、8 答案 c 解析 不妨设抛物线方程为 y22px(p0)， 依题意，lx 轴，且焦点 fp2，0 ， 当 xp2时，|y|p， |ab|2p12，p6， 又点 p到直线 ab的距离为p2p2p6， 故 sabp12|ab| p1212636. 6抛物线 y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_ 答案 18，24 解析 设抛物线上点的坐标为(x， x)，此点到准线的距离为 x14，到顶点的距离为x2( x)2，由题意有 x14x2( x)2，x18，y24，此点坐标为18，24. 7已知 f 是抛物线 c：y28x 的焦点，m 是 c 上一点，fm 的延长线交 y 轴于点 n.若 m 是f

18、n 的中点，则|fn|_. 答案 6 解析 如图，过点 m 作 mmy 轴，垂足为 m，|of|2， m为 fn的中点，|mm|1， m到准线距离 d|mm|p23， |mf|3，|fn|6 8已知点 a 到点 f(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等，点 a 的轨迹与过点 p(1,0)且斜率为 k的直线没有交点，则 k 的取值范围是_ 答案 (，1)(1，) 10 / 13 解析 设点(x，y)，依题意得点 a在以 y24x. 过点 p(1,0)且斜率为 k的直线方程为 yk(x1)， 由 y24x，ykxk，得 ky24y4k0，当 k0时，显然不符合题意； 当 k0 时，依题意得 (

19、4)24k 4k0)， 设 a(x0，y0)，由题意知 m0，p2， |af|3，y0p23， |am| 17，x20y0p2217， x208，代入方程 x202py0得， 82p3p2，解得 p2或 p4. 所求抛物线的标准方程为 x24y或 x28y. 10已知抛物线 c：y2x2和直线 l：ykx1，o 为坐标原点 (1)求证：l与 c必有两交点 (2)设 l与 c交于 a，b两点，且直线 oa 和 ob斜率之和为 1，求 k的值 (1)证明 联立抛物线 c：y2x2和直线 l：ykx1，可得 2x2kx10， 所以 k280，所以 l与 c 必有两交点 (2)解 设 a(x1，y1)

20、，b(x2，y2)， 则y1x1y2x21， 因为 y1kx11，y2kx21，代入， 得 2k1x11x21， 由(1)可得 x1x212k，x1x212，代入得 k1. 11若点 m(1,1)是抛物线 y24x的弦 ab 的中点，则弦 ab的长为_ 答案 15 解析 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入抛物线 y24x，可得 y214x1，y224x2， 11 / 13 两式相减，可得 ky1y2x1x24y1y22， 所以直线 ab 的方程为 y12(x1)，即 y2x1， 代入抛物线的方程得 4x28x10，则 x1x22，x1x214， 则|ab 1k2 (x1x2)24x1

21、x2 522414 15， 即弦 ab 的长为 15. 12已知 a，b 是抛物线 y22px(p0)上两点，o 为坐标原点若|oa|ob|，且aob的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 ab的方程为_ 答案 x5p2 解析 由抛物线的性质知 a，b 关于 x 轴对称 设 a(x，y)，则 b(x，y)，焦点为 fp2，0 . 由题意知 afob，则有yxp2yx1. 所以 y2xxp2，2pxxxp2. 因为 x0.所以 x5p2. 所以直线 ab 的方程为 x5p2. 13抛物线 x22py(p0)的焦点为 f，其准线与双曲线x23y231 相交于 a，b 两点，若abf 为等边三角形，则 p_. 答案 6 解析 抛物线的焦点坐标 f0，p2，准线方程为 yp2.代入x23y231 得| |x 3p24. 要使abf 为等边三角形，则 tan 6|x|p3p24p33，解得 p236，p6. 14直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 a，b 两点，过 a，b 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 p，q，则梯形 apqb的面积为_ 答案 48 解析 由 y24x，yx3消去 y 得 x210 x90，得 x1或 9，即 x1，y2或 x9，y6. 12 / 13 所以|ap|10，|bq|2或|bq|10，|ap|2，