选择性必修第一册第三章 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用

1、1 / 13 第第 2 课时课时 双曲线的标准方程及性质的应用双曲线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用 知识点一 直线与双曲线的位置关系 设直线 l：ykxm(m0)， 双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)， 把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. (1)当 b2a2k20，即 kba时，直线 l 与双曲线 c 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点 (2)当 b2a2k20，即 kba时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2) 0直线与双曲线有两个公共点； 0直线与双曲线有一

2、个公共点； 0， 解得 2k 2且 k 1. 所以实数 k 的取值范围为( 2，1)(1,1)(1， 2) (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(1)，得 x1x22k1k2，x1x221k2. 又直线 l恒过点 d(0，1)， 则当 x1x20时，soab|soadsobd| 12|x1|12|x2| 12|x1x2| 2. 所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2 2)2， 3 / 13 即2k1k2281k28，解得 k0 或 k62. 由(1)，知上述 k的值符合题意，所以 k0或 k62. 反思感悟 直线与双曲线 (1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为

3、0 的情况) (2)弦长公式 设直线 ykxb 与双曲线交于 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则|ab| 1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2. 跟踪训练 1 已知双曲线焦距为 4，焦点在 x 轴上，且过点 p(2,3) (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线 m 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1，求直线 m被双曲线截得的弦长 解 (1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a，b0)， 由已知可得左、右焦点 f1，f2的坐标分别为(2,0)，(2,0)， 则|pf1|pf2|22a，所以 a1， 又 c2，所以 b 3， 所以双曲线方程为 x2y231. (2)由题意可

4、知直线 m 的方程为 yx2， 联立双曲线及直线方程消去 y得 2x24x70， 设两交点为 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 所以 x1x22，x1x272， 由弦长公式得|ab| 1k2|x1x2| 1k2(x1x2)24x1x26. 二、与双曲线有关的轨迹问题 例 2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 4 s已知各观测点到该中心的距离是 1 020 m则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为 340 m/s，相关各点均在同一平面上)( ) a北偏西 45 方向，距离 680 10

5、m b南偏东 45 方向，距离 680 10 m c北偏西 45 方向，距离 680 5 m 4 / 13 d南偏东 45 方向，距离 680 5 m 答案 a 解析 如图，以接报中心为原点 o，正东、正北方向为 x 轴，y轴正向，建立直角坐标系 设 a，b，c 分别是西、东、北观测点，则 a(1 020，0)，b(1 020,0)，c(0,1 020). 设 p(x，y)为巨响发生点 由已知|pa|pc|，故 p 在 ac 的垂直平分线 po上，po 的方程为 yx， 又 b 点比 a 点晚 4 s 听到爆炸声，故|pb|pa|34041 360， 可知 p点在以 a，b 为焦点的双曲线x2

6、a2y2b21上， 依题意得 a680，c1 020， b2c2a21 0202680253402, 故双曲线方程为x26802y2534021， 将 yx 代入上式，得 x 680 5， |pb|pa|，x680 5，y680 5 ， 即 p(680 5，680 5), 故 po680 10 . 故巨响发生在接报中心的北偏西 45 距中心 680 10 m处 反思感悟 和双曲线有关的轨迹 (1)定义法解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线 (2)直接法根据点满足条件直接代入计算 跟踪训练 2 若动圆 p 经过定点 a(3,0)，且与定圆 b：(x3)2y216 外切，试求动

7、圆圆心p 的轨迹 解 设动圆圆心 p(x，y)，半径为 r. 则依题意有|pa|r，|pb|r4， 故|pb|pa|4. 即动圆圆心 p 到两个定点 b(3,0)，a(3,0)的距离之差等于常数 4，且 40，b0)，则 c3,2a4，b25， 5 / 13 所以动圆圆心 p的轨迹方程为x24y251(x2) 所以动圆圆心 p的轨迹是双曲线x24y251的右支 1已知双曲线方程为 x2y241，过点 p(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 共有( ) a4 条 b3 条 c2条 d1 条 答案 b 解析 因为双曲线方程为 x2y241，则 p(1,0)是双曲线的右顶点，所以过

8、p(1,0)并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过 p(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有 3 条 2若直线 ykx 与双曲线 4x2y216相交，则实数 k 的取值范围为( ) a(2,2) b2,2) c(2,2 d2,2 答案 a 解析 易知 k 2，将 ykx 代入 4x2y216得关于 x的一元二次方程(4k2)x2160， 由 0 可得2k0. 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 x1x22m，y1y2x1x22m4m， 所以线段 ab 的中点坐标为(m，2m) 又点(m，2m)在 x2y25上， 所以 m2(

9、2m)25，得 m 1. 1知识清单： (1)判断直线与双曲线交点个数 (2)弦长公式 2方法归纳： 定义法，直接法 3常见误区： 直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用 来判断直线与双曲线的位置关系代数计算中的运算失误 1若直线 xa 与双曲线x24y21 有两个交点，则 a的值可以是( ) a4 b2 c1 d2 答案 a 解析 因为在双曲线x24y21中，x2 或 x2， 所以若 xa 与双曲线有两个交点， 7 / 13 则 a2或 a0)没有公共点，则 a 的取值范围是( ) aa1 b0a1 da1 答案 d

10、 解析 等轴双曲线 x2y2a2的渐近线方程为 y x，若直线 yax(a0)与等轴双曲线 x2y2a2没有公共点，则 a1. 4直线 l：ykx与双曲线 c：x2y22交于不同的两点，则斜率 k的取值范围是( ) a(0,1) b( 2， 2) c(1,1) d1,1 答案 c 解析 由双曲线 c：x2y22 与直线 l：ykx 联立，得(1k2)x220.因为直线 l：ykx与双曲线 c：x2y22 交于不同的两点，所以 1k20，8(1k2)0， 解得1k0)的左、右焦点，过点 f1且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 c 交于 a，b 两点若abf2的面积为 2 6，则该双曲线的渐近线

11、方程为( ) ay 3x by33x cy 2x dy22x 答案 d 解析 设 f1(c，0)，a(c，y0)， 则c2a2y2021， y202c2a21c2a2a2b2a22a2， y204a2， |ab|2|y0|4a. 8 / 13 又2abfs2 6， 12 2c |ab|12 2c4a4ca2 6， ca62， bac2a2122. 该双曲线的渐近线方程为 y22x. 6若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的左支交于不同的两点，则 k 的取值范围为_ 答案 1，153 解析 联立方程 ykx2，x2y26得(1k2)x24kx100， 若直线 ykx2 与双曲线 x2y26

12、的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负根 所以 16k240(1k2)0，x1x2101k20，x1x24k1k20，x1x24，x1 x28， |ab| (1k2)(x1x2)24x1x2 2(1632)4 6. 8已知 f1，f2是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，以线段 f1f2为边作正mf1f2，9 / 13 若边 mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率 e_. 答案 31 解析 以线段 f1f2为边作正mf1f2，则 m 在 y 轴上，可设|f1f2|2c，m 在 y 轴正半轴，则 m(0， 3c)，又 f1(c，0)，则边 mf1的中点为c2，32c ，代入双

13、曲线方程，可得c24a23c24b21，由于 b2c2a2，eca，则有 e23e2e214，即有 e48e240，解得 e24 2 3，由于 e1，即有 e1 3. 9已知双曲线的方程为 x2y221，直线 l 过点 p(1,1)，斜率为 k. 当 k 为何值时，直线 l 与双曲线有一个公共点？ 解 设直线 l：y1k(x1)，即 ykx(1k) 由 ykx(1k)，x2y221， 得 (k22)x22k(k1)xk22k30. 当 k220，即 k 2时，方程只有一个解； 当 k220，且 2416k0，即 k32时，方程只有一个解 综上所述，当 k 2或 k32时，直线 l与双曲线只有一

14、个公共点 10斜率为 2的直线 l 在双曲线x23y221 上截得的弦长为 6，求直线 l的方程 解 设直线 l的方程为 y2xm， 由 y2xm，x23y221，得 10 x212mx3(m22)0.(*) 设直线 l与双曲线交于 a(x1，y1)，b(x2，y2)两点， 由根与系数的关系， 得 x1x265m，x1x2310(m22) 于是|ab|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2 5(x1x2)24x1x253625m24310(m22) . 因为|ab| 6， 所以365m26(m22)6. 则 m215，m 15. 10 / 13 由(*)式得 24m2240， 把 m

15、15代入上式，得 0， 所以 m的值为 15， 故所求 l的方程为 y2x 15. 11已知直线 yax1 与双曲线 3x2y21 交于 a，b 两点，则 a 的取值范围是_ 答案 6a0 6a 6且 a 3. a的取值范围是 6a0，b0)的右焦点为 f，若过点 f 且倾斜角为 60 的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是_ 答案 2，) 解析 由题意，知ba 3，则b2a23，所以 e1ba22. 13双曲线x29y2161 的右顶点为 a，右焦点为 f，过点 f 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 b，则afb 的面积为_ 答案 3215

16、 解析 双曲线x29y2161 的右顶点 a(3,0)，右焦点 f(5,0)，渐近线方程为 y43x.不妨设直线fb 的方程为 y43(x5)，代入双曲线方程整理，得 x2(x5)29，解得 x175，y3215， 所以 b175，3215. 所以 safb12|af|yb|12(ca) |yb|12(53)32153215. 14双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 f，左、右顶点为 a1，a2，过 f 作 a1a2的垂线与双曲线交于 b，c两点，若 a1ba2c，则该双曲线的渐近线斜率为_ 答案 1 11 / 13 解析 由题意知 f(c，0)，a1(a，0)，a2(a，0)，

17、其中 c a2b2. 联立 xc，x2a2y2b21， 解得 bc，b2a，cc，b2a， 所以a1bca，b2a， a2cca，b2a. 因为 a1ba2c， 所以a1b a2c(ca)(ca)b4a20， 解得 ab， 所以渐近线的斜率为 1. 15设双曲线 x2y221 上有两点 a，b，ab 中点 m(1,2)，则直线 ab 的方程为_ 答案 yx1 解析 方法一 (用根与系数的关系解决) 显然直线 ab 的斜率存在 设直线 ab的方程为 y2k(x1)， 即 ykx2k，由 ykx2k，x2y221， 得(2k2)x22k(2k)xk24k60， 当 0 时，设 a(x1，y1)，b

18、(x2，y2)， 则 1x1x22k(2k)2k2， 所以 k1，满足 0，所以直线 ab的方程为 yx1. 方法二 (用点差法解决) 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 x21y2121，x22y2221， 12 / 13 两式相减得(x1x2)(x1x2)12(y1y2)(y1y2) 因为 x1x2，所以y1y2x1x22(x1x2)y1y2， 所以 kab212221， 所以直线 ab 的方程为 yx1， 代入 x2y221 满足 0. 所以直线 ab 的方程为 yx1. 16已知直线 l：xy1与双曲线 c：x2a2y21(a0) (1)若 a12，求 l与 c相交所得的弦长； (2)若 l与 c有两个不同的交点，求双