安徽省江南十校2026-2027学年高三上学期9月综合素质检测 数学试题+答案

2027届9月高三综合素质检测

数学试卷

考生注意★:

1.满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡

上将对应题号的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡

上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上

作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.样本数据0.12,0.09,0.15,0.08,0.11,0.18,0.14的中位数是

A.0.08B.0.14C.0.12D.0.13

2.若集合P={x|—3<x—2<3),Q=(-1,0,1,2,4),则P∩Q=

A.(-1,0,1,2,4)B.(-1,0,1,2)C.(0,1,2,4)D.(1,2,4)

3.复数z满足z·(2—i)=5-10i,则|z|=

A.√15B.5C.15D.25

4.抛物线C:y²=8x的焦点为F,点P在抛物线上，且点P到焦点F的距离为6,则点P的横坐

标为

A.2B.4C.6D.8

5.已知向量e₁,e₂不共线，且实数x,y满足(x-y)e₁+5e₂=e₁+(3x—4y)e₂,则33的值为

A.√3BD.9

6.已知(1—2x)²026=ao+a₁x+a₂x²+…+a₂02sx²028,则a₂+a.+…十u202s=

A.0B.3²02SD

7.若函数在区间(-3,3)上有最小值，则正整数m的值有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【高三综合素质检测数学试卷第1页(共4页)】

8.某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容

不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”,4个“恭喜中奖”,试验一：从中随机地

连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为Y₁:试验

二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的

个数为Y₂.Y,的期望和方差分别为E(Y₁),D(Y₁)(i为1,2),则下列判断正确的是

A.E(Y₁<E(Y₂)B.E(Y₁)>E(Y₂)C.D(Y₁)>D(Y₂)D.D(Y₁)<D(Y₂)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.双曲线C:5y²—4x²=20的上、下焦点分别为F₁,F₂,下列结论正确的是

A.C的虚轴长为2√5B.C的离心率为

C.若P为C上一点，则|PF₁|-|PF₂|=4D.C的渐近线方程为

10.记等差数列(a帅)的前n项和为Sn,a;+ag=10,S₄=16,则

A.数列(a)的公差为2B.数列(S„)是等比数列

C.的最小值为1D.数列为递增等差数列

11.已知圆M:(x—2)²+(y—1)²=4,圆N:(x+2)²+(y—1)²=4,直线l:y=kx+b与圆M、圆

N均相交，且截两圆所得的弦长分别为m,n,则

A.圆M与圆N的公共弦所在直线方程为x=0

B.若直线l过点(0,1),则m=n恒成立

C.满足m+n=4√3的直线l恰有2条

D.当b=1时，m+n的最大值为8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知曲线f(x)=x—3lnx+3在点A处的切线与直线2x+y-1=0平行，则点A的坐标为

13.已知函数f(x)=sin(oz+φ)(w>0,0<φ<π),为f(x)图象的一个对称中心，直线为

f(x)图象的对称轴，且f(x)在区)上单调，则w=

14.已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA=PB=PC=PD=AB=2.E为

侧棱PC的中点，三棱锥E一PAB的外接球球心为G,则平面EAB与平面GBD夹角的正

弦值为

【高三综合素质检测数学试卷第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2ccosB—bcosA=acosB.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=2,求b的取值范围.

16.(本小题满分15分)

如图1,已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°.将△ABD沿

直线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2),连接AC,G,H分别是AC,AB的三等

分点(靠近点C,B),平面EGH与CD交于点F.

(1)证明：BC//EF;

(2)求点B到平面EFG的距离.

图1图2

17.(本小题满分15分)

某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设“算法优化”和“智能

感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训.“算法优化”小组现有12名学生，其中

7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人

具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历.

(1)若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次.

(i)求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率；

(ii)已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有

编程竞赛获奖经历的概率.

(2)若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小

组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程

竞赛获奖经历的概率.

【高三综合素质检测数学试卷第3页(共4页)】

18.(本小题满分17分)

已知椭圆)的离心率为,左顶点为A(一2,0).

(1)求C的方程；

(2)过C的右焦点F作斜率不为0的直线l交C于M,N两点.

(i)若直线l的倾斜角为45°,0为坐标原点，求△OMN的面积；

(ii)设直线AM与直线AN的斜率分别为k₁,k₂,试判断k·k?是否为定值?若是，求出

该定值；若不是，说明理由.

19.(本小题满分17分)

若函数f(x)在区间[m,n](m<n)上的最大值与最小值之差为定值k(k>0),则称函数f(x)

是在区间[m,n]上的“k距函数”.

(1)判断函数f(z)=|x²—2x|是否是区间[0,3]上的“2距函数”,并说明理由；

(2)已知函数是定义在[-1,1]上的奇函数，且,证明：g(x)是区间

[-1,1]上的“R距函数”,并求出k的值；

(3)若对任意x∈(一1,十∞),关于x的不等式1+ln(x+1)≤ceˣ+lnc恒成立且实数c的

最小值为d,

(i)求d的值；

(ií)已知函数是在区间[m,m+d]上的“1距函数”,求实数m的值.

【高三综合素质检测数学试卷第4页(共4页)】

高三数学参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.C将这组数据按从小到大的顺序排列为0.08,0.09,0.11,0.12,0.14,0.15,0.18,所以中位

数为第4个数据0.12,故选C.

2.CP={x|-1<x<5〉,Q=(-1,0,1,2,4),所以P∩Q={0,1,2,4),故选C.

3.B,故选B.

4.B焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线定义得|PF|=xp+2=6,解得xp=

4,故选B.

5.A因为(x—y)e₁+5ez=e₁+(3x—4y)e₂,则,解得则35=32=

√3.故选A.

6.D令x=0,则ao=1,令x=1,则ao+a₁+a₂+…+a2026=(一1)²026=1①,令x=-1,则ao

—a+a₂—a₃+…十a2026=32026②,①+②得2a₀+2a₂+…+2a₂026=1+32026,

所以.故选D.

7.Af'(x)=x²—x—2m,令f(x)=x²—x—2m=0,得△=1+8m>0,所以x₁=

,所以f(x)在上单调递减，在

上单调递增，因为函数f(x)在区间(一3,3)上有

最小值，所恒成立，所以只

<3,解得m<3,又m为正整数，得m=1或m=2,当m=1时，,由f(x)=x²

—x—2=0,得x=-1或,无最小值；当m=2时，,由f(x)

=x²—x—4=0,得成立，综上m=2.故选A.

8.C试验一(有放回):每次抽到“恭喜中奖”的概率为,所以E(Y₁)

.试验二(无放回):Y₂服从超几何分布，P(Y₂=0)

,总体容量N=12,

其中“恭喜中奖”个数M=4,抽取n=4次，E(Y₂)=n·

所以

E(Y₁)=E(Y₂),D(Y₁)>D(Y₂),故A,B,D错误，C正确，故选C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.ABD由题1,a=2,b=√5,c=√4+5=3,所以C的虚轴长为2b=2√5,故A正

确；C的离心率为,故B正确；||PF₁|-|PF₂||=4,故C错误；C的渐近线方程为

,故D正确，故选ABD.

10.ACD由题知解得故A正确；

故B错误,所以的最小值为1,故C正确；因(n∈N*)为

大于0的常数，所以数列为递增等差数列，故D正确.故选ACD.

11.BD由题知，圆M的圆心为M(2,1),半径为2,圆N的圆心为N(—2,1),半径为2,因为直

线l:kx—y+b=0,所以点M到直线l的距离为,点N到直线l的距离为

,所以m=2√4—d²,n=2√4—d2.对于A,由M|N|=4,故两圆外切，

没有公共弦，故A错误；对于B,将点(0,1)代入l:y=kx+b得b=1,所以

,所以d₁=d₂,所以m=n,故B正确；对于C,m十

n=2√4-d}+2√4—d²=4√3,所以√4-d²+√4—d²=2√3,设

u=√4-d²,v=√4-d,易知d₁,d₂∈(0,2),则u+v=2√3,且u,

v∈[0,2],如图，线段AB上的点都满足u+v=2√3,所以满足m+n

=4√3的直线l有无数条，故C错误；对于D,由选项B可知，当b=1

时，d₁=d₂,此时m+n=2√4-d²+2√4-d²=4√4-d²,又d²=

,当且仅当k=0时，d²取得最小值0,此时m+n取

得最大值8,故D正确，故选BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(1,4),直线2x+y-1=0的斜率为—2,由,解得x=1,又f(1)

=4,所以点A的坐标为(1,4).

13.61由题意知所,令t=k₂—k₁∈Z,所

所以w=6+12t=6(1+2t),因为f(x)在区间上单调，所以

∈又

,所以0<w≤9,所以w=6,所以f(x)=sin(6x+φ),所以,kZ,0

≤φ<π,所以,所以,所以

14.连接AC、BD交于点O,连接PO,由题可得PO⊥平面ABCD,AC⊥BD,则以O为

原点，OB、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一√2,0),

B(√2,0,0),C(0,√2,0),D(—√2,0,0),P(0,0,√2),所以

设三棱锥E—PAB的外接球球心为G(x,y,z),由GE²=GP²=

GA²=GB²,可得,设平面EAB的法向量为m=

(x₁,y₁,z₁),又AB=(√2,√2,0),则

取z₁=3,则m=(1,-1,3),同理可

得平面GBD的一个法向量为n=(0,1,1),所以所

以平面EAB与平面GBD夹角的正弦值

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

15.解：(1)因为2ccosB—bcosA=acosB,

所以由正弦定理得2sinCcosB-sinBcosA=sinAcosB,

即sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB,……2分

所以sin(A+B)=2sinCcosB,………………3分

因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC,

又0<C<π,所以sinC≠0,

所以2cosB=1,即,…………………5分

因为0<B<π,所以………………7分

(2)因为a+c=2,

=1,当且仅当a=c=1时，取等号，………………10分

所以b≥1,……………11分

又b<a+c=2,………………12分

所以实数b的取值范围为(1,2).……………………13分

16.(1)证明：因为G,H分别是AC,AB的三等分点(靠近点C,B),

所以GH//BC,...............................................................................………1分

又女平面平面EFGH,

BCEFGH,GHC分

所以BC//平面EFGH,....................................................................3

又平面平面平面EFGH=EF,

BCCBCD,BCD∩分

所以BC//EF....................................................................................5

(2)解：因为菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,

所以E为BD的中点，EA⊥BD,EC⊥BD,平

又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AEC

面ABD,

所以AE⊥平面BCD,

又ECC平面BCD,所以EA⊥EC.…7分

以E为原点，EB,EC,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…

…8分

则E(0,0,0),B(3,0,0),D(—3,0,0),A(0,0,3√3),C(0,3√3,0),

所以),G(0,2√3,√3),

所以EB=(3,0,0),

………11分

设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),

令y=1,得x=√3,z=—2,n=(√3,1,—2),………………13分

所以点B到平面EFG的距离………15分

17.解：(1)(i)设事件A为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”,则其对立事件A

为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历”.

所以

.…………………4分

(ii)设事件B为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”,事件C为

“2次抽到的学生均有获奖经历”,事件D为“第2次抽到的学生有获奖经历”.

由(i)可知,…………………7分

………………8分

…10分

(2)设事件F.为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中，恰有k人有编程竞赛获奖经历”(k

=0,1,2),事件G为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”.

由题知，,此时“智能感知”08888小组有3人有获奖经历，共10人，

..................................................................11分

,此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，9

..........................................................................................................................................12分

,此时‘智能感知’小组有5人有获奖经历，共10人，

…………13分

所以由全概率公式得P(G)=P(F₀)P(G|F₀)十P(F₁)P(G|F₁)+P(F₂)P(G|F₂)

…………15分

18.解：(1)设半焦距为c,由题意知解……3分

所以C的方程…………4分

(2)(i)由(1)可得右焦点为F(1,0),

所以直线l的方程为y=x—1,……………………5分

点O(0,0)到直线x-y—1=0的距离……………6分

联立,消去y并整理得7x²—8x—8=0,

显然△>0,设M、N的横坐标分别为xm、ZN,

则,zM·…………8分

,………………9分

所以，…………………11分

(ii)k₁·k₂为定值.………12分

设l:x=my+1,M(x₁,y₁),N(x₂,y2),A(一2,0),

则

联立消去x并整理得(3m²+4)y²+6my—9=0,

所以………………14分

,为定值.……………17分

19.(1)解：函数f(x)=|x²—2x|不是区间[0,3]上的“2距函数”,…………1分

所以当0≤x≤2时，f(x)mnx=f(1)=1,f(x)min=f(0)=f(2)=0;

当2<x≤3时，f(x)mnx=f(3)=3,f(x)>f(2)=0,

所以在区间[0,3]上f(x)mx=3,f(x)min=0,

所以k=f(x)mnx—f(x)nin=3—0=3,

即函数f(x)=|x²—2x|不是区间[0,3]上的“2距函数”.………3分

(2)证明：因为是定义在[-1,1]上的奇函数，

所以g(0)=b=0,所以

所以,解得a=1,

所以

所以

所以g(x)在区间[-1,1]上单调递增，

所以,g(x)

所以k=g(x)mnx一g(x)mn=1,

所以g(x)是区间[一1,1]上的“k距函数”,且k=1.……6分

(3)解：(i)因为1+ln(x+1)≤ceˣ+lnc,

即x+1+ln(x+1)≤ceˣ+ln(ceᵗ),

令φ(t)=t+lnt,t>0,则

所以φ(t)在(0,十∞)上单调递增，

而x+1+1n(x+1)≤ceˣ+ln(ceˣ),

即φ(x+1)≤φ(ceˣ),则x+1≤ce,

所以对任意x∈(—1,十∞),关于x的不等式1+1n(x+1)≤ceˣ+lnc恒成立，

等价任意x∈(一1,十∞)恒成立，