高中数学选修一本章复习提升 (2)

1、1 / 26 本章复习提升 易混易错练 易错点 1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错 1.()已知abc 中,角 a、b、c 所对的边分别为 a、b、c,acb,且 2c=a+b,c=2,求点 c 的轨迹方程. 2.()如图,圆 e:(x+2)2+y2=4,点 f(2,0),动圆 p 过点 f,且与圆 e 内切于点 m,求动圆 p 的圆心 p 的轨迹方程. 2 / 26 易错点 2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错 3.()已知双曲线216-29=1 上的点 p 到(5,0)的距离为 15,则点 p 到点(-5,0)的距离为( ) a.7 b.23 c.5 或 25 d.7 或 23 4.(

2、)化简(-2)2+ 2+( + 2)2+ 2=10 的结果是( ) a.225+216=1 b.225+221=1 c.225+24=1 d.221+225=1 5.()已知动圆 p 与定圆 a:(x+2)2+y2=1 外切,与定直线 l:x=1 相切,求动圆圆心 p的轨迹方程. 3 / 26 易错点 3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错 6.()抛物线 y=14x2的准线方程是( ) a.y=-1 b.x=-1 c.y=1 d.x=1 7.()已知方程23+22=1 表示椭圆,则 k 的取值范围为( ) a.k-3 且 k-12 b.-3k2 d.kb0)经过点(0,1),且离心率为22

3、. (1)设过点 p(-13,16)的直线与椭圆 e 相交于 m、n 两点,若 mn 的中点恰好为点 p,求该直线的方程; 5 / 26 (2)过右焦点 f 的直线 l(与 x 轴不重合)与椭圆 e 交于 a,b 两点,线段 ab 的垂直平分线交 y 轴于点 q(0,m),求实数 m 的取值范围. 6 / 26 思想方法练 一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用 1.()f1,f2是椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点,p 是椭圆上任一点,从任一焦点引f1pf2的外角平分线的垂线,垂足为 q,则点 q 的轨迹为( ) a.圆 b.椭圆 c.双曲线 d.抛物线 2.()点 p 是抛物线 y2=8

4、x 上的任意一点,f 是抛物线的焦点,点 m 的坐标是(2,3),求|pm|+|pf|的最小值,并求出此时点 p 的坐标. 7 / 26 二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用 3.()过点 a(2,-1)的直线与抛物线 y2=4x 相交于 c、d 的两点,若 a 为 cd 的中点,则直线的方程是( ) a.x+2y=0 b.x-2y-4=0 c.2x+y-3=0 d.3x+y-5=0 4.()已知椭圆的两个焦点分别为 f1(-1,0),f2(1,0),且直线 y=x-3与椭圆相切. (1)求椭圆的方程; (2)过 f1作两条互相垂直的直线 l1,l2,与椭圆分别交于点 p,q 及 m,n,求四

5、边形pmqn 的面积的最大值与最小值. 8 / 26 9 / 26 三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用 5.(2020 山东师大附中高二上期中,)已知 f1,f2分别是椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点,若椭圆上存在点 p,使f1pf2=90,则椭圆的离心率 e 的取值范围为( ) a.(0,22 b.22,1) c.(0,32 d.32,1) 6.(2020 吉林长春实验中学高二上期中,)设动点 p 是抛物线 y=2x2+1 上任意一点,点 a(0,-1),存在点 m,使得 =2 ,则 m 的轨迹方程是( ) a.y=6x2-13 b.y=3x2+13 c.y=-3x2-1 d.x=

6、6y2-13 7.()已知 ab 为抛物线 y=x2上的动弦,且|ab|=a(a 是常数且 a1),f 为抛物线的焦点,求弦 ab 的中点 m 到 x 轴的距离的最小值. 10 / 26 11 / 26 8.()已知椭圆 e:22+22=1(ab0)的离心率为32,且点 a(0,1)在椭圆 e 上. (1)求椭圆 e 的方程; (2)已知 p(0,-2),设点 b(x0,y0)(y00 且 y01)为椭圆 e 上一点,点 b 关于 x 轴的对称点为 c,直线 ab,ac 分别交 x 轴于点 m,n,证明:opm=onp.(o 为坐标原点) 12 / 26 四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 9

7、.(2020 广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( ) a.y2=16x b.x2=-8y c.y2=16x 或 x2=-8y d.y2=16x 或 x2=8y 10.()已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的一个焦点为(5,0),离心率为53. (1)求椭圆 c 的标准方程; (2)若动点 p(x0,y0)为椭圆 c 外一点,且过点 p 的椭圆 c 的两条切线相互垂直,求点p 的轨迹方程. 13 / 26 11.()在平面直角坐标系 oxy 中,点 m 到点 f(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 m 的轨迹为 c

8、. (1)求轨迹 c 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p(-2,1),求直线 l 与轨迹 c 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 14 / 26 15 / 26 答案全解全析答案全解全析 易混易错练 1.解析 以 ab 所在直线为 x 轴,线段 ab 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图),c=2,a(-1,0),b(1,0),设 c(x,y), 因为 a+b=2c,即|cb|+|ca|=2|ab|, 即(-1)2+ 2+( + 1)2+ 2=4, 所以24+23=1. 因为 ab,即|cb|ca|, 所以点 c 只能在 y 轴的左边,

9、即 x0. 又abc 的三个顶点不能共线, 所以点 c 不能在 x 轴上,即 x-2. 所以所求点 c 的轨迹方程为24+23=1(-2x0). 2.解析 由已知,得圆 e 的半径为 2,设圆 p 的半径为 r, 则|pf|=|pm|=r,|me|=2,|pe|=|pm|-|me|=r-2, 所以|pf|-|pe|=2, 又易知|pf|-|pe| 0,2 0,3 + 2 -3 0 时,抛物线的标准方程为 x2=1y,则 2p=1,p=12,因此,焦点 f(0,14),准线 l:y=-14. 依题意得,3-(-14)=6,解得 a=112. 当 a0,解得 k32,所以不存在被点 b(1,1)平

10、分的弦. 12.解析 (1)由题意,得 12= 1, =22,2= 2+ 2, 解得 = 2, = 1, = 1, 所以椭圆 e 的标准方程是22+y2=1. 设点 m(x1,y1),n(x2,y2),则12+ 212= 2,22+ 222= 2, 19 / 26 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0, 又 x1+x2=-23,y1+y2=13,所以 x1-x2=y1-y2,即 kmn=1, 故所求直线的方程是 y-16=x-(-13),即 x-y+12=0. (2)由(1)知,椭圆 e 的右焦点 f(1,0). (i)当直线 l 与 x 轴垂直时,m=0

11、,符合题意. (ii)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1),k0. 联立 = (-1),22+ 2= 1, 消去 y,可得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,易得 0. 设 a(x3,y3),b(x4,y4),线段 ab 的中点为 c, 则 x3+x4=421+22,x3x4=2(2-1)1+22, 所以 y3+y4=k(x3+x4-2)=-21+22. 所以线段 ab 的中点 c 的坐标为(221+22,-1+22). 由题意可知,abcq, 故直线 qc 的方程为 y+1+22=-1(-221+22),k0. 令 x=0,得 y=1+22,即

12、 m=1+22. 当 k0 时,得 0m=1+22=11+2k24,当且仅当 k=22时,等号成立; 当 k0 时,得-24m=1+22=-1(1-)+(2k)b0). 因为直线 y=x-3与该椭圆相切, 所以方程组22+22= 1, = -3只有一组解, 消去 y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0, 所以 =(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得 a2+b2=3. 又焦点为 f1(-1,0),f2(1,0), 所以 a2-b2=1,所以 a2=2,b2=1, 所以椭圆的方程为22+y2=1. (2)若直线 pq 的斜率不存在(或为 0),则

13、s四边形 pmqn=|2=2222=2. 若直线 pq 的斜率存在且不为 0,设为 k(k0),则直线 mn 的斜率为-1, 所以直线 pq 的方程为 y=kx+k,设 p(x1,y1),q(x2,y2), 由22+ 2= 1, = + ,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0, 所以 x1+x2=-4222+1,x1x2=22-222+1, 所以|pq|=1 + 2|x1-x2| =(1+2)164-4(22-2)(22+1)22+1 =222+122+1, 同理可得,|mn|=222+12+2. 所以 s四边形 pmqn=|2 22 / 26 =4(2+1)2(2+2)(22+1)

14、 =44+22+124+52+2 =4(12-12224+52+2) =4(12-142+42+10). 因为 4k2+42+1024242+10=18(当且仅当 k2=1 时取等号), 所以142+42+10(0,118, 所以 4 (12-142+42+10)169,2). 综上所述,四边形 pmqn 的面积的最小值为169,最大值为 2. 5.b 若椭圆上存在点 p,使得 pf1pf2, 则以原点为圆心,f1f2为直径的圆与椭圆必有交点, 所以 c2b2,即 2c2a2,即 e212,又 e0),且 p=8,y2=16x; 当焦点为(0,-2)时,设标准方程为 x2=-2py(p0),且

15、 p=4,x2=-8y.故选 c. 10.解析 (1)由题意得 c=5, e=53,a=3, b=2-2=2, 椭圆 c 的标准方程为29+24=1. (2)当过点 p 的两条切线的斜率均存在时,不妨分别设为 k1,k2, 则过点 p 的切线方程可设为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx+y0-kx0, 由 = + 0-k0,29+24= 1消去 y, 25 / 26 得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0, 令 =18k(y0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0, 整理得(9-02)k2+2x0y0k-02+4=0, k1k2=

16、402902(x03), 由已知得 k1k2=-1,402902=-1, 02+02=13(x03),即此时点 p 的轨迹方程为 x2+y2=13(x3). 当两条切线中有一条垂直于 x 轴时,两条切线方程应分别为 x=3,y=2 或 x=-3,y=2或 x=3,y=-2 或 x=-3,y=-2,则 p 点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程 x2+y2=13. 综上所述,点 p 的轨迹方程为 x2+y2=13. 11.解析 (1)设点 m(x,y),依题意,得|mf|=|x|+1,即(-1)2+ 2=|x|+1, 化简并整理,得 y2=2(|x|+x).

17、故当 x0 时,点 m 的轨迹 c 的方程为 y2=4x,当 x0 时,点 m 的轨迹 c 的方程为 y=0. (2)记 c1:y2=4x(x0),c2:y2=0(x0), 依题意,可知直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 联立-1=( + 2),2= 4x可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. (i)当 k=0 时,y=1.把 y=1 代入轨迹 c 的方程,得 x=14. 故此时直线 l:y=1 与轨迹 c 恰好有一个公共点(14,1). (ii)当 k0 时,方程的判别式 =-16(2k2+k-1). 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 x0=-2+1. 26 / 26 若 0,0 0,由解得 k12, 即当 k(-,-1)(12,+)时,直线 l 与 c1没有公共点,与 c2有一个公共点, 故此时直线 l