高考数学一轮复习作业61

1、1 / 7 专题层级快练专题层级快练(六十一六十一) 1(2021 广东七校第二次联考)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，焦距为 2 3. (1)求椭圆 c 的方程； (2)若斜率为12的直线与椭圆 c 交于 p，q 两点(点 p，q 均在第一象限)，o 为坐标原点，证明：直线 op，pq，oq的斜率依次成等比数列 答案 (1)x24y21 (2)证明略 解析 (1)由题意，得ca32，2c2 3，解得a2，c 3. 又 b2a2c21， 椭圆 c 的方程为x24y21. (2)证明：设直线 l 的方程为 y12xm，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由题意知 m0，

2、 由y12xm，x24y21，消去 y，得 x22mx2(m21)0. 则 4m28(m21)4(2m2)0，则 0mb0)，右焦点为 f2(c，0) 因为ab1b2是直角三角形，且|ab1|ab2|，所以b1ab290，因此|oa|ob2|，可得 bc2.由 c2a2b2得 4b2a2b2，故 a25b2，c24b2，所以离心率 eca2 55. 在 rtab1b2中，oab1b2，故 sab1b212|b1b2|oa|ob2|oa|c2bb2. 由题设条件 sab1b24得 b24，所以 a25b220. 因此所求椭圆的标准方程为x220y241. (2)由(1)知 b1(2，0)，b2(

3、2，0)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为 xmy2.代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160. 设 p(x1，y1)，q(x2，y2)，则 y1y24mm25， y1y216m25. 又b2p(x12，y1)，b2q(x22，y2)， 所以b2pb2q(x12)(x22)y1y2 (my14)(my24)y1y2 (m21)y1y24m(y1y2)16 16（m21）m2516m2m2516 16m264m25. 由 pb2qb2，得b2pb2q0，即 16m2640，解得 m 2. 所以直线 l 的方程为 x2y20 或 x2y20. 3(2021 唐山

4、市摸底考试)已知 f 为抛物线 t：x24y 的焦点，直线 l：ykx2 与 t 相交于 a，b 两点 (1)若 k1，求|fa|fb|的值； (2)点 c(3，2)，若cfacfb，求直线 l 的方程 答案 (1)10 (2)3x2y40 解析 由已知可得 f(0，1)，设 ax1，x124，bx2，x224， 由ykx2，x24y，得 x24kx80， 3 / 7 所以 x1x24k，x1x28. (1)|fa|fb|x1241x2241（x1x2）22x1x2424k26. 当 k1 时，|fa|fb|10. (2)由题意可知，fax1，x1241 ，fbx2，x2241 ，fc(3，3

5、) 由cfacfb 得 cosfa，fccosfb，fc，即fa fc|fa|fc|fb fc|fb|fc|， 又|fa|x1241，|fb|x2241， 所以3x13x12413 2x12413x23x22413 2x2241，化简并整理得 42(x1x2)x1x20， 即 48k80， 解得 k32， 所以直线 l 的方程为 3x2y40. 4(2021 太原高三二模)已知直线 l 与抛物线 c：x22py(p0)相交于两个不同的点 a，b，点 m 是抛物线 c 在点 a，b 处的切线的交点 (1)若直线 l经过抛物线 c 的焦点 f，求证：fmab； (2)若点 m 的坐标为(2，2p)

6、，且|ab|4 10， 求抛物线 c 的方程 答案 (1)证明略 (2)x22y 或 x24y 解析 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)证明：由题意可得 f0，p2， 当 k0 时，直线 l：ykxp2， 由ykxp2，x22py，得 x22pkxp20，x1x22pk，x1x2p2， 易得抛物线 c 在点 a处的切线方程为 yy1x1p(xx1)， 即 yx1pxx122p， 在点 b 处的切线方程为 yx2pxx222p. 4 / 7 由yx1pxx122p，yx2pxx222p，得xx1x22pk，yx1x22pp2， mp

7、k，p2， kfmkabp2p2pkk1， fmab. 当 k0 时，直线 l：yp2，m0，p2，fmab. 综上，fmab. (2)由题意知 k0，设直线 l：ykxm， 由ykxm，x22py，得 x22pkx2pm0，4p2k28pm， x1x22pk，x1x22pm， 易得抛物线 c 在点 a处的切线方程为 yy1x1p(xx1)， 即 yx1pxx122p， 在点 b 处的切线方程为 yx2pxx222p， 由yx1pxx122p，yx2pxx222p，得xx1x22pk2，yx1x22pm2p，满足 0， |ab|1k2|x1x2|1k24k2p28pm41k21p2414p2（

8、1p2）4 10， 解得 p1 或 p2， 抛物线 c 的方程为 x22y 或 x24y. 5(2021 湖北八校第一次联考)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)过点(2，1)，且离心率 e32. (1)求椭圆 c 的方程； (2)已知斜率为12的直线 l 与椭圆 c 交于两个不同的点 a，b，点 p 的坐标为(2，1)，设直线pa与 pb 的倾斜角分别为 ，证明：. 答案 (1)x28y221 (2)证明略 5 / 7 解析 (1)由题意得4a21b21，e1b2a232，解得a28，b22， 所以椭圆 c 的方程为x28y221. (2)证明：设直线 l：y12xm，联立方程组y12

9、xm，x28y221， 消去 y，得 x22mx2m240，4m28m2160，解得2m2. 当 m0 时，直线 l：y12x，点 p 在直线 l 上，不满足题意，舍去 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x22m，x1x22m24， 由题意，易知直线 pa与 pb 的斜率均存在，所以 ，2. 设直线 pa与 pb 的斜率分别为 k1，k2， 则 tank1，tank2，要证 ，即证 tantan()tan，只需证 k1k20， 因为 k1y11x12，k2y21x22， 所以 k1k2y11x12y21x22 （y11）（x22）（y21）（x12）（x12）（x22）， 又 y

10、112x1m，y212x2m， 所以(y11)(x22)(y21)(x12)(12x1m1) (x22)12x2m1 (x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0， 所以 k1k20，故 . 6(2020 课标全国)已知椭圆 c：x225y2m21(0m5)的离心率为154，a，b 分别为 c 的左、右顶点 (1)求 c 的方程； (2)若点 p在 c 上，点 q在直线 x6上，且|bp|bq|，bpbq，求apq 的面积 答案 (1)x225y225161 (2)52 6 / 7 解析 (1)c：x225y2m21(0m5)，椭圆 c 的焦点在 x轴上

11、，a5，bm， 根据离心率 eca1ba21m52154， 解得 m54或 m54(舍)， c 的方程为：x225y25421，即x225y225161. (2) 根据题意画出图形，如图，过点 p作 x 轴垂线，垂足为 m，设 x6 与 x 轴交点为 n， |bp|bq|，bpbq，pmbqnb90， pbmqbn90，bqnqbn90， pbmbqn， 根据三角形全等条件“aas”，可得pmbbnq， x22516y2251， b(5，0)， |pm|bn|651， 设 p点为(xp，yp)， 可得 p点纵坐标为 yp1，将其代入x22516y2251， 可得：xp22516251， 解得：xp3或 xp3， p点为(3，1)或(3，1)， 当 p点为(3，1)时， |mb|532， pmbbnq， |mb|nq|2， 可得：q点为(6，2)， a(5，0)，q(6，2)， 可求得直线 aq的方程为 2x11y100， 7 / 7 根据点到直线距离公式可得 p到直线 aq的距离为 d|2311110|22112|5|12555， 根据两点间距离公式可得： |aq|（65）2（20）25 5， apq面积为125 55552； 当 p点为(3，1)时， |mb|538， pmbbnq