高考数学一轮复习第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

1、1 / 15 第 1 节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 知 识 梳 理 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 s|k 360 ，kz 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角 的弧度数公式 |lr(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad180 弧长公式 弧长 l|r

2、扇形面积公式 s12lr12|r2 2 / 15 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x，y)，那么 y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作cos yx叫做 的正切，记作tan 各象限符号 三角函数线 有向线段 mp为正弦线 有向线段 om 为余弦线 有向线段 at为正切线 1象限角 2轴线角 诊 断 自 测 3 / 15 1判断下列说法的正误 (1)小于 90 的角是锐角( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然( ) (3)将表的分针拨快 5分钟，则分针转过的角度是 30 .( ) (4)若 0，2，则 tan

3、 sin .( ) (5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (1)锐角的取值范围是0，2. (2)第一象限角不一定是锐角 (3)顺时针旋转得到的角是负角 (5)终边相同的角不一定相等 2角870 的终边所在的象限是( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 c 解析 由870 3360 210 ，知870 角和 210 角的终边相同，在第三象限 3下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是( ) a2k45 (kz) bk 360 94(kz) ck 360 315 (kz) dk54(kz) 答案 c 解

4、析 与94的终边相同的角可以写成 2k94(kz)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有 c正确 4已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos ( ) a.45 b.35 c35 d45 答案 d 解析 角 的终边经过点(4，3)， 4 / 15 x4，y3，r5.cos xr45，故选 d. 5(必修 4p10a6 改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案 3 解析 该弦与两条半径构成等边三角形，故圆心角为 60 ，即3. 6(2021 镇海中学模拟)已知扇形 aob 的周长是 6 cm，该扇形的中心角是 1 弧度，则该扇形的面积为_cm2. 答案 2 解析 设扇形的半

5、径为 r，则由扇形的中心角为 1弧度得扇形的弧长为 r，则扇形的周长为 rrr6，解得 r2(cm)，则扇形的面积为12lr12r22(cm2). 考点一 角的概念及其集合表示 【例 1】 (1)若角 是第二象限角，则2是( ) a第一象限角 b第二象限角 c第一或第三象限角 d第二或第四象限角 (2)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_ 答案 (1)c (2)53，23，3，43 解析 (1)是第二象限角， 22k2k，kz， 4k22k，kz. 当 k 为偶数时，2是第一象限角； 当 k 为奇数时，2是第三象限角 5 / 15 (2)如图，在坐标系中画出直线 y 3x，

6、可以发现它与 x 轴的夹角是3，在0，2)内，终边在直线 y 3x 上的角有两个：3，43；在2，0)内满足条件的角有两个：23，53，故满足条件的角 构成的集合为53，23，3，43 . 感悟升华 (1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角 (2)确定 k，k(kn*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出 k 或k的范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或k的终边所在位置 【训练 1】 (1)(一题多解)设集合 mx|xk2 180 45 ， kz )，nx|xk4 18

7、0 45 ，kz ，那么( ) amn bmn cnm dmn (2)集合|k4k2，kz 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 (1)b (2)c 解析 (1)法一 由于 mx|xk2 180 45 ，kz ，45 ，45 ，135 ，225 ， nx|xk4 180 45 ，kz ，45 ，0 ，45 ，90 ，135 ，180 ，225 ，显然有 mn，故选 b. 法二 由于 m 中，xk2 180 45 k 90 45 (2k1) 45 ，2k1是奇数； 6 / 15 而 n 中，xk4 180 45k 45 45 (k1) 45 ，k1 是整数，因此必有mn，故选 b. (2

8、)当 k2n(nz)时，2n42n2，此时 表示的范围与42表示的范围一样； 当 k2n1(nz)时，2n542n32，此时 表示的范围与5432表示的范围一样，故选 c. 考点二 弧度制及其应用 【例 2】 已知一扇形的圆心角为 ，半径为 r，弧长为 l. (1)若 60 ，r10 cm，求扇形的弧长 l； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)60 3 rad，l r3 10103(cm) (2)由题意得2rr10，12 r24，解得r1，8(舍去)，r4，12

9、. 故扇形圆心角为12. (3)由已知得，l2r20(cm) 所以 s12lr12(202r)r10rr2(r5)225，所以当 r5时，s取得最大值 25(cm2)， 此时 l10，2. 感悟升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 【训练 2】 已知一扇形的圆心角为 (0)，所在圆的半径为 r. (1)若 90 ，r10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 7 / 15 (2

10、)若扇形的周长是一定值 c (c0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 s弓，则 90 2，r10，l2 105(cm)， s弓s扇s12510121022550(cm2) (2)扇形周长 c2rl2rr，rc2， s扇12 r212c22 c221442c22144c216. 当且仅当 24， 即 2 时，扇形面积有最大值c216. 考点三 三角函数的概念 【例 3】 (1)已知角 的终边过点 p(8m，6sin 30 )，且 cos 45，则 m 的值为( ) a12 b.12 c32 d.32 (2)(2020 全国卷)若 为第四象限角，则( )

11、acos 20 bcos 20 dsin 20 (3)(2018 北京卷)在平面直角坐标系中，ab，cd，ef，gh是圆 x2y21上的四段弧(如图)，点 p 在其中一段上，角 以 ox 为始边，op 为终边若 tan cos 0，4m264m29125， 即 m12，故选 b. (2)是第四象限角，sin 0，sin 22sin cos 0，故选 d. (3)设点 p 的坐标为(x，y)，tan cos sin ，利用三角函数的定义可得yxxy，所以1x0，0ybc bbac cacb dcab (3)满足 cos 12的角 的集合为_ 答案 (1)c (2)a (3)|2k232k43，k

12、z 9 / 15 解析 (1)由|op|214y21，得 y234，y32. 当 y32时，sin 32，tan 3， 此时，sin tan 32. 当 y32时，sin 32，tan 3， 此时，sin tan 32. (2)当 2，34时，sin 22，1 ，cos 22，0 ，tan (，1)， 所以 sin cos tan ， 即 abc，故选 a. (3)作直线 x12交单位圆于 c，d 两点，连接 oc，od，则 oc 与 od 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为|2k232k43，kz . 基础巩固题组 一、选择题 1已知角 的终边经过点 p(

13、4，m)，且 sin 35，则 m( ) a3 b3 c.163 d 3 答案 b 解析 sin m16m235，易知 m0，解得 m3. 2(2021 北京东城区综合练习)九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”(一步1.5 米)意思是现有扇形田，弧长为10 / 15 45 米，直径为 24米，那么扇形田的面积为( ) a135 平方米 b270 平方米 c540平方米 d1 080 平方米 答案 b 解析 根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 s12lr1245242270(平方米) 3已知点

14、 p(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边所在的象限为( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 b 解析 由题意知 tan 0，cos 0， 是第二象限角 4给出下列四个命题： 34是第二象限角；43是第三象限角；400 是第四象限角；315 是第一象限角 其中正确的命题有( ) a1 个 b2 个 c3个 d4 个 答案 c 解析 34是第三象限角，故错误.433，从而43是第三象限角，正确400 360 40 ，从而正确315 360 45 ，从而正确 5点 p 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达 q 点，则 q 点的坐标为( ) a.12，3

15、2 b.32，12 c.12，32 d.32，12 答案 a 解析 由三角函数定义可知 q 点的坐标(x，y)满足 xcos 2312，ysin 2332. 6若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 的弧度数为( ) 11 / 15 a.3 b.2 c. 3 d2 答案 c 解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r r， 3. 7设 是第三象限角，且cos 2cos 2，则2是( ) a第一象限角 b第二象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 b 解析 由 是第三象限角，知2为第二或第四象限角， cos 2cos 2，cos 20，综上知2为第二象限角

16、 8已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x上，则 cos 2( ) a45 b35 c.35 d.45 答案 b 解析 由题意知 tan 2，即 sin 2cos ，将其代入 sin2cos21 中可得cos215，故 cos 22cos2135. 二、填空题 9.已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_ 答案 2k42k56，kz 解析 在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为4，56 ， 所以，所求角的集合为 2k42k56，kz . 12 / 15 10已知扇形的圆心角为6，面积为3，则扇形的弧长等于_ 答案 3

17、解析 设扇形半径为 r，弧长为 l，则lr6，12lr3，解得l3，r2. 11函数 y 2sin x1的定义域为_ 答案 2k6，2k56(kz) 解析 2sin x10， sin x12. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示) x2k6，2k56(kz) 12在平面直角坐标系 xoy中，以 ox 为始边的角 的终边经过点35，45，则 sin _，tan 2_ 答案 45 247 解析 3524521，点35，45在单位圆 x2y21 上，由三角函数的定义知 sin 45，cos 35，tan 43，tan 22tan 1tan22431432247. 13(2020

18、台州评估测试)如图，过点 a(1，0)，b0，12两点的直线与单位圆 x2y21 在第二象限的交点为 c，则点 c的坐标为_； sinaoc94_ 13 / 15 答案 35，45 7 210 解析 因为 tan cao12，所以 sincao55，cos cao2 55，所以sinaocsin(2cao)sin 2cao2sincaocoscao45，所以cosaoc35，由三角函数的定义可知点 c35，45，所以 sinaoc94sinaoc422(sin aoccosaoc)7 210. 14若 是第二象限角，则 sin(cos )的符号为_，cos(sin )的符号为_ 答案 负 正

19、解析 是第二象限角，1cos 0，0sin 1，sin(cos )0. 能力提升题组 15设 是第二象限角，p(x，4)为其终边上的一点，且 cos 15x，则 tan ( ) a.43 b.34 c34 d43 答案 d 解析 因为 是第二象限角，所以 cos 15x0，即 x0. 又 cos 15xxx216， 解得 x3，所以 tan 4x43. 16已知圆 o：x2y24 与 y 轴正半轴的交点为 m，点 m 沿圆 o 顺时针运动2弧长到达点 n，以 on为终边的角记为 ，则 tan ( ) a1 b1 c2 d2 14 / 15 答案 b 解析 圆的半径为 2，2的弧长对应的圆心角为4，故以 on 为终边的角为 2k4，kz，故 tan 1. 17(2021 上海徐汇区诊断)已知 t0，设点 pt22t，1 是角 终边上一点，当|op|最小时，cos 的值是( ) a55 b.55 c.2 55 d2 55 答案 d