高考数学一轮复习第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、1 / 15 第第 4 节节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设圆 c：(xa)2(yb)2r2，直线 l：axbyc0，圆心 c(a，b)到直线 l的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，axbyc0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 几何观点 dr

2、dr dr 2.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 r，r(rr)，两圆圆心间的距离为 d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 drr drr rrdrr drr drr 公切线条数 4 3 2 1 0 常用结论与微点提醒 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点 p(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)2 / 15 (y0b)(yb)r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在

3、直线方程为x0 xy0yr2. 2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|ab|2 r2d2. (2)代数法：设直线 ykxm 与圆 x2y2dxeyf0 相交于点 m，n，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，求出 xmxn和xm xn，则|mn| 1k2 （xmxn）24xm xn. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )

4、(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (4)过圆 o：x2y2r2外一点 p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线 ab的方程是 x0 xy0yr2.( ) 解析 (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材必修 2p132a5 改编)直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 a，b两点，则|ab|_. 解析 由 x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐

5、标为(1，2)，半径 r 5.又圆心(1，2)到直线 3xy60 的距离为 d|326|91102，由|ab|22r2d2，得|ab|210，即|ab| 10. 答案 10 3.(老教材必修 2p133a9 改编)圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公3 / 15 共弦长为_. 解析 由x2y240，x2y24x4y120得两圆公共弦所在直线方程 xy20.又圆x2y24 的圆心到直线 xy20 的距离为22 2.由勾股定理得弦长的一半为 42 2，所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2 4.(2019 太原模拟)若圆 c1：x2y21 与圆 c2：x2y26x8ym0 外切，

6、则m( ) a.21 b.19 c.9 d.11 解析 圆 c1的圆心为 c1(0，0)，半径 r11，因为圆 c2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆 c2的圆心为 c2(3，4)，半径 r2 25m(m25).从而|c1c2| 32425.由两圆外切得|c1c2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9. 答案 c 5.(2020 临沂质检)已知直线 l：x 3ya0 与圆 c：(x3)2(y 3)24 交于点 m，n，点 p在圆 c上，且mpn3，则 a 的值为( ) a.2或 10 b.4或 8 c.6 2 2 d.6 2 3 解析 因为圆的半径是 r2，圆心坐标是 c(3，

7、3)，mpn3，且 p 在圆c 上，所以mcn23，则|mn|2 3.又点 c 到直线 l 的距离 d|33a|13|a6|2，|mn|22d2r2，所以( 3)2（a6）244，则 a6 2，即 a4或 8. 答案 b 6.(多填题)(2019 浙江卷)已知圆 c的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30与圆 c相切于点 a(2，1)，则 m_，r_. 4 / 15 解析 根据题意画出图形，可知 a(2，1)，c(0，m)，b(0，3)， 则|ab| （20）2（13）22 5， |ac|（20）2（1m）2 4（m1）2， |bc|m3|. 直线 2xy30 与圆 c相切于点

8、 a， bac90 ，|ab|2|ac|2|bc|2. 即 204(m1)2(m3)2， 解得 m2. 因此 r|ac| 4（21）2 5. 答案 2 5 考点一 直线与圆的位置关系 多维探究 角度 1 位置关系的判断 【例 11】 在abc中，若 asin absin bcsin c0，则圆 c：x2y21 与直线 l：axbyc0 的位置关系是( ) a.相切 b.相交 c.相离 d.不确定 解析 因为 asin absin bcsin c0， 所以由正弦定理得 a2b2c20. 故圆心 c(0，0)到直线 l：axbyc0 的距离 d|c|a2b21r，故圆 c：x2y21与直线 l：a

9、xbyc0相切，故选 a. 答案 a 规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d与 r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 角度 2 弦长问题 【例 12】 (2020 广东名校联盟联考)设圆 x2y22x2y20的圆心为 c，5 / 15 直线 l 过(0，3)，且与圆 c 交于 a，b 两点，若|ab|2 3，则直线 l 的方程为( ) a.3x4y120 或 4x3y90 b.3x4y120 或 4x3y90 c

10、.4x3y90 或 x0 d.3x4y120 或 x0 解 析 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线l 的 方 程 为x 0 ， 由x0，x2y22x2y20，得x0，y1 3或x0，y1 3， |ab|2 3，符合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l的方程为 ykx3，由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y1)24，其圆心为 c(1，1)，半径 r2，圆心 c(1，1)到直线kxy30 的距离 d|k13|k21|k2|k21，d2r2|ab|22，（k2）2k2142 322，即(k2)2k21，解得 k34，直线 l 的方程为 y34x3，即3x4y120.综上

11、，满足题意的直线 l 的方程为 x0 或 3x4y120，故选d. 答案 d 规律方法 弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 【训练 1】 (1)(角度 1)(2019 西安八校联考)若过点 a(3，0)的直线 l 与曲线(x1)2y21有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为( ) a.( 3， 3) b. 3， 3 c.(33，33) d.33，33 (2)(角度 2)(2018 全国卷)直线 yx1

12、与圆 x2y22y30 交于 a，b 两点，则|ab|_. 6 / 15 解析 (1)数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x3)，则圆心(1，0)到直线 yk(x3)的距离应小于等于半径 1，即|2k|1k21，解得33k33. (2)由题意知圆的方程为 x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2，则圆心到直线 yx1 的距离 d|11|2 2，所以|ab|222（ 2）22 2. 答案 (1)d (2)2 2 考点二 圆的切线问题 典例迁移 【例 2】 (经典母题)过点 p(2，4)引圆 c：(x1)2(y1)21 的切线，则切线方程为_. 解析 当直

13、线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 d|k142k|k2（1）2|3k|k211， 解得 k43， 所求切线方程为43xy42430， 即 4x3y40. 综上，切线方程为 x2或 4x3y40. 答案 x2或 4x3y40 【迁移 1】 在例 2 中，若点 p 坐标变为221，221 ，其他条件不变，求切线方程. 解 易知点 p221，221 在圆 c：(x1)2(y1)21 上，则 kpc221122111，所求切线方程的

14、斜率为1，则切线方程为 y221 7 / 15 x221 ，即 xy 220. 【迁移 2】 在例 2 中，已知条件不变，设两个切点为 a，b，求切点弦 ab 所在的直线方程. 解 由题意得，点 p，a，c，b 在以 pc 为直径的圆上，此圆的方程为(x2)(x1)(y4)(y1)0， 整理得 x2y23x5y60， 圆 c：(x1)2(y1)21 展开得 x2y22x2y10， 由得 x3y50，即为直线 ab的方程. 【迁移 3】 (多填题)在例 2 中，已知条件不变，则切线 pa 的长度为_，弦 ab的长度为_. 解析 如图，在 rtpac中， |pa| |pc|2|ac|2 1013.

15、 又12 |pa| |ac|12|pc|ab|2，解之得|ab|3 105. 答案 3 3 105 规律方法 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 【训练 2】 过直线 y2x3 上的点作圆 c：x2y24x6y120的切线，则切线长的最小值为( ) a. 19 b.2 5 c. 21 d.555 解析 圆的方程可化为(x2)2(y3)21，要使切线长最小，只需直线 y2x3 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，3)到直线 y2x3的距离 d

16、，d|2233|52 5，故切线长的最小值为 d2r2 19. 答案 a 考点三 圆与圆的位置关系 【例 3】 (2020 济宁调研)已知两圆 x2y22x6y10，x2y210 x12y8 / 15 m0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 11， 61m， (1)当两圆外切时，由（51）2（63）21161m，得 m2510 11. (2)当两圆内切时，因为定圆半

17、径 11小于两圆圆心之间的距离 5，所以61m 115，解得 m2510 11. (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230. 故两圆的公共弦的长为 2（ 11）2（|413323|4232）22 7. 规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项得到. 【训练 3】 已知圆 m：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是2 2，则圆 m 与圆 n：(x1)2(y1)2

18、1的位置关系是( ) a.内切 b.相交 c.外切 d.相离 解析 由题意得圆 m 的标准方程为 x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线 xy0的距离 da2，所以 2a2a222 2，解得 a2，圆 m，圆 n 的圆心距|mn| 2小于两圆半径之和 12，大于两圆半径之差 1，故两圆相交. 答案 b a级 基础巩固 9 / 15 一、选择题 1.若直线 l：xym0 与圆 c：x2y24x2y10 恒有公共点，则 m 的取值范围是( ) a. 2， 2 b.2 2，2 2 c. 21， 21 d.2 21，2 21 解析 圆 c 的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为

19、 2，圆心到直线的距离 d|21m|2，若直线与圆恒有公共点，则|21m|22， 解得2 21m2 21，故选 d. 答案 d 2.(多选题)平行于直线 xy10，且与圆 x2y24 相切的直线的方程是( ) a.xy2 20 b.xy20 c.xy2 20 d.xy20 解析 根据题意，所求直线平行于直线 xy10，则设所求直线的方程为 xym0，若所求直线与圆 x2y24 相切，则|m|22，解得 m 2 2，则所求直线的方程为 xy 2 20. 答案 ac 3.(2020 广州调研)已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得的弦的长度为 4，则实数 a的值是( ) a.2 b.

20、4 c.6 d.8 解析 将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径 r 2a，圆心到直线 xy20 的距离 d|112|2 2，故 r2d24，即 2a24，所以 a4.故选 b. 答案 b 4.圆 x22xy24y30上到直线 xy10的距离为 2的点共有( ) a.1个 b.2个 c.3 个 d.4个 解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距离 d10 / 15 |121|2 2，半径是 2 2，结合图形(图略)可知有 3个符合条件的点. 答案 c 5.过点 p(1，2)作圆 c：(x1)2y21的两条切线，切点分别为 a，b

21、，则 ab所在直线的方程为( ) a.y34 b.y12 c.y32 d.y14 解析 由题意知，点 p，a，c，b 在以 pc 为直径的圆上，易求得这个圆为(x1)2(y1)21，此圆的方程与圆 c 的方程作差可得 ab 所在直线的方程为 y12. 答案 b 二、填空题 6.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_. 解析 设 p(3，1)，圆心 c(2，2)，则|pc| 2，半径 r2.由题意知最短的弦过p(3，1)且与 pc垂直，所以最短弦长为 222（ 2）22 2. 答案 2 2 7.若 a 为圆 c1：x2y21 上的动点，b 为圆 c2：(x3)2(y4)

22、24 上的动点，则线段 ab长度的最大值是_. 解析 圆 c1：x2y21 的圆心为 c1(0，0)，半径 r11， 圆 c2：(x3)2(y4)24的圆心为 c2(3，4)，半径 r22， |c1c2|5.又 a为圆 c1上的动点，b为圆 c2上的动点， 线段 ab长度的最大值是|c1c2|r1r25128. 答案 8 8.(2020 石家庄质检)已知直线 x2ya0与圆 o：x2y22相交于 a，b两点(o为坐标原点)，且aob为等腰直角三角形，则实数 a 的值为_. 解析 因为直线 x2ya0 与圆 o：x2y22 相交于 a，b 两点(o 为坐标原点)，且aob 为等腰直角三角形，所以

23、 o 到直线 ab 的距离为 1，由点到直线11 / 15 的距离公式可得|a|12（2）21，所以 a 5. 答案 5或 5 三、解答题 9.已知圆 c：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程； (1)与直线 l1：xy40平行； (2)与直线 l2：x2y40垂直； (3)过切点 a(4，1). 解 (1)设切线方程为 xyb0， 则|12b|2 10，b1 2 5， 切线方程为 xy1 2 50. (2)设切线方程为 2xym0， 则|22m|5 10，m 5 2， 切线方程为 2xy 5 20. (3)kac211413， 过切点 a(4，1)的切线斜率为3， 过切点

24、a(4，1)的切线方程为 y13(x4)， 即 3xy110. 10.已知过点 a(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 c：(x2)2(y3)21 交于 m，n两点. (1)求 k 的取值范围； (2)若om on12，其中 o 为坐标原点，求|mn|. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 c交于两点，所以|2k31|1k21. 解得4 73k0)所得的弦长为 14，点 m，n 在圆 上，且直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 p，若 pmpn，则|mn|的取值范围为( ) a.2 2，2 3 b.2 2，2

25、 2 c. 6 2， 6 3 d. 6 2， 6 2 解析 由题意：2r212 14，解得 r2，因为直线 l：(12m)x(m1)y3m0 过定点 p，故 p(1，1)；设 mn 的中点为 q(x，y)，则|om|2|oq|213 / 15 |mq|2|oq|2|pq|2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得x122y12232，所以点 q 的轨迹是以12，12为圆心，62为半径的圆，所以|pq|的取值范围为6 22，6 22，|mn|的取值范围为 6 2， 6 2.故选 d. 答案 d 13.(2020 长沙调研)在平面直角坐标系 xoy 中，若圆 c1：x2(y1)2r2(r0)

26、上存在点 p，且点 p 关于直线 xy0 的对称点 q 在圆 c2：(x2)2(y1)21上，则 r 的取值范围是_. 解析 圆 c1关于直线 xy0 对称的圆 c3的方程为(x1)2y2r2，则圆 c3与圆 c2存在公共点，所以|r1| 2r1，所以 r 21， 21. 答案 21， 21 14.如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知以 m为圆心的圆 m：x2y212x14y600及其上一点 a(2，4). (1)设圆 n 与 x 轴相切，与圆 m 外切，且圆心 n 在直线 x6上，求圆 n的标准方程； (2)设平行于 oa 的直线 l 与圆 m 相交于 b，c 两点，且|bc|oa|，求直线 l 的方程； (3)设点 t(t，0)满足：存